2022-2023學(xué)年廣東省廣州市四中高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．4 B．12 C．15 D．21【答案】B【分析】由瞬時(shí)變化率的定義，代入公式求解計(jì)算.【詳解】由題意，該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B2．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【分析】先求出，即可得到，直接求出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得：，所以，所?故選：C3．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．5 C． D．20【答案】A【分析】由，根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合二項(xiàng)式定理求展開式中的系數(shù).【詳解】，的展開式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開式中，的系數(shù)為.故選：A.4．已知函數(shù)在上的最大值為1，則函數(shù)的圖像在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)確定單調(diào)性，結(jié)合最大值求出參數(shù)的值，再利用在點(diǎn)處的切線方程求出答案.【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，又，所以的圖像在處的切線方程為.故選：A.5．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中選3個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)（

）A．36 B．48 C．52 D．72【答案】C【分析】由于0不能在首位數(shù)字，則分2種情況討論：①若0在個(gè)位，此時(shí)0一定不在首位，由排列公式即可得此時(shí)三位偶數(shù)的數(shù)目，②若0不在個(gè)位，此時(shí)0可能在首位，由分步計(jì)數(shù)原理可得此情況下三位偶數(shù)的數(shù)目，綜合2種情況，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若0在個(gè)位，此時(shí)只須在1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)字，作為十位和百位數(shù)字即可，有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；②若0不在個(gè)位，此時(shí)必須在2或4中任取1個(gè)，作為個(gè)位數(shù)字，有2種取法，0不能作為百位數(shù)字，則百位數(shù)字有4種取法，十位數(shù)字也有4種取法，此時(shí)共有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).綜合可得，共有20+32=52個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故選：C.6．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)均大于零可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同正根，即有兩個(gè)不同正根，所以解得，故答案為:A.7．除以88的余數(shù)是（

）A．2 B．1 C．86 D．87【答案】B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，將原式化為，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋猿?8的余數(shù)是1.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于將所給式子看作二項(xiàng)展開式的形式，利用二項(xiàng)式定理，將原式化為，再由二項(xiàng)展開式，即可求解出結(jié)果.8．已知函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)或三個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有個(gè)或個(gè)交點(diǎn)的問題，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，且此時(shí).時(shí)，，，令，可得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，且此時(shí)；所以極小值，極大值，，在且時(shí)，，函數(shù)的示意圖如圖所示，所以當(dāng)它與有個(gè)或個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極大值為 D．方程有兩個(gè)不同的解【答案】AC【分析】先求得（），然后分別求得曲線在處的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，方程即解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，據(jù)此可以作出判斷.【詳解】（），因?yàn)?，，所以在處的切線方程為，故A正確；令，即，解之得，又因?yàn)椋缘膯握{(diào)遞增區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；再令，即，解之得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，極大值為，故C正確；方程即，也即，函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.10．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由，令得，A選項(xiàng)正確.令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，所以令得，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤由，兩邊求導(dǎo)得，令得，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD11．已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可比較大小，然后將，，變形并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而比較出，，的大小關(guān)系，由此可判斷A，B，C，D.【詳解】因?yàn)?，所以，，．?duì)，，這三個(gè)數(shù)先取自然對(duì)數(shù)再除以，則，，,設(shè)，則，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，故，即，則，故，故選：AD．12．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．存在直線與，的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，使得在A處的切線與在B處的切線平行B．若，恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為C．若，圖像與直線分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為D．對(duì)于，都存在零點(diǎn)【答案】ABC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由切線平行可求出m,判斷A，利用同構(gòu)轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)后求最值即可得解,判斷B，曲線上兩點(diǎn)間距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值可判斷C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性得出極值，根據(jù)極值的正負(fù)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)存在滿足題意，可，，，，，因?yàn)樵谠贏處與在B處的切線平行所以有，即，得，故存在m符合題意，故A正確;對(duì)于B，不等式化為，令，則，所以在上遞增，故同構(gòu)可得：，即的最大值，令，則，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以成立，故B正確;對(duì)于C，可知，，，令在上遞增，且，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，故C正確;對(duì)于D，因?yàn)?，所以，令，存在使得，故在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，的最小值為，當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題13．函數(shù)的減區(qū)間是___．【答案】（或）【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，并求出與的解集，從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.（或）14．已知直線與曲線相切，則___________.【答案】3【分析】設(shè)切點(diǎn)為，則，即求.【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，故答案為：3.15．中國新冠疫苗研究路徑有兩種技術(shù)路線：一個(gè)是滅活疫苗，一個(gè)是腺病毒載體疫苗，其中在腺病毒載體疫苗研制過程中，科研者要依次完成七項(xiàng)不同的任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)D、E必須排在一起，則這七項(xiàng)任務(wù)的安排方案共有______種（用數(shù)字作答）【答案】624【分析】分三種情況：任務(wù)分別排在首位，第二位和第三位，再結(jié)合捆綁法與加法計(jì)數(shù)原理，得解.【詳解】分三種情況：（1）任務(wù)排在首位，將捆綁在一起，與剩下任務(wù)全排列，有種排法；（2）任務(wù)排在第二位，先從除的任務(wù)中選一個(gè)安排在首位，再將捆綁在一起，與剩下任務(wù)全排列，有種排法；（3）任務(wù)排在第三位，分兩類：①在之前，有種；②在之后，有種，共有48＋144=192種；由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有240+192+192=624種不同的排法.故答案為：624.16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足在上恒成立，則不等式的解集是____________．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，再將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案為：.四、解答題17．從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)．(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)如果至少有1位女生入選，且選出的這3位學(xué)生，分別去3個(gè)不同地方進(jìn)行宣傳，共有多少種不同的安排方法？【答案】(1)20(2)96【分析】（1）根據(jù)題意，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，利用間接法分析，計(jì)算選出的3人中沒有女生的數(shù)目，然后再排序即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，是組合問題，其選擇方法數(shù)為；（2）根據(jù)題意，從6人中選出3人，其中沒有女生入選的選擇方法數(shù)為，所以至少有1位女生入選的選擇方法數(shù)為，再分別去3個(gè)不同地方進(jìn)行宣傳總的方法數(shù)為.18．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．求a、b的值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求在的最值．【答案】（1），（2）增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（3）最小值為，最大值為7．【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a，b的方程組，解方程可得a，b；求得的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；求得的極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到所求最值．【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖象在點(diǎn)處的切線方程為，可得，，解得，；由的導(dǎo)數(shù)為，可令，可得或；，可得，則增區(qū)間為，，減區(qū)間為；由，可得，或，則，，，，可得在的最小值為，最大值為7．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．在①第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；②展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和與所有項(xiàng)的系數(shù)和差為；③、、的絕對(duì)值之和為；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.已知.（1）求；（2）求的值；（3）求的值；【答案】條件選擇見解析：（1）；（2）；（3）.【分析】設(shè).選①：（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可求得；選②：（1）利用展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和與所有項(xiàng)的系數(shù)和差為可求得；選③：（1）求出，可得出關(guān)于的方程，即可解得；（2）利用賦值法可得；（3）求得，利用賦值法可得；【詳解】設(shè).選①：（1）由，則；選②：（1）由題知二項(xiàng)式系數(shù)和為，所有項(xiàng)系數(shù)和為，所以，所以；選③：（1）展開式通項(xiàng)為，故，，，則，，所以；（2），所以；（3）因?yàn)?，故，因此?20．商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品為3元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大【答案】(1)因?yàn)闀r(shí)，所以；(2)由(1)知該商品每日的銷售量，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤：；，令得函數(shù)在(3,4)上遞增，在(4,6)上遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值答：當(dāng)銷售價(jià)格時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.【詳解】(1)利用銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．把x=5,y=11代入a..于a的方程即可求a..(2)在（1）的基礎(chǔ)上，列出利潤關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利潤=銷售量（銷售單價(jià)－成品單價(jià)），然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.21．已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定義域上g(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)若當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)-1(2)【分析】（1）由分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最小值.（2）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合在區(qū)間上的最小值求得的取值范圍.【詳解】（1）在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，所以在遞增；在遞減.，所以，即的最小值為.（2），當(dāng)時(shí)，在遞增，所以，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，在遞減；在，遞增.所以，不符合題意.當(dāng)，即時(shí)，在遞減，所以，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.22．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明.【答案】（1）若，則在