數(shù)學試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·甘肅·高臺縣高三階段練習（文））若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B2．（2022·甘肅·高臺縣高三階段練習（文））已知，是復數(shù)的共軛復數(shù)，則復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D3．（2022·江蘇南通·高三階段練習）一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A4．（2021·陜西渭南·高三階段練習（文））函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D5．（2022·廣東·肇慶市高三階段練習）已知分別是橢圓的兩個焦點，點在上，若的最大值為2，則（

）A． B．2 C．4 D．16【答案】B6．（2022·四川·廣安二中模擬預測（文））已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C7．（2022·福建·廈門外國語學校高三階段練習）已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C8．（2022·陜西省榆林中學高三階段練習（理））近日，各地有序開展新冠疫苗加強針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點為了更好的服務市民，決定增派甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務工作者參加登記、接種、留觀3項工作，每項工作至少1人參加，若表示事件：“甲參加登記這項工作”；事件表示“乙參加登記這項工作”；事件表示“乙參加接種這項工作”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與相互獨立 B．事件與相互獨立C． D．【答案】D二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·江蘇常州·高三階段練習）某小區(qū)通過開設公益講座以提高居民的環(huán)境保護意識，為了解講座的效果，隨機抽取10位小區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份環(huán)境保護的知識問卷，這10位小區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖所示，則以下結(jié)論正確的是（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)大于B．講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前問卷答題的正確率的極差C．講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后問卷答題的正確率的方差D．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于【答案】ABC10．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，則下列命題正確的是（

）A．的最大值為B．存在，使得C．若，則D．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為【答案】ABD11．（2022·重慶八中高三階段練習）若過點的圓與兩坐標軸都相切，且與過點和點的直線相離，設為圓上的動點，則下列說法正確的是（

）A．圓心的坐標為或B．面積的最大值為22C．當最小時，D．不存在點使【答案】BCD12．（2022·江蘇·漣水縣高三階段練習）在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當平面時，與可能為B．當時，的最小值為C．若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為D．當時，正方體經(jīng)過點?P?C的截面面積的取值范圍為【答案】AC第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________．【答案】114．（2022·江蘇·高三階段練習）設拋物線和的焦點分別為，點在上，軸，線段交于點，且為的中點，則的值為______.【答案】##15．（2022·江蘇省如東高三階段練習）已知函數(shù)，若與的圖像上分別存在點，使得關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】16．（2022·江蘇蘇州·高三期中）侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上．設外圍第一個正方形的邊長為1，往里第二個正方形為，…，往里第個正方形為．那么第7個正方形的周長是____________，至少需要前____________個正方形的面積之和超過2．（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·廣西·南寧二中一模（文））已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得到，然后利用等差數(shù)列的定義證明即可；（2）利用錯位相減的方法求和即可.【詳解】（1）∵，∴.又，∴，∴，且.∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴，即，.∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）易得，∴，則，，化簡得，則.18．（2022·四川·成都七中一模（理））新冠肺炎是近百年來人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病毒.對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情天災，習近平總書記親自指揮、親自部署，強調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位.明確堅決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn).當前，新冠肺炎疫情防控形勢依然復雜嚴峻.為普及傳染病防治知識，增強學生的疾病防范意識，提高自身保護能力，市團委在全市學生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關知識有獎競賽（滿分100分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在[70，80）內(nèi)的學生獲三等獎，得分在內(nèi)的學生獲二等獎，得分在內(nèi)的學生獲一等獎，其它學生不得獎.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表.競賽成績?nèi)藬?shù)61218341686(1)從該樣本中隨機抽取2名學生的競賽成績，求這2名學生恰有一名學生獲獎的概率；(2)若該市所有參賽學生的成績X近似地服從正態(tài)分布，若從所有參賽學生中（參賽學生人數(shù)特別多）隨機抽取4名學生進行座談，設其中競賽成績在64分以上的學生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）根據(jù)題意可得獲獎情況，再根據(jù)組合數(shù)的計算與概率公式求解即可；（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)可得隨機變量，再列出分布列求解數(shù)學期望即可.【詳解】（1）由樣本頻率分布表可知，樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，獲三等獎的16人，共30人，則70人沒有獲獎，所以從該樣本中隨機抽取2名學生的競賽成績，這2名學生恰有一名學生獲獎的概率為.（2）因為該校所有參賽學生的成績X近似地服從正態(tài)分布，所以，所以，即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，該生成績在64分以上的概率為，所以隨機變量，所以（，1，2，3，4），所以，，，，，所以的分布列為01234P所以.19．（2022·山東·利津縣高三階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，是斜率為2的直線上的兩個不重合的點，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2)的取值范圍為【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換，結(jié)合內(nèi)角和關系化簡條件等式即可求角；(2)由斜率公式可得，根據(jù)正弦定理可求的外接圓半徑，再由正弦定理用角表示，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】（1）因為，又，所以，，因為，所以，故，因為，所以或；（2）因為，是斜率為2的直線上的兩個不重合的點，所以且，故，因為為銳角三角形，由(1)可得，，，所以，設的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，因為，，所以，，因為，所以，所以，，所以，，因為，所以，所以，所以，故的取值范圍為.20．（2022·安徽·六安二中高三階段練習）如圖，在三棱錐中，，為的中點，．(1)證明：平面平面；(2)若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）建立空間直角坐標系，計算平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的大小為，求出的長，計算三棱錐的體積.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，又，，所以平面，因為平面，平面平面.（2）以O為坐標原點，為軸，為y軸，過O且垂直的直線為x軸，建立如圖空間直角坐標系，為邊長為1的等邊三角形，則，，，設，，因為，所以，所以，，設為平面的一個法向量，則，即，令，又平面的一個法向量為，所以，解得，所以，，所以，所以三棱錐的體積為21．（2022·全國·模擬預測）已知為坐標原點,,分別是雙曲線：（,）的左,右焦點,,若直線與雙曲線點的右支有公共點.(1)求的離心率的最小值;(2)當雙曲線的離心率最小時,直線與交于,兩點,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由于,所以離心率的最小值即為求的最大值,連接,,要使雙曲線的離心率最小,只需最大,即最大,求出關于直線的對稱點為,連接,,則即可求出最大值,進而求出離心率最小值;(2)由(1)可得離心率最小值時的,可得雙曲線方程,聯(lián)立直線與雙曲線方程,設,兩點坐標,求出,代入上式即可.【詳解】（1）解:由題知,,設關于直線的對稱點為,則,解得,故,連接,,,,則,則,故最大值為,,故雙曲線的離心率的最小值為;（2）由(1)知雙曲線的離心率的最小值為,此時,雙曲線方程為,聯(lián)立得,消去并整理得,則有且,即且,設,,則,,則,.【點睛】思路點睛:本題考查雙曲線性質(zhì)以及直線與雙曲線的位置關系,屬于難題,常用的解決直線與圓錐曲線位置關系的思路為:(1)設直線方程(注意斜率存在不存在以及斜率為0的情況),設交點坐標,(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,(3)設為不求,韋達定理(注意判別式的正負),(4)列出滿足題意的方程,進行化簡.22．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）若函數(shù)有兩個零點．(1)求證：；(2)設為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的零點，且，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）解法一，由分離常數(shù)，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得；解法二，利用多次求導的方法，結(jié)合有兩個零點證得.（2）根據(jù)的極大值點、零點列方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得，然后結(jié)合基本不等式證得.【詳解】（1）解法一：令，則，令，注意到：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值