湖南省株洲市中村鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先換元，轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)的值域，利用基本不等式即可求解。【詳解】令，，則求函數(shù)值域等價(jià)于的值域，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最小值為2；由于為對(duì)勾函數(shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域是，故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題。2.在棱長(zhǎng)均為2的正四面體A-BCD中，若以三角形ABC為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C解：由題意可知：左視圖是一個(gè)三角形，三個(gè)邊長(zhǎng)分別為：2，,,所以是一個(gè)等腰直角三角形，高為面積為：,故選C．

3.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶.為了調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取1個(gè)容量為100戶的樣本，記作①；某學(xué)校高一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②.那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（

）A.①用隨機(jī)抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法

B.①用分層抽樣法，②用隨機(jī)抽樣法C.①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法

D.①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法參考答案：B略4.設(shè)x，y滿足約束條件的最大值是A.－4 B.0 C.8 D.12參考答案：C【分析】畫出約束條件所表示的可行域，由，即，把直線平移到可行域的A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，進(jìn)而求解目標(biāo)函數(shù)的最大值。【詳解】畫出約束條件所表示的可行域，如圖所示，又由，即，把直線平移到可行域的A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求最大值問題，其中解答中正確畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，平移目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解，即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C試題解析：必要性在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函數(shù)在（0，π）是減函數(shù)，故有A＜B，若B不是鈍角，顯然有“sinA＜sinB”成立，若B是鈍角，因?yàn)锳+B＜π，故有A＜π-B＜，故有sinA＜sin（π-B）=sinB綜上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”：充分性：由“sinA＜sinB”若B是鈍角，在△ABC中，顯然有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”若B不是鈍角，顯然有0＜A＜B＜，此時(shí)也有cosA＞cosB綜上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要條件C考點(diǎn)：本題考查三角函數(shù)和充要條件判斷點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是掌握充要條件的判斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，6.數(shù)列，3，，，，…，則9是這個(gè)數(shù)列的第()A．12項(xiàng)B．13項(xiàng)

C．14項(xiàng)

D．15項(xiàng)參考答案：C7.如下圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中：①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與垂直；A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④參考答案：B考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系試題解析：把平面展開圖還原成正方體，知：與異面垂直，故①錯(cuò)；與平行，故②錯(cuò)；BM//AN，因?yàn)锳NC為等邊三角形，所以與成60°角，故③正確；因?yàn)槠矫鍮CN,所以與垂直，故④正確。故答案為：B8.直線y=x+a與曲線y=a|x|有兩個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是

（

）A.a

B.a>0且

C.a>1或a<0

D.a>1或a<-1參考答案：D9.拋物線y=﹣x2的準(zhǔn)線方程是（）A． B．y=2 C． D．y=﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先把拋物線轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=﹣8y，然后再求其準(zhǔn)線方程．【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其準(zhǔn)線方程是y=2．故選B．10.從數(shù)字1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓，過右焦點(diǎn)作不垂直于軸的弦交橢圓于、兩點(diǎn)，的垂直平分線交軸于，則等于_______.參考答案：12.任取x，y∈[0，3]，則x+y＞4的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】該題涉及兩個(gè)變量，故是與面積有關(guān)的幾何概型，分別表示出滿足條件的面積和整個(gè)區(qū)域的面積，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由題意可得，區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為3的正方形，面積為9，滿足x+y＞4的區(qū)域的面積為=2，由幾何概型公式可得x+y＞4概率為，故答案為：．13.給出下列命題：①y＝1是冪函數(shù)；

②函數(shù)f(x)＝2x－log2x的零點(diǎn)有1個(gè)；③的解集為[2，＋∞)；④“x<1”是“x<2”的充分不必要條件；⑤函數(shù)y＝x3是在O(0,0)處的切線是x軸．其中真命題的序號(hào)是________(寫出所有正確命題的序號(hào))．參考答案：④⑤14.給定下列四個(gè)命題：（1）是的充分不必要條件

（2）若命題“”為真，則命題“”為真

（3）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則

（4）若則其中真命題是_______________（填上所有正確命題的序號(hào)）參考答案：略15.已知向量（2m，1）（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，則的最小值為_____．參考答案：試題分析：∵，∴，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值是．故答案為：．考點(diǎn)：（1）基本不等式；（2）平面向量共線的坐標(biāo)表示.16.奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則________

參考答案：-15略17.在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱底面,點(diǎn)是側(cè)面的中心，若,則直線與平面所成角的大小為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點(diǎn)，如圖1．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且，如圖2．（1）求證：SA⊥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使SF∥平面EAC？若存在，確定F的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（法一）（1）由題意可知，題圖2中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂線法）由考慮在AD上取一點(diǎn)O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（3）取BC中點(diǎn)F，所以，又由題意從而可得SF∥EM，所以有SF∥平面EAC（法二：空間向量法）（1）同法一（2）以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易知平面ACD的法向?yàn)?，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可（3）由SF∥平面EAC，所以，利用向量數(shù)量的坐標(biāo)表示，可求【解答】解法一：（1）證明：在題圖1中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在題圖2中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，因?yàn)镾B⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO．因?yàn)?，所以EO∥SA所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，．，即二面角E﹣AC﹣D的正切值為．（3）當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，SF∥平面EAC，理由如下：取BC的中點(diǎn)F，連接DF交AC于M，連接EM，AD∥FC，所以，又由題意SF∥EM，所以SF∥平面EAC，即當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，SF∥平面EAC解法二：（1）同方法一（2）如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）易知平面ACD的法向?yàn)樵O(shè)平面EAC的法向量為n=（x，y，z）由，所以，可取所以n=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值為．（3）設(shè)存在F∈BC，所以SF∥平面EAC，設(shè)F（2，a，0）所以，由SF∥平面EAC，所以，所以4﹣2a﹣2=0，即a=1，即F（2，1，0）為BC的中點(diǎn)19.某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號(hào)電視在10個(gè)賣場(chǎng)的銷售量（單位：臺(tái)），并根據(jù)這10個(gè)賣場(chǎng)的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖．為了鼓勵(lì)賣場(chǎng)，在同型號(hào)電視機(jī)的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場(chǎng)命名為該型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”（1）求在這10個(gè)賣場(chǎng)中，甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)；（2）若在這10個(gè)賣場(chǎng)中，乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的平均數(shù)為26.7，求a＞b的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；BA：莖葉圖．【分析】（1）由莖葉圖和平均數(shù)的定義可得，即可得到符合“星際賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)．（2）記事件A為“a＞b”，由題意和平均數(shù)可得a+b=8，列舉可得a和b的取值共9種情況，其中滿足a＞b的共4種情況，由概率公式即可得到所求答案．【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖，得甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（10+10+14+18+22+25+27+30+41+43）=24，由莖葉圖，知甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù)為5．（2）記事件A為“a＞b”，∵乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為26.7，∴=26.7，解得a+b=8．∴a和b取值共有9種情況，它們是：（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），其中a＞b有4種情況，它們是：（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），∴a＞b的概率P（A）=．20.機(jī)器按照模具生產(chǎn)的產(chǎn)品有一些也會(huì)有缺陷，我們將有缺陷的產(chǎn)品稱為次品，每小時(shí)出現(xiàn)的次品數(shù)隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速度的不同而變化。下表為某機(jī)器生產(chǎn)過程的數(shù)據(jù)：①求機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速度與每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的產(chǎn)品數(shù)之間的回歸方程②若實(shí)際生產(chǎn)所允許的每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的產(chǎn)品數(shù)不超過75件，那么機(jī)器的速度每秒不超過多少百轉(zhuǎn)？（寫出滿足的整數(shù)解）（）

參考答案：解：①，，

……………2分，……………4分∴，，

……………7分∴回歸直線方程為。

……………8分②若實(shí)際生產(chǎn)所允許的每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的產(chǎn)品數(shù)不超過75件，則即解得

……………10分∴實(shí)際生產(chǎn)所允許的每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的產(chǎn)品數(shù)不超過75件，那么機(jī)器的速度應(yīng)每秒不超過8百轉(zhuǎn)

……………12分略21.已知數(shù)列滿足：,.（1）求證：是等差數(shù)列，并求出；（2）證明：.參考答案：（1）由，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公