2021年廣西名校高考數(shù)學一模試卷（理科）

一、選擇題（每小題5分）.

1.設集合A={x|y=lnG；6）*集合B={y|y=則.

x+14x48

CRB=（）

A.（6,晉）B.（6,需C.（6,D.R

2.警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互認識，警察將四名

嫌疑人分別進行審問.甲說：“是乙和丙其中一個干的.”乙說：“我和甲都沒干.”

丙說：“我和乙都沒干.”丁說：“我沒干.”已知四人中有兩人說謊，且只有一人偷

竊，下列兩人不可能同時說謊的是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

3.如圖，在正方體A3CD-A山CQi中，AB=\,M,N分別是A8、BC的中點，平面3AC

分別與DM、DiN交于P、Q兩點，則S4B]PQ=（）

A?率B.等C.|D.黎

4.在四面體A3CD中，AB=6fBC=3,BD=4,若NA3C與N4BQ互余，則版■而的最

大值為（）

A.20B.30C.40D.50

5.(x-1)(x2-1)(x3-1)(x4-1)（x5-1）的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項

系數(shù)乘以各項指數(shù)之和的值為（）

A.0B.55C.90D.120

6.(加1)5-(加1+1)5=()

A.1B.-1C.2D.-2

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，結(jié)果是（)

A.162B.171C.180D.無輸出

8sin、420cos2lZ。=

3cos360+1

9.己知-ln3,b=~^,c=l-ln2,貝ij(

)

6e

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

已知數(shù)列跖?=微-%-12+3“〃-1+^~,0=2,

10.則k)g2(06+1)=()

A.6310g23-31B.3310g23-15C.6310g32-31D.3310g32-15

22

11.已知橢圓江￡=1上有相異的三點A,B,C,則SM6c的最大值為（）

42

A.B.372c.D.376

12.若a、b是小于180的正整數(shù)，且滿足sin（a+p，=sin（.a+gO0則滿足條件的

sinasinb

數(shù)對（a,6）共有（）

A.2對B.6對C.8對D.12對

二、填空題：本大題共四小題，每小題5分，共20分.

13.已知恒正函數(shù)/（X）=X2f*4（X）,/（1）=—.若XI、元2、X3<0,且Xl+X2+X3=-則

f號”ft)的最大值為.

X1x2x3

14.在平面直角坐標系中，4(-2,0),8(0,1),C為r+>2=1上的動點，則

的取值范圍為.

15.已知△A8C滿足48=1,AC=2,cosA=4.若E為△A8C內(nèi)一點，滿足入標=2族+菽

25

(入ER),且瓦?位=0，延長AE至3C交于點。，則??L=.

bonoi

16.已知數(shù)列｛m｝和｛d｝滿足“1=2,b\—\,a,,+hn—bll+\,an+i+hn+]—4an,則----

a1008

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題，每

個試題考生都必須作答。第22、23為選做題，考生根據(jù)要求作答.

17.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c+4加inBcosC=4asinB.且A

為鈍角.

(I)求角8的大小；

(ID茗b=娓-近，c=織豆,求sin(31B)的值.

18.某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號，創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無形資產(chǎn)和

重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間，將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題包含:

中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六個

好”、“五個禮讓”共5個問題，提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日，創(chuàng)城檢

查人員來到A校，隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問，其中甲只背了5個問題中的

2個，乙背了其中的3個，丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分，答錯不扣分，

最終三人得分相加，滿分60分，達到30分該學校為合格，達到50分時該學校為優(yōu)秀.

(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù))；

(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列，并求出A校得分的數(shù)學期望；

(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

22

19.已知橢圓C：J+%=1(a>/?>0)與拋物線r：y2=2px(p>0)共焦點，以橢圓的

上下頂點M、N和左、右焦點R、B所圍成的四邊形MRNB的面積為8,經(jīng)過B的直

線交拋物線于A、8,交橢圓于C、D,且滿足2亞|+1

C|Ap2|-+|Bp2|J=-|Cp2||DF2|-

(1)求出橢圓和拋物線的標準方程；

(2)若點。在第三象限，且點A在點B上方，點C在點。上方，當面積取得

最大值S時,求FzF/FzB的值.

20.如圖1,矩形ABCD中，2AB=BC,將矩形ABC。折起，使點A與點C重合，折痕為

EF.連接AF、CE,以AF和EF為折痕，將四邊形A8FE折起，使點8落在線段FC上,

將△CCE向上折起，使平面OECL平面FEC,如圖2.

(1)證明：平面平面EFC；

(2)連接BE、BD,求銳二面角A-的正弦值.

21.已知函數(shù)/(x)=x^-(x>0).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)證明：(1)。/以<4；

(2)x—lnx>-—.

x2

(二)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程.］

22.平面直角坐標系xOy中，己知尸為橢圓與?丹=1的右焦點，且。+按=4,過尸作兩

條互相垂直的直線交橢圓分別于A、B與C、D.以尸為極點，x軸正半軸為極軸建立極

坐標系.

1

(1)求橢圓的極坐標方程與的代數(shù)表達式;

lABl

(II)求775r片裊的取值范圍.

IABIICDI

［選修4-5：不等式選講］

23.已知。、b、c>0.且q+b+c=l.

2

(I)求證：a2+b2+c26Z3+/?3+C3+2(ab+bc+ca)；

(II)設女為整數(shù)，且4(ab+bc+ca)+—1+-恒成立,求攵的最小值.

a+2b+2c+2

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.設集合4={x|y」n(x；6)},集合3=卜卜=g1邛立宜，貝lAU

x+14x48

CRB=()

A.(6,—)B.(6,—]C.(6,幺)D.R

4104

解：A={?。?},業(yè)紅辿"13=2x4旁＞2耳寫，

y4x4x2x4,44

,當且僅當2xj，即x=《時取等號，

482x2

...AUCRB=R.

故選：D.

2.警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互認識，警察將四名

嫌疑人分別進行審問.甲說：“是乙和丙其中一個干的.”乙說：“我和甲都沒干.”

丙說：“我和乙都沒干.”丁說：“我沒干.”已知四人中有兩人說謊，且只有一人偷

竊，下列兩人不可能同時說謊的是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

解：對于A,若甲和乙同時說謊，甲說謊：則意思是甲或丁干的，乙說謊：則意思是甲

或乙干的，丙：丙和乙都沒干，是丁或甲干的，?。杭谆蛞一虮傻?，此時可能是甲干

的；

對于8,若乙和丙同時說謊，甲：丙或乙干的，乙說謊：則意思是甲或乙干的，丙說謊:

則意思是乙或丙干的，?。杭谆蛞一虮傻模藭r可能是乙干的；

對于C,若丙和丁同時說謊，甲：丙或乙干的，乙：丙或丁干的，丙說謊：則意思是乙

或丙干的，丁說謊：則意思是丁干的，此時選不出是誰干的，所以丙和丁不可能同時說

謊；

對于D,若丁和甲同時說謊，甲說謊：則意思是甲或丁干的，乙：丙或丁干的，丙：丙

和乙都沒干，是丁或甲干的，丁說謊：則意思是丁干的，此時可能是丁干的.

故選：c.

3.如圖，在正方體ABC。-AiBiCQ中，AB=1,M,N分別是A&BC的中點，平面SAC

分別與UM、DiN交于P、Q兩點，則SAB[PQ=()

A.B.c.—

555。?挈

解：以力為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示,

則

A(l,0,0),C(O,1,0),B/l.1.1),D/0,0,1),M(l,y,0),畤1,0)

所以菽=(T,1,0),AB^=(0,1,1),

設平面ABC的法向量為n=(x,y,z)，

n*AC=-x+y=0

則有1-------

n*AB1=y+z=0

令y=l,則x=l,z=-1,所以］二(1,1,-1)，

又D1A=(1,0,-1),所以點U到平面ABiC的距離為IDJA^I22a

d1=F-=7T虧'

__J_

又忌=(o,-5，0)，所以點“到平面ABC的距離為』=I方4|二萬頁,

2d

2Ini

2V3

IDFI_53=4

所以273V3"5

|DjM|dj+d2

因為M,N分別為AB,BC的中點，則MN〃4C,

因為MMt平面ABC,ACu平面ABC,所以MN〃平面ABC,

因為MNu平面"MN,平面。iMNC平面ABC=PQ,所以PQ〃MN,

設點P(xuyi,zi),Q(X2,”，zz),

由D[PTD[M，所以(X],yj>Z[T)=x"(l，-y?~1)>

44

*I至

y.=菖，解得＜2

所以4y

15lV

141

z「l一百ziT

所以P落卷,看），同理可得Q償，￡

555b

.1Q4、1?

所以B[P=（T，"T?f），B,Q=（

1ODD1卷

V26

故|B]P|=|BiQ|嗔:-----一-----，

?，B[P?B[Qii

所以cos/P%Q=——?——.=77->

1iBjPllBiQl13

2=

貝Isin/PBiQ=^1-COSZPB1Q'

因此S/kB-PQ帝卜?彳I'sin/PB]

故選：D.

4.在四面體ABC。中，AB=6,BC=3,BD=4,若/ABC與NA8￡）互余，則無?無的最

大值為（）

A.20B.30C.40D.50

解：如圖,

■/ABC與N48D互余，???/?口二或一NABC，且五二前-前，AB=-BA?AB=6,

BC=3,80=4,

,?.....,.a,冗

?'-AB'CD=-BA-（BD-BC）=BA-BC-BA'BE=18cosZABC-24cosZABC）

=18cos/A8c-24sin/A8C=30sin（a-ZABO，其中tanCl

244

，標■而的最大值為：30.

故選：B.

5.（x-1）（x2-1）（x3-1）（爐-1）（??-1）的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項

系數(shù)乘以各項指數(shù)之和的值為（）

A.0B.55C.90D.120

解：令x=l得各項系數(shù)和為0,

（X-1）（X2-1）（X3-1）（/-1）（X5-1）=X15-X14-%13+X10+^9+^-X7-X6-x5+x2+x

則各項指數(shù)和為15+14+13+10+9+8+7+5+5+2+1=90,

則90-0X90=90,

故選：C.

6-（V2i-1）-（V2i+1）-（

A.1B.-1C.2D.-2

解：（&i-l）2=-1-2&i，（&i+l）T=-1+2我i,

所以（&i-D4=-7+4&i，（&i+l）-7-4-72i，

所以（&i-D5=-1-u&i（&i+D5=1-11折，

則（加近i+l）5=-：

故選：D.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，結(jié)果是（)

A.162B.171C.180D.無輸出

解：根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，可得循環(huán)的退出條件為：上＞=10.

〃的初值為17,第一次循環(huán)判斷條件〃=17成立，執(zhí)行Z=k+l=l,

在以后的循環(huán)中，”的值為：52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,

一直4,2,I循環(huán)，上的值也不會發(fā)生改變，故本程序是死循環(huán)，無輸出.

故選：D.

8sin、42°cos'lZ。=

3cos36°+1

C.—

4

解：因為cos36°sinl8°=cos36°cos72°sin72°cos72sin1440_1

2sin3604sin36°4

cos36°-sin18°=sin54°-sinl80=sin(36°+18°)-sin(36°-18°)=2cos360

sin18°=—,

2

☆x=cos36°,可得sinl8°=—,

4x

所以x-」一=工，可得x=近上1,可得cos36°=近41,

4x244

sin、2。。。$2120-(sin420cosl20)：

3cos360+13cos360+1

J[sin(42°+12°)+sin(42°-12°)]2

4

3cos360+1

_4~(sin540+sin300)_4"(cos360W)2

__4___________________________~4乙

3cos360+13cos360+1

，?吟；總產(chǎn)_套（7+3粕）

3X號+1甘+3依）

8

故選：A.

9.已知三乂③一ln3，8=一^"，。=1-加2,貝ij（）

6e

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

234*6

解：令f(X)=ln(l+x)-X-^~x-yx+-1-x-1-Xx>0f

貝Uf/(x)="7^--l+x-x2+x3-x4=_—V0，

l+x1+x

故/(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞減，f(x)<f(0)=0,

所以加(l+x)<X-xX"+-Z-XJ

235

所以歷(吟)<1乂晝)2今'8)4+1?)5=鬻<誓1,

因為〃=?“'+乙'm-]n3—(1-/?2)=**1'---ln-^->09故cVa,

662

因為〃=g<W，e7>2.77>210,

e210

77

所以石、故上2〈彳市

e1U

所以1-/〃2>W，所以6<c,

10

綜上，h<c<a,

故選：B.

Q1

10.已知數(shù)列斯=萬〃入J+3a〃_]十萬，0=2,則log2(期+1)=()

A.6310g23-31B.331og23-15C.631og32-31D.331og32-15

Q1

解：a=—Cln-12+367-1+77，

n22W

.?.2?！?2=3(。〃一F+2〃〃.]+i)=3(a+1)

xn-11z

兩端取對數(shù)可得，

Iog22+log2(如+1)=log23+21og2(斯-l+l),

**?log2(Cln+1)+log9-^-=2[!og2(.an-1+1)+log9-^-]?

3

???m=2,???log23+log9-^=21og23-1,

乙2

...數(shù)列｛10g2(4“+l)+log上｝是以210g23-1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

Q

.\10g2(46+1)+log『=(21og23-1)?25=641og23-32,

N2

/.Iog2(06+1)=631ogz3-31,

故選：A.

22

11.已知橢圓—+^_=1上有相異的三點A,B,C,則SAABC的最大值為()

42

A.B.3&c.D.376

解：首先證明一個結(jié)論，

設A(?cos0i,/?sin0i),B(rzcos02,fesin02),C(“cos%,fesin03),(OW&V02V。3

22

<2n),是橢圓與J=1上三個不同的點，

直線/：y=-〃，4,Bi,Ci分別是A,B,C在直線/上的射影,

則Ai(acosOi,-b),B\(“cos版,-b),Ci(6zcos03,-b),

SA*BC=S梯的AA：B.B+S梯的BB】C：C-S梯的AA：C.C,

(1/14,1+1^11)|AiSi|+y(|B8i|+|CG|)|BiCi|-(|A4||+|CCi|)|AiCi|

=—(isinO?+b+bsmQ2+b)(acosQi-acos02)+—(/?sin02+^+/?sin03+/?)(acos02-acos03)

22

--(teinO?+b+bsinGi+b)(acosQi-acosO.i)

2

=/ab[sin(02-0i)+sin(03-02)-sin(0?-0i)].

因為0W0I<02V03<2TT,

所以。2-。1,03-02,03-0ie(0,2n),

令a=02-Oi,P=03-02,

貝lja+p=03-6iG(0,2ir),

所以SA48c=￡a0[sina+sinS-sin(a+p)],

令/?=sina+sinp-sin(a+p)

c.a+Ba-pc.a+pa+B

2222

=2sin——a+B(cos-a---tR--cos-a---+B1_)W2sin-a---+B(1-cos-----a--+-B1-)=4sin——a+Bt-'

222222

sin￡史=8sw3os2邑,

444

E-6a+Ba+p64-a+B,-a+6,,a+p

所以“2W64sin°------cos-2——；---=sin---------?sin-------?3cos22-------

223444

2a+B2。+62a+B2口+8

<64zsin—~—+sin—■—+sin—~—+3cos—~—、_27

(4444)——!

所以pW拶,

a-B.

cos-2—=1

當且僅當4

.2a+B2a+B

sin—?—=3cos

2

即a=0=*時，等號成立，

所以（SAABC）加=3Mab,

4

=

所以a2f

所以（S”BC）”心=^Sx2X&=>^^,

42

故選：C.

12.若a、〃是小于180的正整數(shù)，且滿足sinQ+?）。=sin（a+?>）°則滿足條件的

sinasinb

數(shù)對（a,匕）共有（）

A.2對B.6對C.8對D.12對

解：Vl^a<180,1W6V180,?GN+,/?GN+

；.2Wa+6<360,a+/沱N+,3Wa+2b<540,a+2旄Nt

觀察正弦函數(shù)的圖象，

A+B+2B

①當a=b時，則^=9Q或旦+b彳+2b=270,

.?.〃=b=36或a=b=108

②當31L=90,.?“+6=180,

則sina°=sin/?°,sin（a+b）°=0,

"WO,sin（a+2b）°WO,

,此時沒有滿足題意的整數(shù)對，

綜上①②，滿足題意的（。，b）有2對，

故選：A.

二、填空題：本大題共四小題，每小題5分，共20分.

13.已知恒正函數(shù)f（x）=X2f（X）,/（I）=工.若XI、X2、X3<0,且Xl+X2+X3=-哥加2.貝！J

e

f段）,￡（」，）"f（t）的最大值為（工）M2.

X

1x2X3——2

解：因為Xl+X2+X3=-，§加2,

所以（東+靖+灼？）X（1+1+1）2（xi+%2+%2）』3//2,

所以XI2+X22+X322ln22,

=-遮等號成立,

當且僅當X\=X2=X3=ln2

3

1

因為Unf(x))'--2，

X

所以Inf(x)=——4■c,

X

所以/(幻=e—―+c

X

由/⑴=el+e=e'

1

所以c=0,f(x)=(2--，

1111

所以-2)*/(-2,/<—2)=e-(xJw+x/+xJ)We_in22=(《)ln2>

X1x2x3-2

故答案為：(《)"a.

2

14.在平面直角坐標系中，A(-2,0),8(0,1),C為r+)，2=1上的動點，則IACI+IBQ

的取值范圍為|、氏返G).

3

解：如圖，當。與B重合或是直線AB和圓的交點P時，HCI+I8CI的最小值為|43|=

V(-2-0)2+(0-1)2=V5-

直線A8的方程為±工=1,即x-2y+2=0,

-21

J

x~2y+2=0

*=°或5,即p(-匹，3),

由<99,解得

x2+y=1y=l355

yT

所以|尸川=當度，|尸身=2在，

55

設NBPC=a,則|BC|2=|PB|2+|CPF-2|PB||Pqcosa,

2222

|AQ=|PA|+|Pq-2|PA||PQcos(IT-a)=PA|+|Pq-2|PA||PQcosa,

所以喘F+爵=四+的+臂+需

2ccio

代入3=手,叱等并化簡得喈+嗎_=]+2|pq24I2.X22=—

66+3

|PC］為直徑時取等號，

BC

由柯西不等式(卑Lx?+峰J-X&)2W(.lAQ.I,i+Jj2.)(3+2)^―,當且

V3V2323

僅當塔L=￡L時等號成立，

32

即(HC1+IBCI)2W*所以MC+IBC這

又PC為直徑時，業(yè)"，故|4C|+|5C|<』遠，

323

所以|AC|+|BC|的取值范圍是［泥，坐5).

故答案為：號).

15.已知△4BC滿足AB=1,AC=2,cos4=—.若E為△ABC內(nèi)一點,滿足入標=2AB+AC

25

（入eR）,且而?近=0,延長AE至8c交于點￡）,則|AD|-6-低

X—15—

解：令下=2族，則I標1=2,由cosA=《,

25

可得FG=4+4-2X2X2><J-=M^,所以FC=超，

25255

建立如圖所示的直角坐標系，尸（Y，0）,C律，0）,

55

所以AO={2廠［?2=_|'，所以A點坐標為（。，得），

所以B點坐標為（欄，芻，。點坐標為（0,三），

5515

由入■航=2靛+菽，則點E在A。上，

設E點坐標為（0,八，

由逐.近=。，可得而?標=（-￡,?1-D，（￡,一）=--—r+r2=0,

255

解得r=2+^2,

5

所以強=_|一邛L空，

33D

16

2|A0|T16

所以入=瓦匚］I，

|AEI6-A/22,10

5

16

所以甲156-A/22

1615

6-V22

故答案為：殳運

15

y

bnnni

1004

16.已知數(shù)列｛&｝和｛兒｝滿足。1=2,。1=1,an+bn=bn+1,a,i+1+b,t+1=4arl,則------=2

a1008

解：因為。〃+仇=瓦+i,?！?1+兒+1=4。〃，且m=2,bi=T,

則b2=a\+bi=3,

由Un=bn+1-bm可得Cln+1=bn+2~bn+1，

彳弋/^。〃+1+仇+1=4〃”，^0"1f導歷T+2=4Z?”+1-4歷”

所以bn+2-2瓦+1=2(bn+1-2bn),且岳-24=1,

所以數(shù)列｛九+L2a｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

則d+1-2仇=2〃L

bb

等式兩邊同時除以2〃r,可得上n+：1n

nn-lnn-2

bi

所以數(shù)列｛｝為等差數(shù)列，且首項為T-=2"=2,

2T

所以1)X1=/i+l,

所以d=(〃+1)?2"一2,

則0008=51009-"oosnOlOXZi00：-1009X21°°6=(2020-1009)X21006=1011X21006,

所以b2Q2i2022X22019—2“1m

a10081011X21006

故答案為：21aM.

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題，每

個試題考生都必須作答。第22、23為選做題，考生根據(jù)要求作答.

17.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c+46sinBcosC=4asinB.且A

為鈍角.

(I)求角B的大小；

(II)若匕=正-&,*5求sin(33B)的值.

5cos3c

解：(/)因為c+46sin8cosc=4asin8,

由正弦定理得，sinC+4sin2BcosC=4sinAsinB=:4sinBsin(3+C),

所以sinC+4sin2BcosC=4sinBsinBcosC+4sinBsinCcosB,

即sinC=4sin8sinCcosB=2sin28sinC,

因為sinOO,

故sin2B=—,

2

由A為鈍角可知3為銳角,

TT

故

2

三角形內(nèi)角得B=三或B=器；

1212

(//)因為6=近-&，b<c,

5

ITTT

所以BVC,0<B<——，BPB=—,

412

?R?，兀兀、迎二歷

sinB=sin()=',

344

b_c

由正弦定理得,

sinBsinC

8^52/W22粕

所以sinC=54=名也，

V6-V2_

由C為銳角得，cosC=Ji-sin2ctanC=2,

2—

2tanC4tanC+tan2C32

則tan2C=

1-tan2C3l-tanCtan2C4、11

s"盤B)=Sin[3(嚙-CA杳]=sin(等-3C)=sin[4-(今+3C)]=

cos3Ccos3Ccos3C

sinCSC-^-)_-^-sin3C+^^cos3C

_1V3_1V3_2+11V3

—Qan3O

0—五一222

cos3Ccos3C

18.某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號，創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無形資產(chǎn)和

重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間，將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題包含:

中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六個

好”、“五個禮讓”共5個問題，提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日，創(chuàng)城檢

查人員來到A校，隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問，其中甲只背了5個問題中的

2個，乙背了其中的3個，丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分，答錯不扣分,

最終三人得分相加，滿分60分，達到30分該學校為合格，達到50分時該學校為優(yōu)秀.

(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù))；

(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列，并求出A校得分的數(shù)學期望;

(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

解:(1)記4校答對的題目個數(shù)為X,記事件M：A校優(yōu)秀,

C3C2C3C4+C2C3C2C4+C2C3CJ+C2C3C4

：.P(M)=P(X=5)+P(X=6)

(哈3

0.174；

(2)X的可能取值為1,2,3,4,5,6,

c犯犯6

P(X=l)(廉尸.無？

u

Clry1y-i2J-I1,/n2/-?1/-i1J-I1.J-I2jn21-i2

2b3b2t，4u3u2b457

P(X=2)

(C；)3500)

C2r11201,pIJO1p1jn1p1p1廣2

2U2V4^3V3C4V2V3^3V4V2'IZ3L，2V4V3'IZ3L，2V4164

P(X=3)

0)3500,

li~l1j-l1^-11.?-|111-?2J-|12J->22J-?3,f~y11J-|11J-|2

C2u3b2u4b2b3b2u3b4186

P(X=4)

?)3500；

\.\22.2\\2.221

Vr3r^2Vr3Vr4rrrrrrr78

(X=5)

(C〉5001

2p2

b2b3b4_9

P(X=6)(黃尸=兩'

u

所以隨機變量的分布列如下:

X123456

p657164186789

500500500500500500

78“Y9_18

E(X)=1X6+2x57+3x-^-+4xHx

5005005005005005005，

因此，A校得分的期望為10￡(X)=36,

(3)建議：①強化公民道德教育，提高市民文化程度;

②加強基礎設施建設，營造優(yōu)美人居環(huán)境.

22

19.已知橢圓C：因』=1(a>b>0)與拋物線r：y2=2px(p>0)共焦點，以橢圓的

上下頂點M、N和左、右焦點外、廠2所圍成的四邊形MRNB的面積為8,經(jīng)過B的直

線交拋物線于A、B,交橢圓于C、。,且滿足272(一篇2「+|B；2「)A|C；2?2r

(1)求出橢圓和拋物線的標準方程；

(2)若點。在第三象限，且點A在點B上方，點C在點。上方，當面積取得

最大值S時，求FzF/FzB的值.

解：(1)設過點涇的直線AB的傾斜角為0,設|尸2。|=4|F2C|=y,

由橢圓的定義可得|FQ|=2a-x,\F\C\=2a-y,

由余弦定理可得x?2c?cos6=(2c)2+x2-(2a-x)2,

,2,2

整理得x=-------———,同理可得丁=-----———

a-ccos?a+ccos0

i112a

所以ICF2I+IDF2廠

b2

所以醫(yī)。