第五章圖形變換

重點：掌握二維幾何變換、二維觀察變換、三維幾何變換以及三維觀察變換。

難點：理解常用的平移、比例、旋轉(zhuǎn)變換。課時安排：授課4學(xué)時。10/16/20231第五章圖形變換圖形變換包括二維幾何變換，二維觀察變換，三維幾何變換和三維觀察變換。為了能使各種幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、比例等）以相同的矩陣形式表示，從而統(tǒng)一使用矩陣乘法運算來實現(xiàn)變換的組合，現(xiàn)都采用齊次坐標(biāo)系來表示各種變換。

齊次坐標(biāo)系10/16/20232第五章圖形變換齊次坐標(biāo)系：n維空間中的物體可用n+1維齊次坐標(biāo)空間來表示。例如二維空間直線ax+by+c=0，在齊次空間成為aX+bY+cW=0，以X、Y和W為三維變量，構(gòu)成沒有常數(shù)項的三維平面(因此得名齊次空間)。點P(x、y)在齊次坐標(biāo)系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不為零的比例系數(shù)。所以從n維的通?？臻g到n+1維的齊次空間變換是一到多的變換，而其反變換是多到一的變換。例如齊次空間點P(X、Y、W)對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)是x=X/W和y=Y/W。將通常笛卡爾坐標(biāo)用齊次坐標(biāo)表示時，W的值取1。10/16/20233第五章圖形變換

采用齊次坐標(biāo)系可以將平移、比例、旋轉(zhuǎn)這三種基本變換都以相同的矩陣形式來表示，并統(tǒng)一地用矩陣乘法來實現(xiàn)變換的組合。齊次坐標(biāo)系在三維透視變換中有更重要的作用，它使非線形變換也能采用線形變換的矩陣表示形式。10/16/20234第五章圖形變換10/16/202355.1二維幾何變換

二維幾何變換就是在平面上對二維點的坐標(biāo)進行變換，從而形成新的坐標(biāo)。二維幾何變換主要包括：平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切、仿射和復(fù)合變換。10/16/202365.1.1二維平移變換10/16/202375.1.1二維平移變換如圖所示，它使圖形移動位置。新圖p'的每一圖元點是原圖形p中每個圖元點在x和y方向分別移動Tx和Ty產(chǎn)生，所以對應(yīng)點之間的坐標(biāo)值滿足關(guān)系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩陣形式表示成：［x‘y’］=［xy］+［TxTy］簡記為：P'=P+T，T=［TxTy］是平移變換矩陣(行向量)。10/16/202385.1.1二維平移變換從矩陣形式來看，平移變換是矩陣加法，而比例和旋轉(zhuǎn)變換則是矩陣乘法。若這三種變換都能運用乘法來實現(xiàn)的話，我們就可以實現(xiàn)三種變換的任意組合。為了實現(xiàn)這個目的，一般采用齊次坐標(biāo)系來表示這三種變換，齊次坐標(biāo)系中的平移變換矩陣形式是：

10/16/202395.1.2二維比例變換10/16/2023105.1.2二維比例變換如圖所示，它改變顯示圖形的比例。新圖形p'的每個圖元點的坐標(biāo)值是原圖形p中每個圖元點的坐標(biāo)值分別乘以比例常數(shù)Sx和Sy，所以對應(yīng)點之間的坐標(biāo)值滿足關(guān)系式:x'=x·Sxy'=y·Sy可利用矩陣形式表示成：

10/16/2023115.1.2二維比例變換簡記成p'=P·S，其中S是比例變換矩陣。在齊次坐標(biāo)系中的比例變換矩陣形式是：

10/16/2023125.1.3二維旋轉(zhuǎn)變換10/16/2023135.1.3二維旋轉(zhuǎn)變換二維旋轉(zhuǎn)變換：圖形相對坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)如圖所示，它產(chǎn)生圖形位置和方向的變動。新圖形p'的每個圖元點是原圖形p每個圖元點保持離坐標(biāo)原點距離不變并繞原點旋轉(zhuǎn)θ角產(chǎn)生的，并以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正角度，對應(yīng)圖元點的坐標(biāo)值滿足關(guān)系式x'=xcosθ-ysinθ

y'=xsinθ+ycosθ10/16/2023145.1.3二維旋轉(zhuǎn)變換用矩陣形式表示成簡記為P'=P·R，其中

是旋轉(zhuǎn)變換矩陣。在齊次坐標(biāo)系中的比例變換矩陣形式是：

10/16/2023155.1.4二維對稱變換二維對稱變換（或稱反射變換）是產(chǎn)生物體鏡像的一種變換，該變換實際上是比例變換的幾種特殊情況。

1、以y軸為對稱線的對稱變換

變換后，圖形點集的x坐標(biāo)值不變，但符號相反；y坐標(biāo)值不變。矩陣表示形式為：

10/16/2023165.1.4二維對稱變換

2、以x軸為對稱線的對稱變換

變換后，圖形點集的x坐標(biāo)值不變；y坐標(biāo)值不變，但符號相反。矩陣表示形式為：

10/16/2023175.1.4二維對稱變換

3、以原點為對稱的對稱變換

變換后，圖形點集的x和y坐標(biāo)值不變，但符號相反。矩陣表示形式為:

10/16/2023185.1.4二維對稱變換

4、以直線y=x為對稱線的對稱變換

變換后，圖形點集的x和y坐標(biāo)對調(diào)。矩陣表示形式為：

10/16/2023195.1.4二維對稱變換

5、以直線y=-x為對稱線的對稱變換

變換后，圖形點集的x和y坐標(biāo)對調(diào),但符號相反。矩陣表示形式為：

10/16/2023205.1.5二維錯切變換二維錯切變換：是一種會使物體形狀發(fā)生變化的變換。常用的錯切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值和改變y坐標(biāo)值。/cugFirst/computer_graphics/class/course/5-3-1-a.htm、圖形沿x方向的錯切

10/16/2023215.1.5二維錯切變換數(shù)學(xué)表達式為：x‘=x+SHx·ySHx≠0y’=y矩陣表示為：

10/16/2023225.1.5二維錯切變換

2、圖形沿y方向的錯切

數(shù)學(xué)表達式為:x'=xy'=SHy·x+ySHy≠0矩陣表示為:

10/16/2023235.1.6二維仿射變換二維仿射變換的形式為：x'=axxx+axyy+bx

y'=ayxx+ayyy+by變換的坐標(biāo)x'和y'都是原始坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij和bk是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點映射到有限點的一般特性。平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱和錯切變換是二維仿射變換的特例，任何常用的二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。10/16/2023245.1.7二維復(fù)合變換

二維復(fù)合變換：前面所討論的圖形變換是相對于坐標(biāo)原點或坐標(biāo)軸來進行的。在實際中，常常需要相對于任意點或任意軸來進行變換。為了做到這一點，可通過計算多個基本變換矩陣的乘積來得到總的變換矩陣或稱為復(fù)合變換矩陣，從而實現(xiàn)任意順序的組合變換。常見的組合變換有：10/16/2023255.1.7二維復(fù)合變換

1、繞任意點的旋轉(zhuǎn)繞任意點（或稱基準點）（xr,yr）的旋轉(zhuǎn)：該變換可分成如圖所示的三個步驟來實現(xiàn)

圖形的原始位置10/16/2023265.1.7二維復(fù)合變換（1）平移物體使基準點位置被移到坐標(biāo)原點；

步驟（1）10/16/2023275.1.7二維復(fù)合變換（2）繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)；

步驟（2）10/16/2023285.1.7二維復(fù)合變換（3）平移物體使基準點回到原始位置。

步驟（3）10/16/2023295.1.7二維復(fù)合變換該變換順序的復(fù)合變換矩陣為：

10/16/2023305.1.7二維復(fù)合變換/cugFirst/computer_graphics/class/course/5-3-4-a.htm、相對任意點的比例變換相對任意點（固定點）（xf,yf）的比例變換：該變換可分成如圖所示的三個步驟來實現(xiàn)

圖形的原始位置：10/16/2023315.1.7二維復(fù)合變換（1）平移物體使固定點與坐標(biāo)原點重合；

步驟（1）10/16/2023325.1.7二維復(fù)合變換（2）相對于坐標(biāo)原點的比例變換；

步驟（2）10/16/2023335.1.7二維復(fù)合變換（3）平移物體使固定點回到原始位置。

步驟（3）10/16/2023345.1.7二維復(fù)合變換該變換順序的復(fù)合變換矩陣為

10/16/2023355.1.7二維復(fù)合變換/cugFirst/computer_graphics/class/course/5-3-5-a.htm、矩陣的組合特性即矩陣乘法滿足結(jié)合率，不滿足交換率。在進行連續(xù)變換時一定要按變換次序進行變換矩陣的運算，否則不同次序的變換會產(chǎn)生不同的變換結(jié)果。如下圖所示。

10/16/2023365.2二維觀察變換在實際應(yīng)用中，用戶要求圖形系統(tǒng)具有能從已有的圖形顯示數(shù)據(jù)（對應(yīng)一個完整的圖形）中方便地選出數(shù)據(jù)（對應(yīng)某一區(qū)域的圖形）進行顯示的能力，我們把在用戶坐標(biāo)系中預(yù)先選定的將產(chǎn)生圖形顯示的區(qū)域稱為窗口。同樣，在使用中用戶也要求能控制顯示圖形在顯示屏上的位置和大小，我們把在顯示器坐標(biāo)系中規(guī)定的顯示圖形區(qū)域稱為視口。觀察變換就是把這種用戶坐標(biāo)系中窗口的圖形變換到顯示器的視口中以產(chǎn)生顯示。10/16/2023375.2二維觀察變換10/16/2023385.2二維觀察變換

設(shè)用戶選定的窗口范圍為(wxL,wyL和(wxr,wyr)，視口范圍為(vxLvyL)和(vxr,vyr)。將窗口中的圖形轉(zhuǎn)為視口中圖形的過程：1、先平移窗口使其左下角與坐標(biāo)原點重合；2、再比例變換使其大小與視口相等；3、最后再通過平移使其移到視口位置。窗口中的全部圖形經(jīng)過與此相同的變換后便變換成視口中的圖形了。因此視口變換矩陣是：10/16/2023395.2二維觀察變換10/16/20234