第四講

數(shù)學(xué)思維開拓性一、概數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1)一題的多種解法例如已知復(fù)數(shù)z滿||的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：①運用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；②運用復(fù)數(shù)的三角形式；③運用復(fù)數(shù)的幾何意義；④運用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式|||zzz||；1⑤運用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)2⑥（數(shù)形結(jié)合）運用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓|r有公共點時r的最大值。(2)一題的多種解釋1例如，函數(shù)式2

可以有以下幾種解釋：1①可以看成自由落體公sgt21②可以看成動能公式22

.1③可以看成熱量公RI2

.又如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷”可以變換為log,

(logb)sec

tg

等等。1思維訓(xùn)實例例1

已xy2求證分析

用比較法本題只要證ax)為了同時利用兩個已知條件只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。

．．．．．．．．證法)所以ax

12

(1)分析運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆并注意書寫規(guī)范。證法

要證只需證

ax)0,即

2(ax)0,

y因為

a

2

2

x

2

y

2

M·d所以只需證即

a2y2))0,x)y)

Ox因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。圖42分析運用綜合法（綜合運用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）證法

a

2

bya22byby.by22即

ax分析三角換元法由于已知條件為兩數(shù)平方和等于的形式符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運算關(guān)系，給證明帶來方便。證法

2可設(shè)分析5

數(shù)形結(jié)合法：由于條件x

2

2

可看作是以原點為圓心，徑為1的單位圓，而ax

axby

聯(lián)系到點到直線距離公式，可得下面證法。證法（如圖4-2-1）因為直l:ax0經(jīng)過圓x

2

y

2

圓心O，所以圓上任意一點(x)到直axby0的離都小于或等于圓半徑1，

1212即

d

|ax|a22

簡評五種證法都是具有代表性的基本方法也都是應(yīng)該掌握的重要方法除了證法4、證5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當進行選擇。例2分析

如x)x)(y)0,求證、y成等差數(shù)列。要證、、，必須有立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法z)

2

x)(y)故

x，即

、、成等差數(shù)列。分析

由于已知條件具有x,換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運算帶來便利。證法

設(shè)xy,則a于是，已知條件可化為：所以xy、成等差數(shù)列。分析

已知條件呈現(xiàn)二次方程判別結(jié)構(gòu)特點引人注目供了構(gòu)造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機會。證法

當y時，由已知條件知0,xy,即、y、等差數(shù)列。當y0時，關(guān)t的一元二次方程(y)t

2

zt0,其判別zx)

2

x)(y)0,故方程有等根，顯t＝1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，由韋達定理知

tyy.即

、、等差數(shù)列。簡評：證法1是常用方法略嫌呆板但穩(wěn)妥可靠證法簡單明了是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3知xy，2y的最小值。分析

雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個字母y但已知條件恰xy的關(guān)系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。

最小值最小2最小值最小2解法xyy設(shè)z

2

2

，則z

2

x)

2

2x

2

x二次項系數(shù)最小值。當時，z＝22

4（－＝42

x

y

1的最小值為2分析

已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式

y

有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法

y(xy)2即x2xy即

y

111,當且僅xy時取等號。2y2的最小值為.22分析配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。解法

設(shè)z22xy

111時，z＝即y的最小值為.222分析因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法

如圖4－2－2表示直l,x2y2

y表示原點到直l上的(x,)的距離的平方。顯然其中以原點到直l距離最短。

1此時

|

(x

2)＝.最小

O1x所以x

y

1的最小值為2

圖4－2－注

如果設(shè)x

2

y

2

問題還可轉(zhuǎn)化為直線x與圓x

2

y

2

z有交點時徑z的最小值。簡評幾種解法都有特點和代表性。解法是基本法，解法2、4都緊地抓住題設(shè)條件的特點與相關(guān)知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。例4zR,

1

R求證z

aa分析由已知條件

1

為實數(shù)這一特點，可提供設(shè)實系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運用韋達定理可以探求證題途徑。證法設(shè)),a時，可得z0與z條件不合。120.于是有

az

zR該方程有一對共軛虛根，設(shè)為zz，于是z,z2z|21122a又由韋達定理知zz1221

z|

|z分析

由于實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是這個實數(shù)利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程注意到zz|

這一重要性質(zhì)，即可求z的值。證法設(shè)

1

),a0，可得z0與z條件不合，a0.z則有a，aa.1即

z(1

2

z(1

2

zzz(z但

z,|2|2,(z)(1|2)0.而

z|

2

|分析因為實數(shù)的倒數(shù)仍為實數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進行運算的形式。再運用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點。證法

1R,R即.1zz從而必有z|z|簡評設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這是需要體會的關(guān)鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。例5

由圓x

2

y

2

外一引圓的割線交圓于、點，求弦的中點M的軌跡方程。分析（直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點的一些性質(zhì)，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。解法

如圖4－2－3，設(shè)弦AB的中M的坐標(xy)連OM，OMOMP中，由兩點間的距離公式和勾股定理有

整理，得

x2x0.其分析（定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法因為M是中點，所AB，5所以點M的跡是OP為直徑的圓，圓心(,2|OP|半徑為該圓的方程為：2化簡，得

x

2

2

y其x分析3（交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動M可看作直O(jiān)M割線PM的交點，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法

設(shè)P點的割線的率k,則過P的割線方程為：yk(5).1且原點OM的方程為yx兩條直線的交點就是M點的軌跡。兩方程相乘消,化簡，得：x

2

2

y0.其x分析4（參數(shù)法）將動點坐標表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)于動M隨直線的斜率變化而發(fā)生變化動M的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4

設(shè)過點的割線方程為：k(x它與圓x

2

2

兩個交點為A、，AB的中點M.解方程組

y(xx2y2利用韋達定理和中點坐標公式，可求M點的軌跡方程為：x

2

2

y其x分析（代點法）根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設(shè)而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點M的坐標(,y)與兩交點()、(,)通過中點公式聯(lián)系起來M、B構(gòu)成4點共線的和諧關(guān)系，122根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法

設(shè)M(),A(x,y),則xx,yy112121兩式相減，整理，得

(xx)y)(yy)0.2122