第五章大數(shù)定律與中心極限定理一、切比雪夫不等式定理1設(shè)有隨機(jī)變量X

，則對任一實數(shù)恒有或者寫成等價的形式：第一節(jié)

大數(shù)定律證以連續(xù)型隨機(jī)變量的情形為例，在離散的情形只需把下面的求積分變換為求和即可.設(shè)X

的密度函數(shù)為則有切比雪夫不等式示意圖Ox若隨機(jī)量X

服從正態(tài)分布：則由切比雪夫不等式可得：在前一章中已經(jīng)指出：故有比較上述結(jié)果！例1

設(shè)每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,試用Chebyshev不等式估計,n

多大時,才能在

n

次獨立重復(fù)試驗中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?設(shè)

X

表示

n

次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的X~B(n,0.75)要使，求n問題解次數(shù),則即即由Chebyshev不等式，

=0.01n,故令由此解得即至少要進(jìn)行18750次試驗才能達(dá)到要求.二、大數(shù)定律定義設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列，a

為一常數(shù)，若對任意的有則稱{Xn

}依概率收斂于a,記作(*)（*）式也可代之以其等價形式定理2（貝努利大數(shù)定律）設(shè)nA

是n

次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p

是事件A

在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意給定的正數(shù)有證顯然，nA

是隨機(jī)變量，將其記為X

，則且對隨機(jī)變量有使用切比雪夫不等式，又由此嶄得令注意堅到概雙率的蠢非負(fù)棕性，皇有即這說亂明這也蔬是前堤面所熟提到咸的頻畝率穩(wěn)層定性半的一倉個數(shù)幼學(xué)表畢示.在概化率的憤統(tǒng)計畝定義改中,事件A發(fā)生替的頻圾率頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,貝努胸里(B溉er鴨no欄ul相l(xiāng)i玩)大數(shù)隆定律直的意氣義“穩(wěn)定因而漫在n足夠渠大時,可以點用頻弄率近瞎似代線替p.稱為鼻依概皂率穩(wěn)碌定.于”待事件A在一淘次試糞驗中勞發(fā)生思的概宴率是甘指：這種泉穩(wěn)定定理3Ch館eb牢ys睬he景v大數(shù)冠定律相互獨立,(指任設(shè)隨機(jī)變量序列則有或且具因有相同意給定n>1,相互獨立)的數(shù)康學(xué)期汪望和耀方差:定理木的意陽義當(dāng)n足夠孤大時,算術(shù)兔平均姑值幾駛乎是做一常垂數(shù).具有凳相同拋數(shù)學(xué)塘期望煩和方慨差的努獨立r.鹽v.序列雄的算吹術(shù)平近似致代替可被均值梯依概攤率收夏斂于招數(shù)學(xué)誼期望.數(shù)學(xué)期望算術(shù)均值例2設(shè),…為獨立同分布的隨機(jī)變量序列,均服方從參儀數(shù)為λ的泊合松分兩布,因為從而武滿足錫定理3的條江件,由定徑理知定理4口(辛欽盼大數(shù)亡定律)設(shè)相互獨立，服從同一分布，且