復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰haifeng3@復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第1頁提要傳染病動(dòng)力學(xué)基本概念復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)基本結(jié)果與推廣個(gè)體、社會(huì)行為反應(yīng)對(duì)傳輸行為影響總結(jié)與展望復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第2頁一、基本概念復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第3頁專業(yè)名詞S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢復(fù)者、移除者）;V-vaccinated(接種者）;E-exposed（暴露但不含有感染性，或稱潛伏）。SIS模型：易染個(gè)體被感染后，能夠被治愈但無免疫力（還能夠再被感染）（感冒等）SIR模型：易染個(gè)體被感染后，能夠被治愈且有免疫力（不會(huì)被感染，也不會(huì)感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳輸網(wǎng)絡(luò)中被去除了）（天花等）SI模型：易染個(gè)體被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染個(gè)體被感染后，能夠被治愈且有免疫力，但免疫期是有限，還會(huì)再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第4頁基本微分方程SIR微分方程SIS微分方程更普通模型，能夠考慮人口數(shù)量改變、傳輸率改變、各種群、時(shí)間滯后、加入媒介、加入接種辦法，等等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第5頁二、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上疾病傳輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第6頁①感染密度（感染水平或者涉及范圍）ρ(t)

ρ(t)：傳輸過程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)百分比。ρ：傳輸?shù)椒€(wěn)態(tài)時(shí)（）感染密度值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。②有效傳輸率λ(=/)

λ非常?。ê苄?，很大），傳輸達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，全部節(jié)點(diǎn)都會(huì)變成健康節(jié)點(diǎn)，這種情況下就認(rèn)為疾病沒有在網(wǎng)絡(luò)上傳輸開來，并記該疾病穩(wěn)態(tài)感染密度ρ

=0。反之，當(dāng)λ足夠大時(shí)，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會(huì)完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)數(shù)目有時(shí)多有時(shí)少，這時(shí)穩(wěn)態(tài)感染水平（涉及范圍）

ρ

0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實(shí)數(shù)改變那個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)有效傳輸率稱作傳輸閾值（臨界值）λc。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上傳輸行為最主要參量之一。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上研究主要參量復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第7頁均勻網(wǎng)絡(luò)中SIS模型Ⅰ.均勻網(wǎng)絡(luò)：

Ⅱ.解析模型三個(gè)假設(shè)：①均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個(gè)體密度成百分比。即：

和為常數(shù)（均勻混合）。不失普通性，可假設(shè)=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳輸時(shí)間尺度；②均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)度都等于網(wǎng)絡(luò)平均度<k>；③規(guī)模不變假設(shè)：不考慮個(gè)體出生和自然死亡

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第8頁利用平均場(chǎng)方法可得：被感染個(gè)體密度ρ(t)改變率被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生新感染節(jié)點(diǎn)平均速度，它與有效傳輸率、節(jié)點(diǎn)平均度〈k〉，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-ρ(t)成百分比，（其它高階校正項(xiàng)忽略了）。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第9頁當(dāng)傳輸?shù)竭_(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，改變率為0，所以令上式右端為0；

即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；當(dāng)λ<時(shí)，ρ-必大于0，所以ρ=0；當(dāng)λ時(shí)，ρ=；所以，即為臨界傳輸值，記=。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第10頁結(jié)論：在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)有限正傳輸臨界值λc。假如有效傳輸率λλc，則病毒能夠在網(wǎng)絡(luò)中傳輸開來，并最終穩(wěn)定于,此時(shí)稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)；假如有效傳輸率λ<λc，病毒感染個(gè)體數(shù)呈指數(shù)衰減，無法大范圍傳輸，最終將不能傳輸,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)稱為吸收相態(tài)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第11頁無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中疾病傳輸Ⅰ.無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：含有冪律度分布網(wǎng)絡(luò)，即：；

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度沒有顯著特征長度Ⅱ.解析模型無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布是呈冪律分布，因而度含有很大波動(dòng)性，定義一個(gè)相對(duì)感染密度：度數(shù)為k感染節(jié)點(diǎn)數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)百分比。當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，相對(duì)穩(wěn)態(tài)感染密度記為。平均感染密度：穩(wěn)態(tài)平均感染密度：∝復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第12頁一樣我們能采取MF理論來求改變率得:度為k節(jié)點(diǎn)相對(duì)感染密度改變方程為：

：任意一條給定邊與一個(gè)被感染節(jié)點(diǎn)相連概率任意一條給定邊指向度為k節(jié)點(diǎn)概率為（與度為k節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)邊數(shù)與總邊數(shù)比值）則任意一條給定邊指向度為k感染節(jié)點(diǎn)概率為從而，

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第13頁依據(jù)穩(wěn)態(tài)條件，可得：把（1）代人（2）能夠得到以下自洽方程有一個(gè)平凡解假如該方程要存在一個(gè)非零穩(wěn)定解，需要滿足以下條件：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第14頁結(jié)論：對(duì)于SF（無標(biāo)度）網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度數(shù)含有很大浮動(dòng)性，當(dāng),造成，從而尤其地，作為SF網(wǎng)絡(luò)一個(gè)經(jīng)典例子，考慮BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第15頁BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)傳輸臨界值BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：(1)增加特征，(2)優(yōu)先連接特征（富者更富，或馬太效應(yīng)）度分布，平均度其中m是網(wǎng)絡(luò)最小度

將平均度，度分布，以及帶入，可得：

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第16頁復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第17頁又因?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第18頁化簡后得：當(dāng)λ=0時(shí)，有當(dāng)λ>0時(shí)，有結(jié)論：BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在SIS模型下只要有效傳輸率λ>0，病毒就能傳輸開來，并將到達(dá)一個(gè)穩(wěn)定感染水平，這反應(yīng)了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒脆弱性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第19頁WS網(wǎng)絡(luò)與BA網(wǎng)絡(luò)比較復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第20頁總結(jié)1.SIS模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)傳輸臨界值。當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過程中逐步衰減，最終被滅；當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過程中傳輸開來，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）：2.SIS模型在SF網(wǎng)絡(luò)中，傳輸臨界值：只要有效傳輸率λ>0，病毒就能傳輸開來，并將到達(dá)一穩(wěn)定感染水平值：，這反應(yīng)了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒脆弱性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第21頁均勻網(wǎng)絡(luò)中SIR模型對(duì)自洽方程求導(dǎo)結(jié)論：疾病閾值也是最終感染范圍為：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第22頁無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中SIR模型其中輔助函數(shù)：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第23頁對(duì)于SIR模型，最終感染百分比為0！所以依據(jù)恒等式：能夠得到以下關(guān)系式，所以由得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第24頁類似求SIS中方法，有結(jié)論類似方法一樣能夠發(fā)覺，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終感染范圍也是：結(jié)論：無標(biāo)度上SIR模型和SIS模型含有相同暴發(fā)閾值，以及同等規(guī)模感染范圍！復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第25頁1.隨機(jī)免疫：隨機(jī)選一部分人進(jìn)行免疫2.目標(biāo)免疫：免疫度大結(jié)點(diǎn)3.熟人免疫：隨機(jī)找一個(gè)結(jié)點(diǎn)，再隨機(jī)選一個(gè)鄰居進(jìn)行免疫4.環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個(gè)體全部(距離為k)鄰居5.接觸追蹤：對(duì)與有傳染性個(gè)體接觸者進(jìn)行跟蹤，然后以一定概率進(jìn)行免疫免疫策略復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第26頁結(jié)論：

在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要，就可確保疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳輸開來；SF網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為１，即任給定一λ值，都需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中全部個(gè)體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳輸開來。說明隨機(jī)免疫只對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小),而對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)效果很差（=1）。原因：這是因?yàn)镾F網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度呈兩極分化，采取隨機(jī)免疫，哪些最輕易傳輸病毒節(jié)點(diǎn)（度大節(jié)點(diǎn)）不一定取得免疫。所以，假如對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫策略，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中幾乎全部節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能確保最終毀滅病毒傳染。所以對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)這么異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無效！復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第27頁其它網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳輸行為影響加權(quán)網(wǎng)絡(luò)：YanGang等，CPL,Vol.22,No.2()510社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)：劉宗華等，EPL,72,315,層狀網(wǎng)絡(luò)：鄭大昉等，PhysicaA,352,659,含有地理效應(yīng)網(wǎng)絡(luò)：許新建等，PRE,Phys.Rev.E,76,056109,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第28頁其它方面網(wǎng)絡(luò)與傳輸共同演化T.Gross,C.J.D.D'Lima,B.Blasius,Phys.Rev.Lett.,96,208701,.;

T.Gross,B.Blasius,Adaptivecoevolutionarynetworks:areview,J.R.Soc.Interface,5,259-271,;T.Gross,I.G.Kevrekidis,Europhys.Lett.82,38004,;S.Risau-Gusmsán,D.H.Zanette,J.Theor.Biol.,257,52-60,;

D.H.Zanette,S.Risau-Gusmsán,J.Biol.Phys.,34,135-148,;L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,77,066101,.L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,81,046120,.人口移動(dòng)：V.Colizza,A.Vespignani,Phys.Rev.Lett.,99,148701,.V.Colizza,R.Pastor-Satorras,A.Vespignani,NaturePhysics3,276-282,.V.Colizza,A.Barrat,M.Barthelemy,A.Vespignani,InternationalJournalofBif.andChaos.17,2491-2500,.M.Tang,Z.H.Liu,andB.W.Li,Europhys.Lett.,87,18005,.S.Meloni,A.Arenas,Y.Moreno,Proc.NatlAcad.Sci.USA,106,16897,.S.J.Ni，W.G.Weng,Phys.Rev.E,79,016111,.VitalyBeliketal,PRX1,011001

()復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第29頁三、個(gè)體、社會(huì)行為反應(yīng)對(duì)傳輸行為影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第30頁動(dòng)力學(xué)與個(gè)體行為、政府決議相互關(guān)系示意圖用來刻畫傳染病動(dòng)力學(xué)與個(gè)體行為，政府決議等原因之間相互影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第31頁1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100()1564模型：因?yàn)榻臃N天花存在著一個(gè)困境，預(yù)防面臨代價(jià)，不預(yù)防也有被感染風(fēng)險(xiǎn)；另外因?yàn)?herdimmunity）群體免疫作用，假如他人采取了免疫那么我被感染風(fēng)險(xiǎn)減小，我能夠不免疫，不過他人也有這么想法，所以這是一個(gè)預(yù)防困境問題。用博弈中收益（payoff)來描述接種收益和暫時(shí)不接種收益：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第32頁模型假設(shè)每個(gè)個(gè)體采取接種概率為p,在群體中就有p百分比人選擇接種，此時(shí)對(duì)應(yīng)個(gè)體而言，個(gè)體平衡點(diǎn)為：對(duì)于整個(gè)集體最優(yōu)為,代價(jià)C(p):最小。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第33頁主要結(jié)果（個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)差距）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第34頁2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)()e85模型：流感疫苗使用期是有限（比如一年，一個(gè)季度），不過流感又是不停發(fā)，所以對(duì)于理性個(gè)體就要不停做決定是否采取接種疫苗，那么他/她就會(huì)依據(jù)當(dāng)前暴發(fā)范圍、接種疫苗范圍、以及以前成敗史來判斷當(dāng)前是否采取接種。思想：a,上個(gè)季節(jié)采取接種，不過總接種范圍超出“需要接種范圍”，則下個(gè)季節(jié)接種意愿減小！b,上個(gè)季節(jié)采取接種，不過總接種范圍低于“需要接種范圍”，則下個(gè)季節(jié)接種意愿增加！c,上個(gè)季節(jié)沒有采取接種，不過沒有被感染，則下個(gè)季節(jié)接種意愿減小！d,上個(gè)季節(jié)沒有采取接種，不過被感染，則下個(gè)季節(jié)接種意愿增加！復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第35頁模型示意圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第36頁主要結(jié)果兩種不一樣政府補(bǔ)助引發(fā)不一樣效果免疫百分比p(black)和感染百分比f(red)時(shí)間演化圖復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)概述張海峰專家講座第37頁3，F(xiàn).Fu,D.I.Rosenbloom,L.Wang,M.A.Nowak,Imitationdynamicsofvaccinationbehavioronsocialnetworks,Proc.R.Soc.B,278,42-49,.模型：在流感暴發(fā)暴發(fā)季節(jié)之前，每個(gè)個(gè)體要選擇是否接種流感疫苗：(a),接種，在接下來季節(jié)不會(huì)被感染，不過要付出V代價(jià);(b),假如不接種，可能面臨兩種不一樣結(jié)果：被感染，付出1代價(jià)；沒有被感染付出代價(jià)為0！模型示意圖