第第頁2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

2.下列四邊形不是軸對稱的圖形是()

A.菱形B.矩形C.平行四邊形D.圓

3.如圖，平行四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若，則的長為()

A.B.C.D.

4.菱形中，對角線長度分別為和，則菱形的面積是()

A.B.C.D.

5.如圖，一架米長的梯子，斜靠在一堵豎直的墻上，這時梯頂距地面米，若梯子沿墻下滑米，則梯足外滑米．()

A.

B.

C.

D.

6.一直角三角形兩邊分別為和，則第三邊為()

A.B.C.或D.

7.如圖，在矩形中，沿折疊交于，，，則長為()

A.

B.

C.

D.

8.下列說法正確的是()

A.一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線垂直且互相平分的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

9.如圖，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，且兩條對角線的和為，的長為，則的周長為()

A.B.C.D.

10.如圖，在等腰直角中，，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直角邊、上，且，連接、下列結(jié)論：

圖中全等三角形共有三對；

；

三角形的面積等于四邊形面積的倍；

．

其中正確的個數(shù)是()

A.個B.個C.個D.個

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

11.將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為______．

12.把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是______．

13.計(jì)算的結(jié)果為______．

14.若分式有意義，則的取值范圍是．

15.如圖，若菱形的邊長為，其中，則對角線長度為______．

16.如圖，矩形的對角線、相交于點(diǎn)，，，若，則四邊形的周長是______．

17.如圖，在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，，，則平行四邊形的周長是______．

18.如圖，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，高，點(diǎn)是母線上一點(diǎn)且一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短距離是______．

19.已知，在菱形中，，對角線和相交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，連接、，若，則的度數(shù)為．

20.已知：如圖，點(diǎn)在矩形的邊的垂直平分線上，連接、，若，，，則______．

三、解答題（本大題共7小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21.本小題分

先化簡，再求值：，其中．

22.本小題分

如圖，在每個小正方形的邊長均為的方格紙中，有線段和線段，點(diǎn)、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上．

在方格紙中畫出以為一邊的等腰直角，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且為直角；

在方格紙中畫出以為腰的等腰，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為連接，請直接寫出線段的長．

23.本小題分

如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從港口出發(fā)捕魚，甲船以每小時千米的速度沿西偏北方向前進(jìn)，乙船以每小時千米的速度沿東北方向前進(jìn)，甲船航行小時到達(dá)處，此時甲船發(fā)現(xiàn)漁具丟在乙船上，于是甲船立即加速后保持勻速沿北偏東的方向追趕乙船，結(jié)果兩船在處相遇．

求的度數(shù)；

求乙船航行多少小時被甲船追上．

24.本小題分

如圖，在平行四邊形中，連接，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，連接并延長與的延長線交于，連接．

求證：四邊形是平行四邊形；

如圖，若，寫出所有不含邊的等腰三角形．

25.本小題分

愛心企業(yè)要為學(xué)校圖書館提供書籍，計(jì)劃購買科普、文學(xué)兩種書籍若購買本科普書和本文學(xué)書需用元；若購買本科普書和本文學(xué)書需用元．

求每本科普、文學(xué)書各多少元？

愛心企業(yè)決定購買科普、文學(xué)兩種書籍本，總費(fèi)用不超過元，那么最多可以購買多少本科普書？

26.本小題分

我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

寫出你所學(xué)過的四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱______；在平行四邊形，矩形，菱形中選擇

如圖，已知格點(diǎn)小正方形的頂點(diǎn)，，，，請你畫出以上述格點(diǎn)為頂點(diǎn)，、為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形；并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；連接，直接寫出的長度；

如圖，將繞頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)、，，求證：，即四邊形是勾股四邊形．

27.本小題分

如圖，已知：四邊形中，，．

求證：；

如圖，當(dāng)時，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，交于，交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)；

如圖，在的條件下，連接，，，求的長．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，，

，

不能構(gòu)成直角三角形，

故A不符合題意；

B、，

不能構(gòu)成三角形，

故B不符合題意；

C、，，

，

不能構(gòu)成直角三角形，

故C不符合題意；

D、，，

，

能構(gòu)成直角三角形，

故D符合題意；

故選：．

根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．

本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：菱形、矩形、圓能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，

平行四邊形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，

故選：．

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．

3.【答案】

【解析】

【分析】

因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以；又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是的中位線，由，即可求得．

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．還考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半．

【解答】

解：四邊形是平行四邊形，

；

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，

，

故選：．

4.【答案】

【解析】解：菱形的對角線，的長分別為和，

，

故選：．

由菱形的面積公式可求得答案．

本題主要考查菱形的面積，掌握菱形的面積等于兩對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：如圖，

由題意可知，米，，米，

在中，由勾股定理得：米，

在中，米，

由勾股定理得：米，

米．

即梯足外滑米，

故選：．

由勾股定理得米，再由勾股定理得米，即可解決問題．

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出和的長是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：當(dāng)是斜邊時，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是；

當(dāng)是直角邊時，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是．

故選：．

因?yàn)樵诒绢}中，不知道誰是斜邊，誰是直角邊，所以此題要分情況討論．

注意此類題一點(diǎn)要分情況進(jìn)行討論，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解．

7.【答案】

【解析】解：將沿折疊交于，

，，

，

四邊形是矩形，

，，，

，

，

故選：．

根據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：、一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意，

反例：等腰梯形；

B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的平行四邊形是菱形，

對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，不一定是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，

對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：．

由矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

本題考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，，

，，，

，

，

的周長是，

故選：．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，求出的值，代入求出即可．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，注意：平行四邊形的對角線互相平分．

10.【答案】

【解析】解：為等腰直角三角形，為邊的中點(diǎn)，

，，，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

同理可得≌，

圖中全等三角形共有三對，所以正確；

≌，

，

而，

為等腰直角三角形，

，所以正確；

≌，

，

四邊形面積，

，

三角形的面積等于四邊形面積的倍；所以正確；

≌，

，

，

，

，所以正確．

故選：．

先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，則利用“”可判斷≌，接著證明，則可判斷≌，同理可得≌，于是可對進(jìn)行判斷；由≌得到，則可判斷為等腰直角三角形，于是可對進(jìn)行判斷；由于≌得，所以四邊形面積，從而可對進(jìn)行判斷；由于≌，所以，則，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可對進(jìn)行判斷．

本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．

11.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值時，是負(fù)整數(shù)．

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：．

先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案為：．

先化簡二次根式，再合并同類二次根式．

本題考查了二次根式的加減，掌握二次根式的加減法法則是解決本題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：由題意得：，

解得：．

故答案為：．

根據(jù)分式有意義的條件可得，再解即可．

此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為零．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)交于，如圖，

四邊形為菱形，

，，，

而，

為等邊三角形，

，

，

，

故答案為：．

設(shè)交于，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，則可判斷為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，則可得出答案．

本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．

16.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，，，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

又，

四邊形是菱形，

四邊形的周長，

故答案為．

由矩形的性質(zhì)可得，通過證明四邊形是菱形，可求解．

本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．

17.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，，

，

平分，

，

，

，

，

，

平行四邊形的周長是．

故答案為．

首先證明，求出，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

18.【答案】

【解析】解：側(cè)面展開圖如圖所示，

圓柱的底面周長為，

，

，

，

在中，

，

．

故答案為：．

首先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)高，，求出，在中，根據(jù)勾股定理求出的長．

此題主要考查了平面展開圖，以及勾股定理的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是畫出圓柱的側(cè)面展開圖．

19.【答案】或

【解析】解：在菱形中，，對角線和相交于點(diǎn)，

，互相垂直平分，

，

，

當(dāng)點(diǎn)如下圖點(diǎn)所在位置時：

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)如下圖點(diǎn)所在位置時：

，

，

；

綜上：的度數(shù)為或，

故答案為：或．

根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直平分，對角線平分對角進(jìn)行分情況討論即可．

本題考查了菱形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，注意分類討論．

20.【答案】

【解析】解：作于點(diǎn)，作，交的延長線于點(diǎn)，

點(diǎn)在矩形的邊的垂直平分線上，，，，

，，

，，

，

，

，

，

故答案為：．

根據(jù)題意，先作出輔助線，然后根據(jù)勾股定理可以求得和的長，然后即可得到的長．

本題考查矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

21.【答案】解：原式，

，

．

當(dāng)時，原式．

【解析】先根據(jù)分式的運(yùn)算法則對原式進(jìn)行化簡，再把的值代入化簡結(jié)果計(jì)算即可．

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：，，

，如圖所示：即為所求；

，

，，

即為所求，

如圖所示；

由勾股定理得：．

【解析】由勾股定理得出，由勾股定理的定理得出，畫出圖形即可；

由勾股定理得出，由，，得出即為所求；由勾股定理求出即可．

本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行計(jì)算與作圖是解決問題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：如圖：

由題意得：

，，，，

，

，

，

，

的度數(shù)為；

過點(diǎn)作，垂足為，

由題意得：千米，

在中，，

千米，

千米，

在中，，

千米，

小時，

乙船航行小時被甲船追上．

【解析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用平角定義求出，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：千米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】證明：平行四邊形中，是的中點(diǎn)，

，，

，

在和中，

，

≌，

，

又，

即，

四邊形是平行四邊形；

解：四邊形是平行四邊形，，

四邊形是矩形，

，，，

，

所有的等腰三角形為，，舍去等腰三角形邊．

【解析】由已知平行四邊形中，是的中點(diǎn)，可得，，則，所以，再利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得其為平行四邊形；

證得四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，即可得到結(jié)論．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．

25.【答案】解：設(shè)每本科普書元，文學(xué)書元，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：每本科普書元，文學(xué)書元；

設(shè)購買本科普書，則購買本文學(xué)書，

根據(jù)題意得：，

解得：，

的最大值為．

答：最多可以購買本科普書．

【解析】設(shè)每本科普書元，文學(xué)書元，根據(jù)“購買本科普書和本文學(xué)書需用元；購買本科普書和本文學(xué)書需用元”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

設(shè)購買本科普書，則購買本文學(xué)書，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過元，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

26.【答案】矩形

【解析】解：矩形．理由是矩形的對角線等于鄰邊的平方和．

故答案為：矩形；

解：答案如圖所示．或；

證明：連接，

≌，

，，

，

，，

，

，

，

．

即四邊形是勾股四邊形．

只要四邊形中有一個角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平