數(shù)學(xué)試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模（文））已知集合或，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可得出答案．【詳解】∵或，∴故選：B．2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，∴，即.故選：A3．（2022·江蘇·海安高三階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算即可求得.【詳解】∵，所以三點(diǎn)共線且.如圖所示：∴，即.故選：A.4．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（文））“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為1，則經(jīng)過該多面體的各個頂點(diǎn)的球的表面積為（

）A．8π B．4π C． D．2π【答案】B【分析】將該多面體補(bǔ)形為正方體，得到經(jīng)過該多面體的各個頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟w的棱切球，求出該正方體的邊長，求出棱切球的半徑，得到表面積.【詳解】將該多面體補(bǔ)形為正方體，則由，，所以由勾股定理得：，所以正方體的邊長為，所以經(jīng)過該多面體的各個頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟w的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，故過該多面體的各個頂點(diǎn)的球的半徑為1，球的表面積為.故選：B5．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）在某種信息傳輸過程中，用6個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個信息．在所有信息中隨機(jī)取一信息，則該信息恰有2個1的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出總的事件個數(shù)，再求恰好有2個1的種數(shù)，根據(jù)概率公式即可求解.【詳解】每個位置可排0或1，故有2種排法，因此用6個數(shù)字的一個排列的總個數(shù)為，恰好有2個1的排列的個數(shù)共有，故概率為：，故選：D6．（2022·山東省濟(jì)南市高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（，）是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則ω和φ的值分別為（

）A．2， B．， C．2， D．，【答案】C【分析】由是偶函數(shù)及可得或.由圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求.【詳解】解：由是偶函數(shù)，，，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，又在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故，∴，∵圖象上的點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，故，，即，.∵在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即.又∵,，,∴當(dāng)時可得.故，.故選：C．7．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可比較出的大小，再由結(jié)合的單調(diào)性可判斷的大小，從而可比較出三個數(shù)的大小.【詳解】，令（），則，當(dāng)時，，所以在上遞減，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以，所以，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小，屬于較難題.8．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，此時為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因?yàn)?，令因?yàn)?，所以，在中，，所以，，所以，，所以，?dāng)，即時，取得最大值，所以，當(dāng)時，取得最大值，此時為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中（

）A．與的夾角為B．二面角，的正弦值為C．與平面所成角的正切值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】CD【分析】本題根據(jù)線面垂直的判定判斷得出線線垂直，通過作輔助線找到二面角再通過余弦定理計(jì)算其余弦值，根據(jù)線面角的定義找到線面夾角再進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)到平面的計(jì)算公式結(jié)合前面所得夾角正弦值即可算出距離.【詳解】，且平面，所以平面，又平面，，故A錯誤；過作垂線，垂足為H，連接，易知H為中點(diǎn)，在等邊三角形中，，所以為二面角的平面角，．故B錯誤；易知平面，設(shè)直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，則故C正確；由C知，，所以到的距離為．故D正確．故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查知識點(diǎn)十分綜合，涉及到線面垂直的判定，異面直線夾角，點(diǎn)到平面的距離，二面角等等，需要我們對知識點(diǎn)能夠融會貫通.10．（2022·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線l與曲線的另一個交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A．0 B． C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合已知條件和一元二次方程性質(zhì)可求出的大致范圍和，，進(jìn)而化簡和，然后表示出直線的方程，然后將分別代入直線的方程和即可求解的值.【詳解】由已知得，，∵，即有兩個不同的實(shí)數(shù)根，∴，解得，，且，，故，同理，從而直線l：，化簡得，，因?yàn)橹本€l與曲線的另一個交點(diǎn)為，所以，解

①，又

②，聯(lián)立①②可得，或或．故選：ACD.11．（2022·湖南永州·一模）拋物線，點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則下列說法正確的是（

）A．B．有可能是鈍角C．當(dāng)直線的斜率為時，與面積之比為3D．當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時，【答案】ACD【分析】對于A，利用拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解；對于B,對直線的斜率存在和不存在時進(jìn)行分類討論，得到，計(jì)算即可判斷；對于C，可得到，通過計(jì)算出即可判斷；對于D，設(shè)直線的方程為，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，通過題意可得到，可計(jì)算出的坐標(biāo)即可判斷【詳解】解：對于A，由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，所以，解得，故A正確；對于B，由A選項(xiàng)可得，且焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，，則整理得，所以，，因?yàn)樗?，所以，因?yàn)?，所以為銳角；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，所以將代入拋物線可得，則，則，所以，此時為直角，故B錯誤；對于C，，，所以，所以當(dāng)時，，，解得，所以，故C正確；對于D，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，所以由得到①，因?yàn)橹本€與拋物線只有一個公共點(diǎn)，所以，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，則，①可變成，解得，故由B選項(xiàng)可得此時，所以，故D正確；故選：ACD12．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，均為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題知，，進(jìn)而得，可判斷A；再對求導(dǎo)可得，進(jìn)而得為周期函數(shù)，周期為，進(jìn)而可得，可判斷BD；再根據(jù)得，進(jìn)而得時，可判斷C..【詳解】解：因?yàn)槿簦瑸槠婧瘮?shù)，所以，令得，，即，，A選項(xiàng)正確；所以，，即，所以，函數(shù)關(guān)于對稱，對稱，所以，，即所以，，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，，，故D選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，由可得，其中為常數(shù)，所以，所以，故令得，即，故C選項(xiàng)正確.故選：ACD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】【分析】求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再由多項(xiàng)式乘法法則可得．【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，，，，，所以所求常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出與圓和圓都相切的一條切線方程___________.【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為，因?yàn)?，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以，可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上任取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：或或.15．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知，是曲線的兩條傾斜角互補(bǔ)的切線，且，分別交y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的最小值是______.【答案】##【分析】由函數(shù)解析式，求導(dǎo)，寫出切線方程，并求與縱軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)切線，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由題意可知，，即，可得，，令，，故，同理可得，則，由于，則等號不能取，即，解得，即的最小值為.故答案為：.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，離心率為，若，，為橢圓上三個不同的點(diǎn)，且，則的面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求得橢圓，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，設(shè)：，求得；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得，得到，即可求解.【詳解】由題意，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，離心率為，可得，解得，則，所以橢圓為，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線：，不妨令，，由，得，，故，將代入橢圓方程，可得，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，設(shè)，由，可得，，代入，可得，所以，且到直線的距離，所以，所以，綜上可得，則的面積為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列，，，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，又，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出；（2）由裂項(xiàng)相消法求解即可.（1）由題意，，因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為3公差為2的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，，又因?yàn)闈M足，所以，結(jié)合，所以.（2）由（1）和得，所以，又，故，..18．（2022·江蘇·海安高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，D為邊BC上一點(diǎn)，若．(1)證明：①AD平分∠BAC，②；(2)若，求的最大值．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)【分析】（1）①分別在在△ABD、△ACD中利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合題意化簡整理；②根據(jù)，由余弦定理結(jié)合題意化簡整理；（2）根據(jù)題意結(jié)合倍角公式化簡整理可得：，即可得，利用勾股定理結(jié)合不等式運(yùn)算求解.（1）①設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，在△ABD中，由正弦定理得：，即，在△ACD中，由正弦定理得：，即由題意可得：，則∵，則∴，又因?yàn)?，所?，即所以AD平分∠BAC，②由題意可得：，即整理得：∵，∴即證（2）因?yàn)?，即又∵所以，即所以，則∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以的最大值為．19．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）四棱錐底面為平行四邊形，且，，，平面，．(1)點(diǎn)在棱上，且，求證：平面；(2)若異面直線與所成角的余弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）作出點(diǎn)，并連接，，，，且交于點(diǎn)，連接，可知，得到，進(jìn)而得到，即可證明；（2）中，由余弦定理和勾股定理可得，再以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式表達(dá)出異面直線與所成角的余弦值，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量解決二面角問題即可.（1）作出點(diǎn)，并連接，，，，且交于點(diǎn)，連接，在平行四邊形中，，則，又因?yàn)?，所以，則有，平面，平面，所以平面．（2）在中，，，，則，有，于是得，即，，又平面，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，，有，，因異面直線與所成角的余弦值為，則，解得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，取平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）伴隨經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習(xí)慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對去年的參與了該連鎖機(jī)構(gòu)健身的會員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個統(tǒng)計(jì)圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員到健身連鎖機(jī)構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員中隨機(jī)抽取一個容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；類別年輕人非年輕人合計(jì)健身達(dá)人健身愛好者合計(jì)100臨界值表：(2)將（1）中的頻率作為概率，連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取會員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”,再從這3人中隨機(jī)選取的1人，了解到該會員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望值.【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)(2)①；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）首先根據(jù)題意填寫好表格，根據(jù)公式計(jì)算值，對照表格得到結(jié)論；（2）根據(jù)條件概率公式得到此人為非年輕人的概率，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)分，計(jì)算各自概率，得到分布列.（1）根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%，則年輕人人數(shù)為，則非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比60%，所以其人數(shù)為，根據(jù)其中年輕人占比，所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為，則非年輕人為10人；健身愛好者人數(shù)為，再通過總共年輕人合計(jì)為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為，3根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為，具體表格填寫如下.列聯(lián)表為類別年輕人非年輕人合計(jì)健身達(dá)人501060健身愛好者301040合計(jì)8020100零假設(shè)，是否為“健身達(dá)人”與年齡無關(guān).所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；（2）①設(shè)事件為：該人為年輕人，事件為：該人為健身達(dá)人，故此人為“非年輕人”的概率為則②由（1）知，既是年輕人又是健身達(dá)人的概率為，，故X的分布列：0123的數(shù)學(xué)期望值.21．（2022·廣東·廣州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，的角平分線為直線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得到點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出，得到軌跡方程；（2）設(shè)出，，，根據(jù)角平分線的條件，結(jié)合向量投影模長相等得到，從而求出，點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線的方程，由點(diǎn)到直線距離公式求出，再求出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，結(jié)合基本不等式求出，最后求出的最大值.（1）由題意得：，，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，即，所以的方程為；（2）由對稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，設(shè)直線的斜率為，記，由為的角平分線，則，其中，，所以，同理得：，，代入中，，化簡得：，將代入，中，解得：，所以，，設(shè)直線的方程為，將代入，解得：，所以直線的方程為，