第四章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

TransientConduction4-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念4-2第一類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱4-3伴有相變邊界的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱4-4第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱4-5集總參數(shù)法4-6不同形狀物體加熱或冷卻速度的比較1/59.4—1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念

緒論中已經(jīng)指出：制造工藝中的加熱、冷卻、熔化、凝固都是和熱量傳遞息息相關(guān)。在工件中熱量傳遞過(guò)程大多是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱理論的范圍之內(nèi)，又有兩個(gè)內(nèi)容在熱加工工藝中意義最重大。一個(gè)是第一類邊界條件下半無(wú)限大平板的導(dǎo)熱問(wèn)題，它在凝固冷卻過(guò)程中是很重要的。另一個(gè)是第三類邊界條件下平板、圓柱、球體等的導(dǎo)熱，它廣泛的應(yīng)用于加熱爐中、熱處理過(guò)程中工件的加熱和冷卻等場(chǎng)合。2/59.

我們先考察非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特征，以一塊平板為考察對(duì)象，其初始溫度均勻并等于室溫t0，被放進(jìn)tf=常量的恒溫爐內(nèi)加熱。

過(guò)程開始后，表面溫度tw開始上升而中心溫度仍為初始的溫度t0。隨著時(shí)間的推移，溫度變化波及范圍不斷擴(kuò)大，導(dǎo)致中心溫度tm也開始上升。3/59.τttftwtm經(jīng)歷一段時(shí)間后，整個(gè)平板趨近并最終達(dá)到熱的平衡狀態(tài)，即tw=tm=tf。以上分析表明：物體內(nèi)溫度場(chǎng)的變化存在著部分物體不參與變化與整個(gè)物體參與變化的兩個(gè)階段。存在著兩個(gè)不同階段是加熱過(guò)程的一個(gè)特點(diǎn)。4/59.

不同地點(diǎn)達(dá)到指定溫度的時(shí)間不同，所以除了解出溫度場(chǎng)以外，求出不同地點(diǎn)到達(dá)指定溫度的時(shí)間有時(shí)也是重要的。還應(yīng)該注意到，在熱量傳遞的過(guò)程中，各處由于本身的溫度變化要積蓄（或放出）熱量，過(guò)程開始時(shí)這份熱量較大，隨著物體溫度的變化，這份熱量逐漸減小，在熱平衡狀態(tài)降為零。

5/59.

積蓄（或放出）熱量隨時(shí)間而變化是過(guò)程的又一個(gè)特點(diǎn)。于是在工程計(jì)算中，確定瞬時(shí)熱流密度和累計(jì)熱量也是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題求解的任務(wù)。在圖中，累計(jì)熱量由指定時(shí)間τ與縱坐標(biāo)間曲線下的面積表示。

6/59.

4-2第一類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

典型的簡(jiǎn)單幾何形狀，除了平壁、圓筒壁和球壁以外，還有半無(wú)限大物體。所謂半無(wú)限大物體是指物體一端面為一平面所限制，而另一端延伸至無(wú)限遠(yuǎn)的物體。數(shù)學(xué)上，取平面界面為y坐標(biāo)軸，與界面成法線方向?yàn)閤坐標(biāo)軸，則半無(wú)限大物體占有x≥0、y從–∞至∞的區(qū)域。

7/59.

半無(wú)限大物體作為許多有平面分界面的實(shí)際問(wèn)題的理想化典型，有其重要意義。對(duì)于有限厚度的平壁單面受熱時(shí)，只要平壁的另一側(cè)未受到升溫波及，就可應(yīng)用半無(wú)限大的理論公式。比如，鑄造中砂型的受熱升溫，只要在工程上有意義的時(shí)間內(nèi)，砂型外側(cè)未被升溫波及，就適用半無(wú)限大物體的分析。

ttwt0τ1

x8/59.1.

溫度場(chǎng)的求解常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱適用的微分方程為：初始條件:τ=0時(shí)t=t0=定值邊界條件:τ>0時(shí)，x=0處t=tw=定值微分方程式在上述初始及邊界條件下的理論解為或上兩式中，，為高斯誤差函數(shù)，它的數(shù)值可按N值從附錄中查出。9/59.半無(wú)限大物體內(nèi)的溫度場(chǎng)的特點(diǎn):隨著時(shí)間的增大，表面溫度變化所波及的深度不斷增加。

10/59.

高斯誤差函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)N=2.0時(shí)(tw–t)/（tw–t0)≈1即t≈t0。換句話說(shuō)，可以認(rèn)為，由N=2確定的x點(diǎn)處溫度尚未發(fā)生變化。11/59.*某點(diǎn)未受表面溫度變化波及的時(shí)間（惰性時(shí)間）τ的確定從的關(guān)系可得上式表明：惰性時(shí)間與表面溫度tw無(wú)關(guān)，它與深度x的平方成正比而與熱擴(kuò)散率a成反比。熱擴(kuò)散率越小，惰性時(shí)間越大。根據(jù)上式：選定x，可得到x點(diǎn)未受表面溫度變化波及的時(shí)間τ。這段時(shí)間τ稱為x點(diǎn)的惰性時(shí)間。12/59.

2.表面的瞬時(shí)熱流密度由于物體表面上的溫度梯度依時(shí)間τ而變化，所以從傅立葉定律只能解得表面的瞬時(shí)熱流密度qw。先對(duì)式求導(dǎo)得

代入傅立葉定律表達(dá)式，得

不難看出，qw隨著時(shí)間

τ

的增加而遞減。

13/59.3.累計(jì)熱量Qw如果在0~τ

一段時(shí)間內(nèi)，tw保持不變，將qw在0~τ

范圍內(nèi)積分即得整段時(shí)間內(nèi)消耗于加熱每平方米半無(wú)限大物體的熱量Q

w可以看出，Q

w與時(shí)間τ的平方根成正比，即隨時(shí)間增加而遞增，但增加的勢(shì)頭逐漸減小。這與溫度梯度的變化相對(duì)應(yīng)。14/59.4.蓄熱系數(shù)15/59

在上式中，材質(zhì)不同的影響體現(xiàn)在

上。物性的這種組合可表成:

b稱為蓄熱系數(shù)。它完全由材料的熱物性構(gòu)成，它綜合地反映了材料的蓄熱能力，也是個(gè)熱物性。

.鑄鐵和鑄型蓄熱系數(shù)b的參考值。155001.58×10－57100544.361.64金屬型20302.41×10－71350963.00.314砂型156008.82×10－67000753.646.5鑄鐵蓄熱系數(shù)

b熱擴(kuò)散率

a密度

ρ比熱容

c

導(dǎo)熱系數(shù)

λ

熱物性材料16/59.瞬時(shí)熱流密度qw和τ時(shí)間內(nèi)每平方米物體的蓄熱量用蓄熱系數(shù)b表示時(shí)有下列形式:

蓄熱系數(shù)b是個(gè)綜合衡量材料蓄熱和導(dǎo)熱能力的物理量。因?yàn)槌?shù)，從qw式可知，0.56b就等于單位溫升，每單位時(shí)間的瞬時(shí)熱流密度值，從Qw式可知非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1.12b就等于單位溫升，單位時(shí)間物體的蓄熱量。

17/59.

蓄熱系數(shù)的物理意義從日常生活中也很容易理解。例如冬天用手握鐵棍和木棍，盡管它們溫度都相同，但總是感覺鐵棍比較涼。這是因?yàn)殍F的蓄熱系數(shù)比木材的約大30倍，鐵從手取走的熱量遠(yuǎn)大于木材的原故。

由于砂型的導(dǎo)熱系數(shù)較小，型壁較厚，所以平面砂型壁可按半無(wú)限大平壁處理。本節(jié)得到的公式應(yīng)用于鑄造工藝，可以計(jì)算砂型中特定地點(diǎn)在τ時(shí)刻達(dá)到的溫度和0~τ時(shí)間內(nèi)傳入砂型的累積熱量。瞬時(shí)熱流密度qw和累計(jì)熱量Q

w都與蓄熱系數(shù)成正比，所以選擇不同造型材料，即改變蓄熱系數(shù)，就成為控制凝固進(jìn)程和鑄件質(zhì)量的重要手段。18/59.4-3伴有相變邊界的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

上一節(jié)解決了無(wú)相變情況下半無(wú)限大物體一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。如果在半無(wú)限大物體一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中伴有相變邊界時(shí)，例如型腔中液態(tài)金屬的凝固，情況更為復(fù)雜。在這類問(wèn)題中需要求解的是凝固速度。計(jì)算凝固層厚度和達(dá)到全部凝固的時(shí)間（簡(jiǎn)稱凝固時(shí)間）。（討論是在不考慮液體中對(duì)流的前提下進(jìn)行的）。19/59.

假定澆注入型腔的液體金屬剛好處于熔點(diǎn)tw，液態(tài)金屬在固液分界面釋放出凝固潛熱L而凝固。由于金屬固體的導(dǎo)熱系數(shù)大，忽略金屬內(nèi)部溫降，不致引起太大誤差。

20/59.

令凝固層厚度為ξ，凝固速度可由下式確定：

式中，為鑄件釋放出的比熱流量，其傳遞方向與厚度ξ的增加方向相反，故有負(fù)號(hào)；ρ為金屬固體的密度。實(shí)際上液態(tài)金屬的澆注溫度tp往往高于熔點(diǎn)，即帶有過(guò)熱度。不過(guò)由于過(guò)熱所釋放的熱量只占凝固時(shí)總釋放熱量的5～6%，份額不大。

21/59.考慮過(guò)熱度時(shí)鑄件釋放的比熱流量的表達(dá)式：與式相比只是用來(lái)代替L。為每千克金屬?gòu)臐沧囟冉档饺埸c(diǎn)的固體釋放出的總熱量。22/59.鑄件釋放出的比熱流量全部由鑄型所吸收。于是：23/59.0~τ范圍內(nèi)積分，得凝固層厚度的表達(dá)式此式稱為平方根定律，即凝固層厚度與凝固時(shí)間的平方根成正比。式中K稱為凝固系數(shù)24/59.鑄件材質(zhì)冷卻條件KX103M/S1/2灰鑄鐵砂型金屬型0.9042.84可鍛鑄鐵砂型金屬型1.422.58鑄鋼砂型鑄鐵硬模1.683.35黃銅砂型鑄鐵硬模2.324.90鋁鑄鐵硬模4.0幾種材質(zhì)在不同冷卻條件下的K值25/59.用凝固系數(shù)表達(dá)凝固速度如果厚度為δ的平板鑄件可向兩側(cè)鑄型散熱時(shí),當(dāng)凝固厚度達(dá)到ξ=δ/2時(shí)全部凝固完畢。平板鑄件達(dá)到全部凝固的凝固時(shí)間為：26/59.例題：一個(gè)140mm厚的平板鑄鋼件在砂型中冷卻凝固，平板鑄件兩側(cè)釋放熱量給砂型。已知澆注溫度tp=1540?C，凝固潛熱L=268kj/kg，鋼的比熱容c=837j/kg.?C，密度ρ=7200kg/m3，砂型的初始溫度t0=10?C，蓄熱系數(shù)b=2030W/(m2.?C.s1/2)。鑄型內(nèi)表面溫度取鋼的熔點(diǎn)，tw=1510。試求全部凝固所需的時(shí)間。解：27/59.4-4第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱本節(jié)討論無(wú)限大平板的溫度場(chǎng)和累計(jì)熱量的求解。

厚度有限而寬廣無(wú)限的平板數(shù)學(xué)上稱為無(wú)限大平板。設(shè)有一塊厚度為2δ的無(wú)限大平板，初始溫度為t0。在初始瞬間將它置于溫度為

tf的流體中（tf

>t0),流體與板面間的換熱系數(shù)h為常數(shù)，確定在以后任一瞬間平板中的溫度分布。平板兩側(cè)具有相同的邊界條件。由于對(duì)稱的原因，我們只需討論半個(gè)壁厚板面溫度場(chǎng)的求解。

28/59-δ0δ

xh

,tfh

,tft0.

列出下列偏微分方程式及定解條件：初始條件時(shí)，邊界條件時(shí)，處

處

29/590δ

xh

,tft0.為了使邊界條件奇次化及表達(dá)上的簡(jiǎn)練，習(xí)慣上采用以周圍介質(zhì)溫度tf為起點(diǎn)基準(zhǔn)的過(guò)余溫度θ=t-tf而不直接用t。采用了過(guò)余溫度，半個(gè)平面適用的微分方程式及定解條件為初始條件時(shí)，邊界條件時(shí)，處；

處

30/59.采用分離變量法求解上述偏微分方程，思路是：將上述偏微分方程的解表示成兩個(gè)函數(shù)的乘積，每一個(gè)函數(shù)各與一個(gè)變量有關(guān)，從而將上述偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程。

設(shè)：代入

式：31/59.上式左端僅與τ有關(guān)，右端僅與x有關(guān)。要使上式對(duì)于在τ與x的定義區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)τ及x均成立，只有當(dāng)?shù)仁絻啥烁髯缘扔谝粋€(gè)常數(shù)（記為D）時(shí)才可。于是有：解得平板中的溫度分布是Fo、Bi及x/δ的函數(shù)

32/59.

這個(gè)問(wèn)題的分析解，以及在第三類邊界條件下其他簡(jiǎn)單幾何形狀物體問(wèn)題的分析解，都已經(jīng)得出，并且已經(jīng)被整理成便于應(yīng)用的線算圖。這類線算圖稱為諾莫圖。圖中的坐標(biāo)及參變量都是無(wú)量綱的綜合量。無(wú)量綱的綜合量被稱為相似準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱準(zhǔn)則。在物理現(xiàn)象中，物理量不是單個(gè)的起作用而是以準(zhǔn)則這種組合量發(fā)揮其作用的。

33/59.

各個(gè)準(zhǔn)則反映了與現(xiàn)象有關(guān)的物理量間的內(nèi)在聯(lián)系，物理量不是單個(gè)地而是組成無(wú)量綱的物理量起作用。在對(duì)流換熱一章中，我們還將應(yīng)用無(wú)量綱化獲取準(zhǔn)則關(guān)系式的分析方法。畢渥準(zhǔn)則Bi可表示成為，分子是厚度為δ的平壁內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻，分母則是壁面外的對(duì)流換熱熱阻，所以Bi準(zhǔn)則具有對(duì)比熱阻的物理意義。傅立葉準(zhǔn)則Fo可表示為

，分子是時(shí)間，分母也具有時(shí)間的量綱，它反映熱撓動(dòng)透過(guò)平壁的時(shí)間，所以Fo準(zhǔn)則具有對(duì)比時(shí)間的物理意義。Fo準(zhǔn)則越大，熱撓動(dòng)就能越快地傳播到物體地內(nèi)部。

34/59.圖4-7為中心過(guò)余溫度的理論解。已知Fo和Bi準(zhǔn)則，從圖上可以方便的找到值。

35/59.36/59.37/59θ/θm.38/59.例題厚200mm的鋼板初始溫度為20℃，放入1000℃高溫的加熱爐內(nèi)，兩側(cè)受熱。已知鋼板λ=34.8W/(m℃)，a=0.555m/s,加熱過(guò)程中的平均換熱系數(shù)h＝174W/(m2℃）。求鋼板受熱表面達(dá)到500℃所需時(shí)間。解：39/59.40/59.

4-5集總參數(shù)法

Lumpedcapacitancemethod

集總參數(shù)系統(tǒng)物體內(nèi)熱阻可以忽略，也就是的導(dǎo)熱系統(tǒng)稱為集總參數(shù)系統(tǒng)，有時(shí)也稱為充分?jǐn)嚢柘到y(tǒng)或熱薄物體系統(tǒng)xxtt∞(b)(a)(c)任意形狀的物體假設(shè)Bi<0.1，表明物體內(nèi)部溫度分布幾乎趨于一致，可以近似認(rèn)為物體是一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)。

41/59.對(duì)于一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，可以認(rèn)為整個(gè)固體在同一瞬間均處于同一溫度之下。

集總參數(shù)法在這種情況下，固體的溫度僅是時(shí)間的一元函數(shù)而與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，好像該固體原來(lái)連續(xù)分布的質(zhì)量和熱容量匯總到一個(gè)點(diǎn)上，而只有單一的溫度值那樣。這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡(jiǎn)化分析方法稱為集總參數(shù)法。42/59.顯然，如果物體的導(dǎo)熱系數(shù)相當(dāng)大、或者幾何尺寸很小、或表面換熱系數(shù)極低均可能適用這種簡(jiǎn)化分析方法。例如，加熱爐內(nèi)的小鋼球和測(cè)量流體溫度的熱電偶就是適用集總參數(shù)法的實(shí)例。43/59.設(shè)t0>tf。固體與流體間的換熱系數(shù)及固體的物性參數(shù)均保持常數(shù)。假設(shè)此問(wèn)題可以應(yīng)用集總參數(shù)法，試求物體溫度隨時(shí)間的依變關(guān)系。

h,tfAΦΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為tf、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

一、集總系統(tǒng)的能量平衡方程和溫度分布44/59.物體的熱量收支平衡關(guān)系物體的內(nèi)能增量應(yīng)該等于凈導(dǎo)入物體的熱量初始條件為：

引入過(guò)余溫度：

45/59.分離變量積分并代入初始條件得：

46/59.物體的溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無(wú)因次溫度的對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線47/59.二、時(shí)間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為s，也稱弛豫時(shí)間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（cV）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/h

A)小。48/59.時(shí)間常數(shù)反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來(lái)的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)?？梢?，同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同的。當(dāng)物體冷卻或加熱過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τs，θ/θ0τ/τs0.3681014τ=4τs，工程上認(rèn)為=4τs時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)49/59.三、瞬時(shí)熱流量Φ物體在0～τ時(shí)間內(nèi)散失得累計(jì)熱量Q

τ可對(duì)Φ積分求得：50/59.四、集總參數(shù)系統(tǒng)的判定

如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長(zhǎng)度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)，M為形狀修正系數(shù)。51/59.對(duì)于厚度為2的大平板按照則直徑為2r的長(zhǎng)圓柱體按照則對(duì)于直徑為2r的球體按照則對(duì)于一個(gè)復(fù)雜形體的形狀修正系數(shù)時(shí)，可以將修正系數(shù)M取為1/3，即52/59.

無(wú)限大平板的M=1，無(wú)限長(zhǎng)圓柱的M＝1/2，球體的M＝1/3。一般以式（4－30）為允許采用集總參數(shù)法的判據(jù)。還應(yīng)該指出，Bi準(zhǔn)則中不同幾何形狀物體的特性尺寸分別為厚度為2δ的平板半徑為R的圓柱53/59.

半徑為R的球體

由此可見：平板的Biv=Bi，圓柱的Biv=Bi/2，球體的Biv