課后素養(yǎng)落實(二十五)平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知點A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．A，B，C三點共線B．eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))C．A，B，C是等腰三角形的頂點D．A，B，C是鈍角三角形的頂點D[因為eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－2，0)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2，4)，所以eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－4<0，所以∠C是鈍角．]2．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，則四邊形為()A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形D[由題可知eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|，所以四邊形ABCD是平行四邊形，又eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，故四邊形為菱形．]3．已知點A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up8(→))＝λeq\o(CE,\s\up8(→))，其中λ等于()A．2B．eq\f(1,2)C．－3D．－eq\f(1,3)C[如圖所示，由題知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(|\o(BC,\s\up8(→))|,|\o(CE,\s\up8(→))|)＝3，∴eq\o(BC,\s\up8(→))＝－3eq\o(CE,\s\up8(→)).∴λ＝－3.]4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓直徑為()A．4eq\r(3)B．60C．5eq\r(2)D．6eq\r(2)C[∵S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)c·sin45°＝eq\f(\r(2),4)c＝2，∴c＝4eq\r(2)，∴b2＝a2＋c2－2accos45°＝25∴b＝5，∴△ABC的外接圓直徑為eq\f(b,sinB)＝5eq\r(2).]5．若O是△ABC內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，則O為△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心D[如圖，取AB的中點E，連接OE，則eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝2eq\o(OE,\s\up8(→)).又eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up8(→))＝－2eq\o(OE,\s\up8(→)).又O為公共點，所以O(shè)，C，E三點共線，且|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2|eq\o(OE,\s\up8(→))|.所以O(shè)為△ABC的重心．]二、填空題6．已知作用在A(1，1)點的三個力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3，1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點坐標為________．(9，1)[F＝F1＋F2＋F3＝(8，0).又∵起點坐標為A(1，1)，∴終點坐標為(9，1).]7.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝neq\o(AN,\s\up8(→))，則m＋n的值為________．2[∵O是BC的中點，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))).又∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝neq\o(AN,\s\up8(→))，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up8(→)).∵M，O，N三點共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)m＋n＝2.]8．在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))＝3eq\o(CE,\s\up8(→))，則eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝________．－eq\f(1,4)[如圖所示，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AC,\s\up8(→))－\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))2－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)cos60°＝－eq\f(1,4).]三、解答題9．已知長方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E為OC中點，P為AO上一點，利用向量知識判定點P在什么位置時，∠PED＝45°.[解]如圖，建立平面直角坐標系，則C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)，設(shè)P(0，y)，∴eq\o(ED,\s\up8(→))＝(1，3)，eq\o(EP,\s\up8(→))＝(－1，y)，∴|eq\o(ED,\s\up8(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(EP,\s\up8(→))|＝eq\r(1＋y2)，eq\o(ED,\s\up8(→))·eq\o(EP,\s\up8(→))＝3y－1，代入cos45°＝eq\f(\o(ED,\s\up8(→))·\o(EP,\s\up8(→)),|\o(ED,\s\up8(→))||\o(EP,\s\up8(→))|)＝eq\f(3y－1,\r(10)·\r(1＋y2))＝eq\f(\r(2),2).解得y＝－eq\f(1,2)(舍)或y＝2，∴點P在靠近點A的AO的三等分處．10．已知A，B，C是坐標平面上的三點，其坐標分別為A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1).(1)求eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))和∠ACB的大小，并判斷△ABC的形狀；(2)若M為BC邊的中點，求|eq\o(AM,\s\up8(→))|.[解](1)由題意得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，－1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1，－3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，即∠A＝90°.因為|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，所以△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝45°.(2)因為M為BC中點，所以M(2，0).又A(1，2)，所以eq\o(AM,\s\up8(→))＝(1，－2)，所以|eq\o(AM,\s\up8(→))|＝eq\r(12＋（－2）2)＝eq\r(5).11．已知點O在△ABC所在平面上，若eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))，則點O是△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心B[∵eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))，∴(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up8(→))⊥eq\o(CA,\s\up8(→)).同理可證eq\o(OC,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，∴O是垂心．]12．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形B[∵|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|，|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]13．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝5，則AC的長為________．2[因為eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(BD,\s\up8(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up8(→))－\o(AB,\s\up8(→))))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))2－eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))2，又eq\o(BD,\s\up8(→))2＝|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝5，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝5，所以eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→))2＝1，所以|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝2，即AC＝2.]14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝－4，則λ的值為________.eq\f(3,11)[由已知得eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝3×2×cos60°＝3，eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2(eq