湖南省岳陽市縣長湖鄉(xiāng)中心學校高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列四個結(jié)論：⑴兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行。⑵兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行。⑶兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

⑷一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點，則這條直線和這個平面平行。其中正確的個數(shù)為（

）A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：A2.當直線y=ax與曲線有3個公共點時，實數(shù)a的取值范圍是A.

B.

C.(0,1)

D.(0,1]參考答案：C略3.某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到，因為，則認為“喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關(guān)系”的把握大約為A．2.5%

B．95%

C．97.5%

D.不具有相關(guān)性參考答案：C略4.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=時，第一步驗證n=1時，左邊應取的項是（） A．1 B． 1+2 C． 1+2+3 D． 1+2+3+4參考答案：D5.如圖，∠C=，AC=BC，M、N分別是BC、AB的中點，將△BMN沿直線MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小為，則B'N與平面ABC所成角的正切值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】直線與平面所成的角．【分析】由題意及折疊之前與折疊之后BM與CM都始終垂直于MN，且折疊之前圖形為等腰直角三角形，由于要求直線與平面所成的線面角，所以由直線與平面所成角的定義要找到斜線B′M在平面ACB內(nèi)的射影，而射影是有斜足與垂足的連線，所以關(guān)鍵是要找到點B′在平面ABC內(nèi)的投影點，然后放到直角三角形中進行求解即可．【解答】解：∵∠C=，AC=BC，M、N分別是BC、AB的中點，將△BMN沿直線MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小為，∴∠BMB′=，取BM的中點D，連B′D，ND，由于折疊之前BM與CM都始終垂直于MN，這在折疊之后仍然成立，∴折疊之后平面B′MN與平面BMN所成的二面角即為∠B′MD=60°，并且B′在底面ACB內(nèi)的投影點D就在BC上，且恰在BM的中點位置，∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，∴∠B′ND就為斜線B′N與平面ABC所成的角設AC=BC=a，則B′D=，B′N=，DN=，tan∠B′ND===．故B'N與平面ABC所成角的正切值是．故選：D．【點評】本題考查平面圖形的翻折與線面角的問題，應注意折前與折后的各種量變與不變的關(guān)系，而對于線面角的求解通常有傳統(tǒng)的求作角、解三角形法及向量方法，這個內(nèi)容是高考中三個角的重點考查內(nèi)容之一，一般不會太難，但對學生的識圖與空間想象能力的要求較高，是很好區(qū)分學生空間想象能力的題型．6.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么這個三角形是（

）A.銳角三角形

B．直角三角形

C．等邊三角形

D．等腰三角形參考答案：D7.已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，?=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(

)A．2 B．3 C． D．參考答案：B【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】可先設直線方程和點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及?=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．【解答】解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB與x軸的交點為M（m，0），由?y2﹣ty﹣m=0，根據(jù)韋達定理有y1?y2=﹣m，∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，結(jié)合及，得，∵點A，B位于x軸的兩側(cè)，∴y1?y2=﹣2，故m=2．不妨令點A在x軸上方，則y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==×2×（y1﹣y2）+×y1，=．當且僅當，即時，取“=”號，∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，故選B．【點評】求解本題時，應考慮以下幾個要點：1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當?shù)牡着c高．3、利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”．8.設f（x）=3x2ex，則f′（2）=（）A．12e B．12e2 C．24e D．24e2參考答案：D【考點】導數(shù)的運算．【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的概念及應用．【分析】求函數(shù)的導數(shù)即可得到結(jié)論．【解答】解：f′（x）=6xex+3x2ex，∴f′（2）=12e2+12e2=24e2．故選：D．【點評】本題主要考查導數(shù)的計算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導數(shù)公式，比較基礎．9.已知數(shù)列{an}的其前n項和Sn=n2﹣6n，則數(shù)列{|an|}前10項和為(

)A．58 B．56 C．50 D．45參考答案：A【考點】數(shù)列的求和．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用遞推關(guān)系可得：an．令an≥0，解得n≥4；可得|an|=．即可得出數(shù)列{|an|}前10項和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10．【解答】解：∵Sn=n2﹣6n，∴當n=1時，a1=S1=﹣5；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣6n﹣=2n﹣7，當n=1時上式也成立，∴an=2n﹣7．令an≥0，解得n≥4；∴|an|=．∴數(shù)列{|an|}前10項和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10=S10﹣2S3=（102﹣6×10）﹣2（32﹣6×3）=58．故選：A．【點評】本題考查了遞推關(guān)系的應用、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值數(shù)列的求和問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10.已知雙曲線那么其焦點坐標為（

）A．,

B．,

C．,

D．,參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.A，B,C,D四名同學在操場上訓練傳球，球從A手中傳出，記為第一次傳球。設經(jīng)過K次傳球又傳給A，不同的傳球方法數(shù)為

經(jīng)過K+1次傳球又傳給A，不同的傳球方法數(shù)為,運用歸納推理找出與（且K≥2）的關(guān)系是

參考答案：12.已知為銳角，向量、滿足，則

．參考答案：13.的展開式中，的系數(shù)等于

.參考答案：-96014.已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】變形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，當且僅當x=時取等號．∴x+y的最小值為．故答案為：．15.若奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是

參考答案：16.設，若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.參考答案：D利用賦值法:令排除A,B,C,選D.17.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，則AC=．參考答案：2【考點】正弦定理．【分析】由A與B的度數(shù)分別求出sinA與sinB的值，再由BC的長，利用正弦定理即可求出AC的長．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知函數(shù)，其中為實常數(shù)．（Ⅰ）判斷在上的單調(diào)性；（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）若，即，當時，，在上遞增；

……………2分若，即當時，，在上遞減；

……………4分若，即，在上遞減，在上遞增.

……………6分（Ⅱ）先求使不等式對恒成立的的取值范圍.（1）當時，不等式化為即，若，即，則矛盾.若，即，則即解得或所以

……………8分（2）當時，不等式化為即，若即，結(jié)合條件，得若即，即解得或結(jié)合條件及（1），得若，恒成立.綜合得

……………10分（3）當時，不等式化為即，得即.結(jié)合（2）得……………12分所以，使不等式對恒成立的的取值范圍是本題所求的的取值范圍是或

……………14分19.（本小題滿分14分）如圖，已知中，,,,,求的長度．參考答案：由正弦定理得，所以；

………………

7分于是由余弦定理得，所以．

…

14分20.（本小題滿分13分）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。(Ⅰ)求進入商場的位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(Ⅱ)求進入商場的位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅲ）記表示進入商場的位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。參考答案：（本小題滿分13分）解：記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，

記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，(Ⅰ)

……3分(Ⅱ)

，

………6分（Ⅲ），故的分布列，，所以

…………………12分略21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進一步求出向量的坐標，再求出平面PCD的法向量，設PB與平面PCD的夾角為θ，由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設存在M點使得BM∥平面PCD，設，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得當時，M點即為所求．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中點為O，連接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），則，，設為平面PCD的法向量，則由，得，則．設PB與平面PCD的夾角為θ，則=；（Ⅲ）解：假設存在M點使得BM∥平面PCD，設，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，則有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，∴，即，解得．綜上，存在點M，即當時，M點即為所求．22.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大