2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編

專題05數(shù)列選填題

一、選擇題

1.（2022年全國(guó)乙卷理科?第8題）已知等比數(shù)列｛4“｝的前3項(xiàng)和為168,?2-?5=42,貝1以=（）

A.14B.12C.6D.3

2.（2022年全國(guó)乙卷理科?第4題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)

繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛&｝：偽=1+',

a\

6=]H___J___4―]H|

2a+，，4+-----「，…，依此類(lèi)推，其中哪wN*（左=1,2,…）.則（）

?%。2+一

%

A.b1<b5B.b3<bsc.b6<b2D.b4<by

3.（2022新高考全國(guó)II卷?第3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中是

舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

票=05號(hào)=%，第=%2，端=左3.已知左，&，匕成公差為81的等差數(shù)列，且直線。4的斜

率為0.725,則％3=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

4.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第12題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列…%…滿

足=且存在正整數(shù)加，使得外?,=卬。=1,2,,“）成立,則稱其為0-1周期序列,并稱

滿足4+“=4?=1,2「一）的最小正整數(shù)機(jī)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為加的0-1序列…

1用

C（A）=—2。4“（4=1,2,…M-1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足

加/=|

。（%）4?%=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011???C.1000I---D.1100I---

5.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第6題）數(shù)列｛%｝中，a,=2,am+n=aman,若

4+i+4+2+…+6+10=2”—2,，貝心=（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第4題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層

中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊,

下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層

比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

7.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第5題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和為15,且

a5=3a3+4a],則%=()

A.16B.8C.4D.2

8.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科?第9題）記S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知§4=0,%=5,則

()

1.

2

A.an=2n-5B.an=3/?-10C.S?—2〃—8〃D.S“=—rT-2n

〃2

9.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理）?第4題）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，3s3=S2+S4，％=2.則

%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

10.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激

發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)

問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是2°，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來(lái)的

三項(xiàng)是2°,2；2?，依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N〉100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)

那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

11.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題）記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若4+牝=24上6=48,

則｛與｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

12.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷理科?第9題）等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若%,%，&成等比數(shù)

歹U,則｛4｝前6項(xiàng)的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

13.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第3題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七

層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且

相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

14.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第12題）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛a,｝如下:｛4｝共有2加項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)

為1,且對(duì)任意左W2加,qq.…，4中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若加=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

15.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1卷理科?第3題）已知等差數(shù)列｛凡｝前9項(xiàng)的和為27,4=8,則％0。=（）

（A）100（B）99（C）98（D）97

16.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題）已知等比數(shù)列｛a,,｝滿足％=3,q+/+%=21，則

%+%+=（）

A.21B.42C.63D.84

17.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第3題）等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知S3=4+10/，4=9,

則多等于（）

1111

A.-B.——C.-D.——

3399

18.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第12題）設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為4也,c,，h4”B”C”的面積為S.，

〃=1,2,3”..若”＞。］,仇+。1=26，a“+i=4,b,=C",%=，則（）

l+l'7"

A.｛S,,｝為遞減數(shù)列B.｛S,,｝為遞增數(shù)列

C.俗2._1｝為遞增數(shù)列，｛S2,,｝為遞減數(shù)列

D.｛S2“_1｝為遞減數(shù)列，｛邑,｝為遞增數(shù)列

19.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第7題）設(shè)等差數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和為S?,=-2,5?,=0,5?1+|=3,

則加=（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

20.（2021年新高考I卷?第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把

紙對(duì)折，規(guī)格為20dmx12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm義12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和岳=240dn?,對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種

規(guī)格的圖形，它們的面積之和邑=180dm,以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

；如果對(duì)折〃次，那么dm2.

Ar=l

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

21.（2020年新高考I卷（山東卷）?第14題）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列但“｝,則｛a,,｝

的前n項(xiàng)和為.

22.（2020新高考II卷（海南卷）?第15題）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛“■｝,則｛〃“｝

的前n項(xiàng)和為.

23.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)山卷理科?第14題）記S”為等差數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和，％W0,a2=3a,,則

24.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科?第14題）記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若％=；，4=&，

則S5=.

25.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理）?第14題）記S“為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和若S“=24+1,則S6=.

26.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科?第14題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝滿足q+2=一1=一3，則

&=_________L_

27.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第15題）等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=3，54=10,則

28.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)倦理科?第15題）設(shè)等比數(shù)列滿足q+%=10，出+包=5,則…4的最大值

為_(kāi)________-

29.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第16題）設(shè)S“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且％=-1,??+1=SnSn+i,則

S”=---------

30.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第16題）等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,已知=0,=25,則〃S,

Hn1v10H

的最小值為.

21

31.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第14題）若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為工二§%+§，則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式是an=.

2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編

專題05數(shù)列選填題

一、選擇題

（年全國(guó)乙卷理科?第題）已知等比數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為a-a=42,則%

1.2022843168,25)

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

解析：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為%4*0,

若q=1,則%5=0，與題意矛盾,

所以4*1,

手少解得]

a\q=96

則〈。1+。2+=-----1

q=—

%一七=0網(wǎng)—=422

所以。6=%r=3.故選：D.

【題目欄目】

【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科?第8題

2.（2022年全國(guó)乙卷理科?第4題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)

繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛&｝：4=1+工,

]

j114=1+

4=1+--------r

.2，?,+―，…，依此類(lèi)推，其中哪eN*（左=1,2,…）.則（）

%-----

?3

A.b,<b.Bb、<b&c.b6<b2Db<b-j

13.J?5.4

【答案】D

解析：因?yàn)?wN*（左=1,2,…），

?11

1—>---------

所以/<%+——，?°,1,得到也>九，

%+一

a2

a2

I1

CCiH—>aH------：-

同理,1，可得為<"，4>b'

a3

1111

工〉-------「，/+—r<?1+--------r

又因?yàn)?a2+-----ra2+-a2+

%+—a3+一

a4%

故/<*4>b}>b4.

以此類(lèi)推，可得，>%>%>&>“?，%>%,故A錯(cuò)誤;

h,>b7>bs,故B錯(cuò)誤；

11

Z〉i

2%+「，得偽<4,故c錯(cuò)誤:

%+…—

11

OCyH---------j--->Q]H------------j---

%+「?,+——「，得a<4，故D正確.

+——ab+—

。4%

【題目欄目】數(shù)列'等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科?第4題

3.（2022新高考全國(guó)H卷?第3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，44',66',CC',。。'是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中是

舉，O2,OG，C81,84是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

DD、CC,.BB、.AA..

--^=0.5,—^=^,-^=^,—^-=^.己知左”右，總成公差為81的等差數(shù)列，且直線。4的斜

（JD、ZJC|Cx>]DA]

率為0.725,則&=()

4

Ayk

【答案】D

解析：設(shè)OD[=DC、=CB、=BA1=1,則CC)=k、,BB、=k2,AA}=k3,

DD.+CC,+BB、+AA,

依題意，有左3—02=左,左3-01=&，且=6725,

Cz/Jj+zJCj+O]+L＞A]

所以0.5+3：匚0.3=0725,故＞=0.9.故選D.

【題目欄目】數(shù)列'數(shù)列的綜合應(yīng)用'數(shù)列的綜合問(wèn)題

【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷?第3題

4.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第12題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列％生…?！薄瓭M

足a”{0,l}(i=l,2,…),且存在正整數(shù)加，使得%M=a,(i=l,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列，并稱

滿足=qG=l,2,…)的最小正整數(shù)機(jī)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為加的0-1序列。外…。

1小

C(口=一]＞四,/(%=1,2,…，加-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足

my=I

(7(/)4(〃=1,2,3,4)的序列是()

A.11010---B.11011--C.10001---D.11001---

【答案】c

解析：由4?+?,=《?知，序列4的周期為加，由已知，m=5,

15

c(左)=WZa,a,+*，左=1,2,3,4

對(duì)于選項(xiàng)A,

]5]]]]

C(l)=-〉：44+i——(qa,++〃3“4++。5&)=一(1+0+0+0+0)=-W—

5,=[5555

[5]|2

4+2=

C(2)=工工。,+〃2a4+%%+^4^6+tz5^7)=-(0+1+0+14-0)=—,不滿足;

3j=]JJD

對(duì)于選項(xiàng)B,

[5113

?)=立％+1=~(6Z|6/2+生。3+。3〃4+〃4。5+〃5。6)=《(1+0+0+1+1)=《,不滿足;

〉/=1

對(duì)于選項(xiàng)D,

[5]]2

】1)=立的,+|=—(q%++。304+。4。5+05。6)=一(1+0+0+0+1)=—,不滿足;

5555

故選：C

【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算

能力，是一道中檔題.

【題目欄目】數(shù)列'數(shù)列的綜合應(yīng)用'數(shù)列中的新定義問(wèn)題

【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第12題

5.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第6題）數(shù)列｛%｝中,6=2,am+n=aman,若

久+i+4+2+…+4+io=2”-2,,則％=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

a1

解析：在等式%,+,=aman中，令加=1,可得4+|=anai=2an，:.q-=2,

所以，數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則%=2X2"T=2",

???-+限+…+磯/七;工，:，丁工2-（21?-1>25（210-1）>

2A+,=25.則上+1=5,解得左=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

【題目欄目】數(shù)列'等比數(shù)列'等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第6題

6.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第4題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層

中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊,

下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層

比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

解析：設(shè)第"環(huán)天石心塊數(shù)為第一層共有〃環(huán)，

則｛%｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，a“=9+(〃-l)x9=9〃，

設(shè)S”為｛4｝的前〃項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為工㈤“-S“，邑“-$2“，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,

所以S3“—S2,,=S2.—S.+729,

3/7(9+27M)2〃(9+18〃)2〃(9+18〃)〃(9+9〃)

ln!n|J------------------------=-----------------------F729

2222

即9〃2=729，解得〃=9，

所以邑“=S27==3402.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第4題

7.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第5題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的前4項(xiàng)和為15,且

a5=3a3+4at,則%=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的公比為4,貝/"二+a'q="',解得，

a3—a｝q'=4,故選C.

另解：數(shù)感好的話由Sd=15,立即會(huì)想到數(shù)列：1,2,4,8,16,…，檢驗(yàn)是否滿足%=3%+4%,可以迅

速得出4=4.

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)列相關(guān)問(wèn)題中，用基本量的通性通法是最重要的，當(dāng)然適當(dāng)積累一些常見(jiàn)數(shù)列，對(duì)解題

大有裨益.

【題目欄目】數(shù)列'等比數(shù)列'等比數(shù)列的基本量與通項(xiàng)

【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)in卷理科?第5題

8.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科?第9題）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知S4=0,%=5,則

()

1

C.S—2n2-8〃9

A.an=2n-5B.Q“=3〃-10nD.S=-n—2〃

2

【答案】答案：A

⑸=4al+6d=0fa.=—3

解析：41,n，,

=q+4d—5]d=2

所以4=q+（〃—l）d=-3+2（〃-1）=2〃—5,Sn=一〔曳見(jiàn)="_4〃，故選A.

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的基本量與通項(xiàng)

【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科?第9題

9.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理）?第4題）記S“為等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，3S3=S2+S4,a,=2.則

師一（）

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

解析：S"為等差數(shù)歹Ij｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，3s3=邑+$4,q=2,，

3x（3q=%+q+d+4%,把％=2,代入得＜/=一3二%=2+4x（-3）=-10,

故選B.

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的基本量與通項(xiàng)

【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理）?第4題

10.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激

發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)

問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16”其中第一項(xiàng)是2°，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來(lái)的

三項(xiàng)是2°,2:22,依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)

累.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解法一:本題考查了等比數(shù)列的求和,不等式以及邏輯推理能力.

不妨設(shè)1+（1+2）+（1+2+4）+-+（1+2+—+2"）+（1+2+—+2'）=2"（其中0W/W”）

〃+1）

則有％=△——^+/+1,因?yàn)槠?gt;100,所以〃213

2

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得2間一〃一2+2.-1=2"'

因?yàn)椤?13,所以2">〃+2

所以2向>2"+〃+2即2向—2>2”,因?yàn)?z+l-l>0

所以2"'>2""—"—2>2",故加2〃+1

所以〃?=〃+1,從而有〃=2川-3,因?yàn)椤?13,所以此3,當(dāng)f=3時(shí),N=95，不合題意

當(dāng)，=4時(shí),〃=440，故滿足題意的N的最小值為440.

解題關(guān)鍵:本題關(guān)鍵在于利用不等式的知識(shí)得出m=n+\.

解法二:將數(shù)列的前N項(xiàng)按照20,2°,2*2°,2：22,…分組，不妨設(shè)這樣的分組共有〃組不滿足此特點(diǎn)的

單獨(dú)為一組，則〃（〃+l）4N4（〃+l）（〃+2），從而數(shù)列的前N項(xiàng)的和

22

,、/,/.（1V:（"+1）］1N”（川）

^:（2'-1）+（22-1）+---+（2,,-1）+2°+2'+---+2'2=2,,+|-w-3+22

所以若使數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)事，則必存在正整數(shù)t，使得2,=〃+3,即〃=2'-3

又N〉］00,所以（〃+l）（〃+2）z［00，所以〃之13,所以〃=2'-3213,所以

2

當(dāng)t=4時(shí),〃=13，此時(shí)100<105，所以N的可能值為101,102,103,104,105，經(jīng)驗(yàn)證均不符合題

意，當(dāng)負(fù)結(jié)合選項(xiàng)也可知道f=4不合題意，直接排除掉101,102,103,104,105的可能性

當(dāng)/=5時(shí),〃=29，此時(shí)435<2V<465,結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)可知:N=440，故選A.

〃=29〃=29f〃=29f〃=29]〃=29n=29

事實(shí)上驗(yàn)證

N=435N=436\N=437\N=438|TV=439TV=440

n=29

只有成立.

N=440

點(diǎn)評(píng):此題就是分組和以及和與結(jié)論中隱藏的整除性問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建/的不等式限定〃的可能值,進(jìn)而求

出N最小值，還好選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)減少彳艮好驗(yàn)證操作.

解法三:檢驗(yàn)法

由于這是選擇題，為求最小值，從最小的開(kāi)始檢驗(yàn)

選項(xiàng)D:若N=110,由史巫1±11=91<110,知第110項(xiàng)排在第14行，第19個(gè)

14|9141915

S.v=（2-13-2）+（2-1）=2+2-16=16x（2'°+2-1）

由2"+2,5-1是奇數(shù)知SN不能寫(xiě)成2整數(shù)基；

選項(xiàng)C：若N=220,由20*（2°+1）=2]o<220知涕220項(xiàng)排在第21行，第10個(gè)

2

SN=（221-2O-2）+（210-1）=22I+2'°-23是大于1的奇數(shù)，不能寫(xiě)成2整數(shù)幕；

選項(xiàng)B,若N=330,由25*（2/1）=325<330知第33O項(xiàng)排在第26行涕5個(gè)

2

SM=026-25—2）+（25-1）=226+4=4x（224+1）,同理，不能寫(xiě)成2整數(shù)事；

選項(xiàng)A時(shí)，當(dāng)N=440時(shí)，由“巴）<440<（竺1）也2）河解出〃=29

22

所以這前440和為：儂—1）+（2?—1）+…+任?—1）+（2°+2]+2?+2,+24）=23°，符合題意，故選A.

解法四:直接法

由SN=（2"”—〃—2）+（2*-1）=2向+2"-〃-3能寫(xiě)成2的整數(shù)基可

知,2*-〃-3=0,左=1082（〃+3）62,且由^^>100知”>13,故滿足條件的〃的最小值為29,得

左=5,此時(shí)N=29"29+1）+5=440.

2

解法五:二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法

按照上面形式重新排列后，第〃層:1,2,4,…，2'-'的和為2"-1=11…1

7M

把每一層的和的二時(shí)制數(shù)重新排列（低位對(duì)齊）

第1層:

第2層:11

第3層:111

第"層:

由于2的數(shù)暴的二進(jìn)制數(shù)為:2"=100…00⑶，前n層的和再加多少可以寫(xiě)成2的整數(shù)幕?

為方便相加，首先，每層都加1，則總共加了〃，得:

第1層:10

第2層:100

第3層:1000

第〃層:

此時(shí)〃層總的和為:LLTJO,仍然不是2的整數(shù)基,再加上2即可!

所以在前〃層總和的基礎(chǔ)上，再加上〃+2可使和成為2的整數(shù)基

設(shè)第〃+1層的前左個(gè)數(shù)的和為〃+2,即2*-?-3=0

后面的方法同“解法四”.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.

【點(diǎn)評(píng)】本題非常巧妙的將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察

所給定數(shù)列的特征,進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第?個(gè)數(shù)列

的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.

【題目欄目】數(shù)列'數(shù)列的綜合應(yīng)用'數(shù)列的綜合問(wèn)題

【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題

11.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題）記S,為等差數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和.若能+牝=24=48,

貝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

［解析】設(shè)公差為d,%+/=6+3d+卬+4"=2al+7d=24,S6=6q+d=6q+15d=48,

聯(lián)立V

秒殺解析:因?yàn)镾6==3(4+%)=48，即%+%=16，則(4+%)—(%+%)=24-16=8,

即牝—4=2d=8，解得d=4,故選C.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解

【點(diǎn)評(píng)】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如｛4｝為等差數(shù)歹山若陽(yáng)+〃=p+4,

則為,+%=40+4?

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題

12.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科?第9題)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若％,%，4成等比數(shù)

歹IJ，則｛%｝前6項(xiàng)的和為()

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)6=1,設(shè)公差為＜/,則由%,如，&成等比數(shù)列可得名2=42。6，所以

(q+2d)2=(q+d)(q+5”)，即(l+24y=(l+d)(l+5t/),整理可得建+2d=0,因?yàn)閐wO,

6x5

所以d=-2,所以$6=6%+—^二d=6xl-15x2=-24,故選A.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算

【點(diǎn)評(píng)】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前“項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量G，a”，d,n,S?,知其中三個(gè)就能求另

外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作

用，而內(nèi)和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第9題

13.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第3題)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七

層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且

相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列通向公式見(jiàn)及其前〃項(xiàng)和S,,,以考查考生的運(yùn)算能力為主目

的.

【解析】解法一：常規(guī)解法

一座7層塔共掛了381盞燈，即凡=381；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即

4=2,塔的頂層為％;由等比前〃項(xiàng)和S,,=3巖］(q#i)可知：凡=)=381,解得

q=3.

解法二：邊界效應(yīng)

等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則有?！?產(chǎn)5“，二。87s7=381,解得％=2.9,a,=3.

【知識(shí)拓展】數(shù)列屬于高考必考考點(diǎn)，一般占10分或12分，即兩道小題或一道大題，其中必

有一道小題屬于基礎(chǔ)題，一道中檔偏上題或壓軸題，大題在17題出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題型，高考所

占分值較大，在高中教學(xué)中列為重點(diǎn)講解內(nèi)容，也是大部分學(xué)生的難點(diǎn)，主要是平時(shí)教學(xué)題型難

度嚴(yán)重偏離高考考試難度，以及研究題型偏離命題方向，希望能引起注意；考試主線非常明晰，

[D]1.等差數(shù)列通向公式a“及其前〃項(xiàng)和S“；2,等比數(shù)列通向公式句及其前”項(xiàng)和.

【題目欄目】數(shù)列'等比數(shù)列'等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第3題

14.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第12題)定義“規(guī)范01數(shù)列”｛4｝如下:｛4｝共有2m項(xiàng)，其中加項(xiàng)為0,加項(xiàng)

為1,且對(duì)任意左＜2根，[“2,…，/中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若加=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)歹V共有

()

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，得必有％=0,6=1,則具體的排法列表如圖所示，共14個(gè)，故選C.

0111

011

0

101

1

10

0011

001

1

110

01

01

10

10

011

001

1

1010

01

10

i0

【題目欄目】數(shù)列'數(shù)列的綜合應(yīng)用'數(shù)列中的新定義問(wèn)題

【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第12題

15.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)倦理科?第3題)已知等差數(shù)列｛/｝前9項(xiàng)的和為27,須=8,則須0=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：$9=9（.；%）=2^1=9牝=27,故%=3,而《0=8,因此公

差d=￡1kz￡1=1.?.q=。+901=98.故選C.

10-5

【題目欄目】數(shù)列'等差數(shù)列'等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第3題

16.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題）已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=3,q+/+/=21，則

+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【答案】B

2

解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q,則q+a]q+q/=21,又因?yàn)?=3,所以/+/一6=0,解得/=2,

所以%+%+%=（%+%+/）/=42,故選B.

考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì).

【題目欄目】數(shù)列'等比數(shù)列'等比數(shù)列的基本量與通項(xiàng)

【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題

17.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第3題）等比數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知邑=a,+10q,%=9,

則多等于（）

【答案】c

解析：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,由S3=々+10%得q+4+4=4+104，即

a..-9a.,q:-9,又=aq'-9,所以q.

考點(diǎn)：（1）6.3.1等比數(shù)列的基本量的計(jì)算；（2）6.3.4等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用

難度：A

備注：高頻考點(diǎn)

【題目欄目】數(shù)列'等比數(shù)列'等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【題目來(lái)源】2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第3題

18.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第12題）設(shè)A4,紇C“的三邊長(zhǎng)分別為凡也,c,,MRC,的面積為S.，

三，,b?+a?

"=1,2,3,…若4>q,4+C|=2q,a=a,b

n+xnn+l-2—'J|J()

A.{S,J為遞減數(shù)列B.{S,J為遞增數(shù)列

C.{S2-J為遞增數(shù)列，/2“}為遞減數(shù)列

D.{S2“_J為遞減數(shù)列，{$2.}為遞增數(shù)列

【答案】B

解析：因?yàn)閍”+i=a?，b“+]=—~-，。“+|=—~->所以an=%,

2+1+c?+1=+|（a+*）+。“=g3“+%）+%

b“+i+c?+1-2a}=；（b,+c”一2q）,注意到4+c1=2al，所以+cn=2ax.

于是A40C“中，邊長(zhǎng)紇?！?%為定值，另兩邊的長(zhǎng)度之和為a+c“=2%為定值.

因?yàn)?用一