3t),1(一矩陣的秩對研究向量組間是否線性相關有重要的意義咱們可以通過把向量組轉換成矩陣的形式，通過判斷矩陣的秩的情況來間接判定向量組是相關還是無關的。那么我們首先從向量組之間的關系著手。1.向量組間的關系(1).定義[4]

若向量組中每個向量都可以由向量組B性表示則稱向量組A能由向量組B線性表出。兩個向量組若能互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。向量組中任何一個最大的線性無關組所含有的向量數(shù)稱為這個向量組的秩。(2).有關定理①[4]

若向量組A能由向量組B線性表示，則知秩；②[4]

等價的向量組必等秩,但是其逆不真；③[4]

矩陣中行向量組的秩和列向量組的秩都等于其非零子式的最高階,所以矩陣的秩既等于其行秩(即其行向量組的秩),又等于其列秩即其列向量組的秩)。④[4]

一個向量組中，其任何兩個極大線性無關組都是等價的。2.判定向量組是否線性相關利用矩陣的秩來判斷向量組的線性相關性,通常用來判斷有mn維向量的向量組。令AL,)m

，當()m此向量組L,是線性無關的，當2,R()m，此向量組是線性相關的。例:設

(1,1,1)T(1,2,3)T,t)123

。（1）問t的值取多少時，該向量組線性相關？（2）問t的值取多少時，該向量組線性無關？

1

11

解:

A12311,從最后一個矩陣可知：（15時，(A,向組線性無關；（2）t=5時()向量組線性相關。3.根據(jù)矩陣的秩判斷向量組線性相關性利用矩陣的秩證明向量組的線性相關性，就是把向量組中每一個向量用矩陣形式表示出來，根據(jù)矩陣秩的性質，分析向量組間相關性。通常用于證明具有兩對向量的向量組。例:設向量組,是線性無關的，根據(jù)矩陣的秩的關性證：12是線性無關的。22證明令1123

0

則

(

)012

110000因矩陣

011

可逆，故(

,

)(1

,

)所以即性無關。13121（1.矩陣的秩和非齊次線性方程組矩陣的秩在判斷線性方程組解情況中，有很重要作用，能夠快速確定方程組解的個數(shù)。接下來我們從定理的證明入手，來探究矩陣的秩與線性方程組之間的關系。定理[4]

：對于非齊線方程組

ax11121nn1axx21122222LLLxrr22rnr此方程組有解的充分必要條件即為方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。例:分析以下方程組，探分別取什么值時，方程組的解是什么樣子?

1231212解:其系數(shù)矩陣

111

增廣矩陣

1

11若要方程組有解則rankB.

1

11

11

11

10

2

12

B11由此可以看出(A()方程組無解。(A()方程組含無窮多個解。(A(B)方程組有唯一解。

總結：對于非齊次線性方程組，我們設A為其系數(shù)矩陣，為其增廣矩陣。--

110100當且()(B)時，方程組有唯一的解。當，方程組有無窮多個解。當()()時方程組無解。由上可以看出，矩陣的秩和線性方程組的解之間是緊密的相連的，從矩陣的秩入手，不僅可以簡單判斷出非齊次線性方程組是否有解，而且可以判斷出齊次線性方程組解的情況。2.矩陣的秩與齊次線性方程組定理2錯誤!未定義書簽

:對于齊次線性方程組

ax11121nax2122nxr1r22rn在齊次線性方程組有非零解時，它有基礎解系，并且基礎解系所含有解的個數(shù)等于n，這里r表系數(shù)矩陣的秩。例

13（1）11解:方程組的系數(shù)矩陣為A，

1

A111

計算系數(shù)矩陣的行列式,11

1

(

11時，方程組非解

1

1

A00

時，

1

0

綜上可得，當

A111時，(),此時方程組有兩個非零解。此時方程組可化簡為方程組(1)與(2)同解，且為

2

（2）--

和0和01:2由于

2

精選文庫x112x222xx33兩個向量組線性無關，故為方程組的基礎解系，令表示方程組的通解。因此，方程組的通解為X其12，(A此時方程組有一個非零的解方程組化簡為方程組(1)與方程組(3)同解1

x33xxxxxx

（3）由

線性無關，故而可以作為方程組的一個基礎解系，所以，此方程組的通解為其kR

且

時，,此時程組只有零解。(三通過以上對矩陣秩的相關定理和結論的證明，我們還將矩陣的秩推廣到解析幾何中，來判斷空間幾何中兩條直線的位置關系。主要用直線的方程構造方程組，運用上面介紹矩和方程組的關系，分析方程組系數(shù)矩陣與它的增廣矩陣的秩的情況，就能夠確定方程組的解的情況，進而判斷空間中兩條直線的位置關系，下面詳細闡述有關解法。給定以下兩條直線的方程:1

axyz1111axyz22

；xyz333axyz44那么這兩條直線之間的位置關系取決于方程組

；xyz1xyz22axy333xyz44解的情況，那么由上面結果我們可以知道，此方程組解的情況又由其系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩決定。各個方程都表示著一個平面，那么線性方程組則表示這兩個平面的交線。--

1313因此有

2()3,2(),B分別表示該方程組的系數(shù)矩陣和它的增廣矩陣。當()()時，那么該方程組有解，即說明兩條直線存在交點。特別地，若()(B)，此方程組的解是無窮多的，即代表兩直線完全一樣。當(A)()時此時方程組的解僅有一個，代表兩條直線相交。當(A)(B)

此時方程組無解那么兩條直線沒有交點在空間幾何里這兩條直線為平行或者異面。(四矩陣的秩與特征值之間的關系討論中，著重研究特殊情況，即當矩陣的秩為1的時候時，特征值得取值如何。引理錯誤!未定義書簽

：設A)是階矩陣，那么它的特征多項式為ij

a)1122

，其中

aa

，特別地，若秩()，那么特征多項式為A

ii

ii

，則矩陣A的特征值是3,1ii

2例:

i根據(jù)矩陣的秩求下列行列式的值。zLLzL

zzzMMMOMMzzLzzL

解z

zzL

zzx0

L

zxL

zzzz

zz0L

zxLzLzMMOMMMMOMM

0xLMMMMzLzL

zzzzxz

zz0zz0

LL

(1)(2)從上易直觀看出，矩陣(1)的秩是1,因此其特征值,123n矩陣(2)的秩為n,因此其特征值。1所以，原矩陣的特征值x12--

222精選文庫222xLxLxL

zz綜上可得

MMMMLx

＝

12

x)(n

nL

x(五1.矩陣的秩在多項式方面的應用矩陣的秩在多項式中的應用主要體現(xiàn)在互素的多項式中通過運用多項式互素的有關性質，確定多項式秩之間的數(shù)量關系來解題。(1).f(),(x)是多項式，且次數(shù)均大于1,若f(x),g()素，且f(xg()，(f(A))(g(A))。(2).設f([],i,AM(P)，若i1frfff2m(3).fx)P],im,()，fi1m兩互素fAfj,ijLm則Rffii1。2.矩陣的秩判定二次型正定問題設二次型fL,),其,可以有以下結論2n(1).f(的正慣性指數(shù)與秩都等于n正定。(2).f(的負慣性指數(shù)與秩都等于n正定。(3).f(的正慣性指數(shù)與秩相半正定。例：設n階半正定矩陣Bn階正定矩陣，證明AB，等號成立當并且只當A。證：由題目知A正定，A)半正定，B正定，由矩陣的正定的結論知A。當A時，,當A0時，秩，B定，所以必有實可逆矩陣P有P

BP其CP

'

P'(APECEAP，所以秩n特征值L,而C，半正定因此最少有，不妨設1i。那Cn特征值L,，11故有CL(P?A1n1所以，故B，即證得A。P--

精選文庫3．用矩陣的秩解決線性空間問題n維線性空間里，n個線性無關的向量L稱為空間一組基，為任1一向量，那=，其中系數(shù)是唯一的，這組數(shù)即為一組基112下的坐標，可以看出線性空間的維數(shù)和它的一組基中含有的向量是相等的。這樣就把解決維數(shù)問題簡化成分析向量的個數(shù)問題，就是來分析向量組的秩。參文：[1]北大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組王萼