第第頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊4.2.1第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)同步訓(xùn)練（含解析）人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊

4.2.1第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)同步訓(xùn)練（原卷版）

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1．已知等差數(shù)列{an}：1,0，－1，－2，…；等差數(shù)列{bn}：0,20,40,60，…，則數(shù)列{an＋bn}是()

A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為20的等差數(shù)列

C．公差為－20的等差數(shù)列D．公差為19的等差數(shù)列

2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()

A．5B．8

C．10D．14

3．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()

A．8B．4

C．6D．12

4．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()

A．a(chǎn)1＋a101＞0B．a(chǎn)2＋a101＜0

C．a(chǎn)3＋a99＝0D．a(chǎn)51＝51

5．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()

A．1升D．升

C.升D．升

6．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為________．

7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為________．

8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點在直線x－y＋1＝0上，則an＝________.

9．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.

10．有一批豆?jié){機原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售．甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售．某單位購買一批此類豆?jié){機，問去哪家商場買花費較少．

[B級綜合運用]

11．(多選)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題，正確的是()

A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列

C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列

12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|m－n|＝()

A．1D．

C.D．

13．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，則a7＋a9＝________，若ak＝13，則k＝________.

14．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求數(shù)列{an}的通項公式．

[C級拓展探究]

15．下表是一個“等差數(shù)陣”：

47()()()…a1j…

712()()()…a2j…

()()()()()…a3j…

()()()()()…a4j…

……

ai1ai2ai3ai4ai5…aij…

……

其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．

(1)寫出a45的值；

(2)寫出aij的計算公式，以及2020這個數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個位置．

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4.2.1第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)同步訓(xùn)練（解析版）

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1．已知等差數(shù)列{an}：1,0，－1，－2，…；等差數(shù)列{bn}：0,20,40,60，…，則數(shù)列{an＋bn}是()

A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為20的等差數(shù)列

C．公差為－20的等差數(shù)列D．公差為19的等差數(shù)列

解析：選D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.

2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()

A．5B．8

C．10D．14

解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因為a1＝2，所以a7＝8.

3．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()

A．8B．4

C．6D．12

解析：選A因為a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.

4．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()

A．a(chǎn)1＋a101＞0B．a(chǎn)2＋a101＜0

C．a(chǎn)3＋a99＝0D．a(chǎn)51＝51

解析：選C根據(jù)性質(zhì)得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因為a3＋a99＝2a51＝0，故選C.

5．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()

A．1升D．升

C.升D．升

解析：選B設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則有

即解得則a5＝a1＋4d＝，

故第5節(jié)的容積為升．

6．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為________．

解析：設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，

則

解得或

∴這三個數(shù)為－1,3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21.

答案：－21

7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為________．

解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，

∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.

∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.

答案：1或2

8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點在直線x－y＋1＝0上，則an＝________.

解析：由題設(shè)可得－＋1＝0，即－＝1，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且首項為1，故通項公式＝n，所以an＝n2.

答案：n2

9．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.

解：法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得

a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.

∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．

∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.

法二：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.

10．有一批豆?jié){機原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售．甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售．某單位購買一批此類豆?jié){機，問去哪家商場買花費較少．

解：設(shè)單位需購買豆?jié){機n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元，售價依臺數(shù)n成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列為{an}．

an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，

解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.

當(dāng)購買臺數(shù)小于等于18臺時，每臺售價為(800－20n)元，當(dāng)臺數(shù)大于18臺時，每臺售價為440元．

到乙商場購買，每臺售價為800×75%＝600元．

作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，

當(dāng)n18時，440n<600n.

即當(dāng)購買少于10臺時到乙商場花費較少，當(dāng)購買10臺時到兩商場購買花費相同，當(dāng)購買多于10臺時到甲商場購買花費較少．

[B級綜合運用]

11．(多選)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題，正確的是()

A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列

C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列

解析：選ADan＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正確；

nan＝na1＋n(n－1)d，

∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d與0的大小關(guān)系和a1的取值情況有關(guān)．

故數(shù)列{nan}不一定遞增，B不正確；

對于C：＝＋d，

∴－＝，

當(dāng)d－a1＞0，即d＞a1時，數(shù)列遞增，

但d＞a1不一定成立，C不正確；

對于D：設(shè)bn＝an＋3nd，

則bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.

∴數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列，D正確．

12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|m－n|＝()

A．1D．

C.D．

解析：選C設(shè)方程的四個根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，

再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，

∵a1＝，∴d＝，

∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，

a4＝＋＝，

∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|

＝＝.

13．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，則a7＋a9＝________，若ak＝13，則k＝________.

解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝.

∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，

∴a7＋a9＝，d＝.∴ak－a9＝(k－9)d，

即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.

答案：18

14．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求數(shù)列{an}的通項公式．

解：∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.

∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴a2＝1，故可設(shè)a1＝1－d，a3＝1＋d，

由1－d＋＋1＋d＝，

得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.

當(dāng)d＝2時，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；

當(dāng)d＝－2時，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.

[C級拓展探究]

15．下表是一個“等差數(shù)陣”：

47()()()…a1j…

712()()()…a2j…

()()()()()…a3j…

()()()()()…a4j…

……

ai1ai2ai3ai4ai5…aij…

……

其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．

(1)寫出a45的值；

(2)寫出aij的計算公式，以及2020這個數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個位置．

解：通過每行、每列都是等差數(shù)列求解．

(1)a45表示數(shù)陣中第4行第5列的數(shù)．

先看第1行，由題意4,7，…，a15，…成等差數(shù)列，

公差d＝7－4＝3，則a15＝4＋(5－1)×3＝16.

再看第2行，同理可得a25＝27.

最后看第5列，由題意a15，a25，…，a45成等差數(shù)列，

所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.

(2)該