控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、引言數(shù)學(xué)模型:描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式時域數(shù)學(xué)模型：微分方程(連續(xù)系統(tǒng))差分方程(離散系統(tǒng))狀態(tài)方程復(fù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)(連續(xù)系統(tǒng))Z傳遞函數(shù)(離散系統(tǒng))頻域數(shù)學(xué)模型：頻率特性數(shù)學(xué)建模的一般方法：1.分析法：根據(jù)系統(tǒng)或元件所遵循的有關(guān)定律來建模2.實驗法：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)整理擬合數(shù)模第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式：分別為系統(tǒng)輸出和輸入;為微分方程系數(shù)若所有系數(shù)都不是輸入、輸出及其各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則微分方程表示的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；否則，系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。對線性系統(tǒng)，若系數(shù)為常數(shù)則為線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六2014.9.24周三到此！第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六線性系統(tǒng)的疊加原理第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

頻率保持特性：若系統(tǒng)輸入為簡諧信號，則其穩(wěn)態(tài)輸出也為同頻簡諧信號。即：

若，則設(shè)

為已知頻率，則根據(jù)線性系統(tǒng)的比例特性和微分特性，有由線性系統(tǒng)的疊加原理

第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)輸入信號為單一頻率的簡諧信號，即則有

相應(yīng)的輸出也應(yīng)為

即于是輸出y(t)的唯一的可能解只能是第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六列寫微分方程的一般方法：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。注意：輸入量包括給定輸入量和擾動量2.按信息傳遞順序，從系統(tǒng)輸入端出發(fā)，根據(jù)各變量所遵循的物理定律，列寫系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程。注意：負(fù)載效應(yīng)，非線性項的線性化。3.消除中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程。4.整理微分方程。輸出有關(guān)項放在方程左側(cè)，輸入有關(guān)項放在方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項降階排列。

二、系統(tǒng)微分方程第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六Fv2v1bFv2v1mv2v1Fk質(zhì)量彈簧阻尼一）機械系統(tǒng)電路元件兩端電位差v21二）電網(wǎng)絡(luò)電感電阻電容兩端相對速度v21第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1：圖示機械系統(tǒng)m-c-k，列寫微分方程。1.明確：2.牛頓第二定律列寫原始微分方程：3.整理：

系統(tǒng)輸入f(t)

系統(tǒng)輸出x(t)第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例2：圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程。1.明確系統(tǒng)的輸入與輸出：

輸入u(t)，輸出電量q2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例3：列寫微分方程1.明確：輸入T，輸出x(t)2.微分方程：3.消除中間變量f、q，并整理：q0第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例4：圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程。1.明確系統(tǒng)的輸入與輸出：輸入u1，輸出u22.列寫微分方程：3.消除中間變量i1、i2，并整理：第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例5直流電動機1.明確輸入與輸出：輸入ua

和ML，輸出w2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理：電機的反電勢ed反電勢常數(shù)kd電磁力矩M電磁力矩常數(shù)km得第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

三、相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型形式相同組成系統(tǒng)的物理元件不同相似系統(tǒng)：具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同物理構(gòu)成的系統(tǒng)。相似量：質(zhì)量元件彈簧元件阻尼元件電感元件電阻元件電容元件第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

四、系統(tǒng)傳遞函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式：在零初始條件下，對方程兩邊拉氏變換，得：系統(tǒng)固有特性系統(tǒng)與外界聯(lián)系傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)定義：

零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六傳遞函數(shù)特點：1.傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的復(fù)變函數(shù)，為復(fù)域數(shù)學(xué)模型；2.傳遞函數(shù)的分母反映系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的固有特性，傳遞函數(shù)的分子反映系統(tǒng)與外界的聯(lián)系；3.在零初始條件下，當(dāng)輸入確定時，系統(tǒng)的輸出完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)4.物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)(相似系統(tǒng))傳遞函數(shù)方框第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六零點：影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響穩(wěn)定性。極點：決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的收斂性，決定穩(wěn)定性。放大系數(shù)(增益)：

設(shè)階躍信號輸入對系統(tǒng)的研究可以轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)零點、極點、放大系數(shù)的研究。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出傳遞函數(shù)的零極點模型微分方程的特征根第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1：求圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.確定系統(tǒng)輸入與輸出：2.列寫原始微分方程：3.在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換：第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六4.消除中間變量，并整理得：3.在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換：5.傳遞函數(shù)第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)傳遞函數(shù)往往是高階的，高階傳遞函數(shù)可化為比例、慣性、積分、微分、振蕩等低階典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的組合1.比例環(huán)節(jié)

動力學(xué)方程：

傳遞函數(shù)：

特點：輸出量與輸入量成正比；不失真，不延遲。例：——輸出正比于輸入

五、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六存在儲能元件和耗能元件。階躍輸入時，輸出經(jīng)過一段時間才到穩(wěn)態(tài)值?！敵龅膶?dǎo)數(shù)與輸出之和正比于輸入動力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點：2.慣性環(huán)節(jié)例1：例2：第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3.微分環(huán)節(jié)動力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點：

一般不能單獨存在

增加阻尼；強化噪聲。——輸出正比于輸入的變化率例1：微分運算電路第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六機械液壓阻尼器——緩沖，減小偏移幅度油缸力平衡節(jié)流閥流量例2：若〡Ts〡<<1才成為微分環(huán)節(jié)事實上，微分特性總伴隨著慣性，絕對的微分環(huán)節(jié)，只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六4.積分環(huán)節(jié)動力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：若輸入單位階躍信號

xi(t)=1,Xi(s)=1/s特點：——輸出正比于輸入的累積量則輸出為1).輸出反映輸入量的累積2).輸出滯后于輸入,

經(jīng)過時間T

，輸出才等于輸入3).輸出具有記憶功能經(jīng)過一段時間后，輸入變?yōu)?，輸出穩(wěn)定不變第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1：例2：積分運算電路式中，凡有儲存或積累特點的元件、環(huán)節(jié)、系統(tǒng)都有積分特性如：水庫、植物、水垢、黃土高原、海洋鹽分第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六5.振蕩環(huán)節(jié)無阻尼固有頻率wn，時間常數(shù)T=1/wn,阻尼比x(1)0≤x<1時，輸出振蕩。(2)x

≥1時，輸出無振蕩,不是振蕩環(huán)節(jié)且x越小，振蕩越劇烈(3)振蕩環(huán)節(jié)一般含有兩個儲能元件和一個耗能元件特點:例1:第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例2旋轉(zhuǎn)運動的J-c-k系統(tǒng)例3L-R-C電路第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六6.延時環(huán)節(jié)特點：輸出滯后于輸入，但不失真延時環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)有區(qū)別慣性環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)動力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：例：軋鋼廠鋼板厚度檢測第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六一個元件——幾種環(huán)節(jié)作用幾個元件——一個環(huán)節(jié)的作用2.物理框圖：說明物理過程和原理，框圖中，元器件或零部件典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)小結(jié)1.物理元件個數(shù)不一定等于系統(tǒng)的環(huán)節(jié)個數(shù)3.同一物理元件在不同系統(tǒng)中，可能作用不同，其傳遞函數(shù)也不同,可能充當(dāng)不同典型環(huán)節(jié)。

傳函框圖：表示信息傳遞關(guān)系框圖中，各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖傳遞函數(shù)方框圖將組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)用傳遞函數(shù)方框表示，并將相應(yīng)的變量按信息流動的方向連接起來構(gòu)成的圖形。傳遞函數(shù)方框圖三要素傳遞函數(shù)方框相加點分支點建立傳遞函數(shù)方框圖的步驟(1)列寫各元件微分方程(2)在零初始條件下，對上述微分方程進(jìn)行拉氏變換(3)按因果關(guān)系，繪制各環(huán)節(jié)框圖(4)按信號流向，依次連接各環(huán)節(jié)框圖左邊輸入，右邊輸出，反饋則“倒流”第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1：1.列寫微分方程：2.Laplace變換：3.局部傳遞函數(shù)框圖：4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖：第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六1.列寫微分方程：2.Laplace變換：例2：第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3.局部傳遞函數(shù)框圖：4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖：第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六變換前后輸入輸出間的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效規(guī)則：

七、傳遞函數(shù)方框圖的等效簡化2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效規(guī)則：第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3.反饋連接及其等效規(guī)則前向通道傳遞函數(shù)反饋通道傳遞函數(shù)以反饋量B(s)為輸出的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋回路閉合后第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六3.反饋連接及其等效規(guī)則特別地，若H(s)=1，則為單位反饋注意：前向通道傳遞函數(shù)、反饋通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)均為局部傳遞函數(shù)；閉環(huán)傳遞函數(shù)才是系統(tǒng)傳遞函數(shù)第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六4.分支點的移動規(guī)則第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六5.相加點的移動規(guī)則第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六6.相鄰相加點的移動規(guī)則：7.相鄰分支點的移動規(guī)則：第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1：簡化步驟：消除交叉回路，對嵌套回路，從里到外逐步化簡第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例2：第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六

第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六一條前向通道：各反饋回路有公共傳遞函數(shù)方框G2反饋回路L1:L2:L3:第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六各反饋回路有公共傳遞函數(shù)方框G2一條前向通道：反饋回路L1:L2:L3:一般地，當(dāng)一個系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖滿足如下兩個條件：1)只有一條前向通道；2)各局部反饋回路中包含公共傳遞函數(shù)方框。則：系統(tǒng)傳遞函數(shù)可簡化成第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例3：第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六八、考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只考慮給定輸入時：只考慮干擾輸入時：線性系統(tǒng)總的輸出量：第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六結(jié)論：1.閉環(huán)系統(tǒng)可抑制干擾的幅度。2.閉環(huán)系統(tǒng)輸入、輸出取法不同，則傳函不同，但傳函分母不變系統(tǒng)總的輸出量：極小值而開環(huán)系統(tǒng)卻不然?！从诚到y(tǒng)本身固有特性；第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六例1已知RLC電路，確定電路的狀態(tài)變量和狀態(tài)方程解：微分方程模型選i和uc為狀態(tài)變量狀態(tài)方程，一階導(dǎo)形式狀態(tài)方程，矩陣形式九、狀態(tài)空間模型第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六狀態(tài)方程，一階導(dǎo)形式狀態(tài)方程，矩陣形式輸出方程矩陣形式狀態(tài)向量狀態(tài)空間：由x1軸、x2軸……xn軸組成的n維空間。系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)可用狀態(tài)空間中的一點表示。狀態(tài)向量Y第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六輸入量un維狀態(tài)向量X輸出向量Y系統(tǒng)矩陣n×n控制矩陣n×1輸出矩陣1×n傳遞矩陣1×1第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六2）選則狀態(tài)空間表達(dá)式為工程上一般取容易測量的量作為狀態(tài)變量第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六微分方程描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)狀態(tài)空間必有內(nèi)在的一致性必可相互轉(zhuǎn)換單位矩陣第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六線性定常系統(tǒng)空間表達(dá)式Systemn維狀態(tài)矢量1）單輸入—單輸出系統(tǒng)輸出方程狀態(tài)方程用矢量矩陣表示第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)矩陣，n×n方陣；描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)聯(lián)系輸入矩陣，n×1維輸出矩陣，1×n維第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六Systemn維狀態(tài)矢量m維輸出矢量r維輸入矢量2）多輸入—多輸出系統(tǒng)第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期六線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)矩陣，n×n方陣；描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)聯(lián)系輸入矩陣，n×r