《九章算術(shù)》中的“方程”——基于HPM視角的拓展課（執(zhí)教者：瑞安市曹村鎮(zhèn)中學(xué)鄭鵬）一、教材分析：本節(jié)課源自浙教版七年級(jí)下冊(cè)第2章二元一次方程組第53頁(yè)閱讀材料，這是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二元一次方程組后對(duì)方程內(nèi)容的拓展。學(xué)生在此之前，已經(jīng)有解一元一次方程、二元一次方程組甚至三元一次方程組的經(jīng)驗(yàn)，主要通過加減或者代入消元，但是學(xué)生對(duì)更多元的方程還缺乏經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解比較欠缺。而九章算術(shù)中有豐富的方程應(yīng)用內(nèi)容，包括從“一元”到“五元”的線性方程應(yīng)用，題目來源于生活，應(yīng)用于生活，具有趣味性，是基于HPM視角向?qū)W生作知識(shí)拓展的良好素材。二、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能目標(biāo)：1、了解《九章算術(shù)》的歷史意義、主要內(nèi)容及其獨(dú)特成就，了解古人的算籌技法；2、能利用方程思想解決《九章算術(shù)》中的簡(jiǎn)單方程實(shí)際問題；（二）過程與方法目標(biāo)：1、重點(diǎn)經(jīng)歷二元一次方程組甚至多元線性方程的求解過程，體會(huì)“方程”思想在解決實(shí)際問題中的重要性，再次體驗(yàn)“消元”思想的實(shí)際應(yīng)用。2、讓學(xué)生經(jīng)歷求解《九章算術(shù)》中由“一元”到“五元”的過程，了解線性方程的發(fā)展，體驗(yàn)類比探究的思想。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：1、通過了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的背景和內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生形成正確數(shù)學(xué)史觀。2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，拓寬知識(shí)視野，感受數(shù)學(xué)的悠久歷史，感悟數(shù)學(xué)文化多元性。三、教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：利用二元一次方程組解決《九章算術(shù)》中的簡(jiǎn)單實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：部分題目稍有文言表述，學(xué)生對(duì)題意理解可能稍有困難；數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想方法的滲透四、教學(xué)過程：教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖微視頻引入師：在源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上，中國(guó)古代數(shù)學(xué)一直扮演著一個(gè)重要的角色。今天，讓我們一起穿越歷史，品味中國(guó)古典數(shù)學(xué)的神奇魅力。本節(jié)課的主題就是它——《九章算術(shù)》，在此之前你對(duì)它有所了解么？有哪位同學(xué)可以簡(jiǎn)單談?wù)剢?？生：……師：看來同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解還比較欠缺，那我們通過一段視頻深入了解一下。（微視頻，下附微視頻講稿）“《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，其作者已不可考。一般認(rèn)為它是歷經(jīng)各代數(shù)學(xué)家的增補(bǔ)修訂，最后成書于東漢前期（公元1世紀(jì)左右），現(xiàn)今流傳的大多是在三國(guó)時(shí)期（魏元帝景元四年(公元263年)），劉徽為《九章算術(shù)》所作的注本。劉徽（225～295），山東鄒平縣人，魏晉時(shí)偉大數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一，著有《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》。它是中國(guó)古代《算經(jīng)十書》(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書)中最重要的一種，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系?！毒耪滤阈g(shù)》因其內(nèi)容有九卷而得名，全書共收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活有聯(lián)系的實(shí)際問題，這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股這九個(gè)章節(jié)?！毒耪滤阈g(shù)》確定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架，此外它在數(shù)學(xué)上還有獨(dú)到的成就，比如在“方田”章中最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)，“盈不足”的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造，在“方程”章中首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則，開創(chuàng)世界數(shù)學(xué)史先河。可以說，《九章算術(shù)》是中國(guó)為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的杰出貢獻(xiàn)?！皵?shù)學(xué)來源于生活，而應(yīng)用于生活。我們最近已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)方程的一些內(nèi)容，下面我們就運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，品味幾道原汁原味的九章算術(shù)中的方程問題。由于學(xué)生基本都是初次接觸《九章算術(shù)》，本環(huán)節(jié)采用“附加式”的形式，通過微視頻生動(dòng)形象、快速高效對(duì)九章算術(shù)的背景和內(nèi)容作簡(jiǎn)介，引出本節(jié)主題——九章算術(shù)中的“方程”合作探究問題一：（盈不足問題）今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數(shù)、物價(jià)各幾何？師：這里的“盈”和“不足”指的是什么意思？生：“盈”指的是多余，“不足”指的是還不夠。師：沒錯(cuò)，它實(shí)際上就表示一對(duì)具有相反意義的量。那這個(gè)題目你會(huì)怎么解決？生1：設(shè)人數(shù)x，物價(jià)y，列二元一次方程組師：有不同意見么？生2：設(shè)人數(shù)x，列一元一次方程師：事實(shí)上，大部分的二元一次方程組的問題都可以用一元一次方程來解決，可以相互轉(zhuǎn)化，但是在具體列方程時(shí)，主要依據(jù)方便原則。本題選自第七章“盈不足”的第一題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)，盡管并不是“方程”章的內(nèi)容，但是題目非常經(jīng)典，既可用一元一次方程來解，也可用二元一次方程求解，且難度不大，作為引入二元一次方程組類型一：例題嘗試?yán)}嘗試那對(duì)于這個(gè)牛羊問題，你會(huì)采用什么方法？問題二：（牛羊問題）今有牛六、羊二，直金十一兩；牛二、羊五，直金八兩。問：牛、羊各直幾金？（限時(shí)1分鐘，列出方程）生：設(shè)牛x金，羊y金，列二元一次方程組師：那你覺得這個(gè)題目可以用一元一次方程來解嗎？生：可以，但是那樣太麻煩了。師：所以我們?cè)诳紤]如何設(shè)元列方程的時(shí)候，主要還是遵循方便原則。（限時(shí)1分鐘，求解該方程組）師：請(qǐng)一位同學(xué)來回答一下，你采取的是什么策略？生：利用加減消元，……師：但是老師還看到個(gè)別同學(xué)是這樣做的……，他采用的是什么方法？生：代入消元師：對(duì)于這個(gè)題目，比較兩種解法，你更喜歡哪一個(gè)？為什么？生：加減消元，因?yàn)榇胂藭r(shí)會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)師：所以我們?cè)诮夥匠虝r(shí)，也是遵循方便原則。問題三：（畝產(chǎn)問題）今有甲乙兩塊地共6畝，甲地畝產(chǎn)4擔(dān)糧，乙地畝產(chǎn)3擔(dān)糧，甲地的總產(chǎn)量比乙地總產(chǎn)量多10擔(dān)。問：甲乙兩地面積各多少畝？（限時(shí)3分鐘，列方程求解）師：請(qǐng)一位同學(xué)來闡述一下你的解題過程生：設(shè)甲x畝，乙y畝，列二元一次方程組……師：他采用的是什么方法？那用代入（加減）消元是不是也很方便？這兩種解法，在計(jì)算過程上看似不同，但是它們的本質(zhì)上是一樣的，不管是利用代入還是加減，主要想達(dá)到怎樣的目的？生：實(shí)現(xiàn)消元。本題選自“方程”章中二元一次方程組問題系列的第九題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)。本題在題意理解上難度較小，列方程比較容易，學(xué)生會(huì)非常自然地設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列二元一次方程組。限時(shí)獨(dú)立完成，培養(yǎng)注意力集中，高效學(xué)習(xí)。二元一次方程組類型二：回顧“加減消元法”和“代入消元法”的解題步驟和適用特點(diǎn)。本題是為呈現(xiàn)二元一次方程組類型三而所作的改編補(bǔ)充，同時(shí)也為消元法策略的選擇作為討論材料。二元一次方程組類型三：酌情可考慮補(bǔ)充丟番圖解法設(shè)自主練習(xí)自主練習(xí)自主練習(xí)問題四：（錢數(shù)問題）今有甲乙二人持錢不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半(2/3)而錢亦五十。問甲、乙持錢各幾何？（限時(shí)3分鐘，列方程求解）(利用手機(jī)投屏功能，及時(shí)將學(xué)生解題過程評(píng)價(jià)反饋)師：像這類含有分?jǐn)?shù)的方程，一般我們求解時(shí)會(huì)怎么處理？生：先將其變形，轉(zhuǎn)化為整數(shù)再求解師：沒錯(cuò)，事實(shí)上在古典數(shù)學(xué)中也是類似處理。值得驕傲的是，《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)史中首次系統(tǒng)討論了分?jǐn)?shù)，而本題是則是其中第一個(gè)含分?jǐn)?shù)的方程應(yīng)用。變式：甲得乙7錢，則此時(shí)甲的錢數(shù)是乙的5倍；乙得甲8錢，則此時(shí)乙的錢數(shù)是甲的2倍。問：甲、乙各有多少錢？（限時(shí)3分鐘，列方程求解）(利用手機(jī)投屏功能，及時(shí)將學(xué)生解題過程評(píng)價(jià)反饋)師：在這一方程的計(jì)算過程中，我們進(jìn)行了移項(xiàng)、變號(hào)、加減等運(yùn)算，并且出現(xiàn)了負(fù)數(shù)。在這看似簡(jiǎn)單的過程中，實(shí)則蘊(yùn)含了我們先人的智慧，《九章算術(shù)》是在數(shù)學(xué)史中首次提出負(fù)數(shù)概念，以及加減運(yùn)算法則。我覺著此處應(yīng)該有掌聲！生：掌聲……問題五：（雀燕問題）今有5只麻雀，6只燕子，共重1斤。分別在天平上稱量，麻雀重，燕子輕。將1只麻雀與1只燕子交換，天平恰好平衡。問：1只麻雀、1只燕子各重多少？（1斤=16兩）（限時(shí)2分鐘，列方程）生：設(shè)1只麻雀x兩，1只燕子y兩，列二元一次方程組師：上一條方程容易表示，但是下一條方程有些同學(xué)看一下子不好理解，我們可以通過怎樣的辦法較為準(zhǔn)確地表示？生：可以通過畫圖師：……師：除此之外，對(duì)于本題你是否還有其他解法？生：……生：可以本題選自“方程”章中二元一次方程組問題系列的第十題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)，是首個(gè)含分?jǐn)?shù)系數(shù)的二元一次方程組問題。歸納處理含分?jǐn)?shù)方程一般測(cè)量：“分?jǐn)?shù)化整”“附加式”地補(bǔ)充九章算術(shù)的獨(dú)特成就，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感“順應(yīng)式”地在前題背景下修改題設(shè)。二元一次方程組類型四：（本類型的問題似乎源于古希臘）“附加式”地補(bǔ)充九章算術(shù)的獨(dú)特成就，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感本題選自“方程”章中二元一次方程組問題系列的第九題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)，但原文理解可能稍有困難，故改用現(xiàn)代語言表述。本題有兩種解法，意圖讓學(xué)生體會(huì)其中轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)還滲透解題時(shí)利用畫圖示意的解題技巧。拓展延伸拓展延伸問題六：（程禾問題）（列方程）3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗。問：上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？師：本題是“方程”章的第一題，是本章思想方法的典型體現(xiàn)。對(duì)于這個(gè)方程組，你有信心可以解決么？生：可以通過“消元”，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組再解問題七：（畜牧問題）（列方程）五羊、四犬、三雞、二兔直錢一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔直錢九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔直錢八百六十一；問：羊、犬、雞、兔各幾何？師：這個(gè)方程組你有信心可以解決么？生：也一樣，通過消元，先轉(zhuǎn)化為三元一次方程組問題七：（糧食問題）（列方程）麻九斗、麥七斗、菽三斗、苔二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、苔五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、苔六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、苔九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、苔八斗、黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？師：這個(gè)方程組古人成功的將其求解，作為現(xiàn)代人的你，有信心可以解決么？生：也一樣……（不少學(xué)生此時(shí)已經(jīng)表示驚嘆狀）師：我們剛才所列的3元1次方程組，4元1次方程組，5元1次方程組，以及我們之前所列的二元一次方程組，1元1次方程，他們有什么共同特點(diǎn)？生：未知數(shù)的最高次數(shù)都是一次師：沒錯(cuò)，像這一類方程，我們將其統(tǒng)稱為線性方程（組）。值得驕傲的是，早在九章算術(shù)成書時(shí)代，中國(guó)古人以對(duì)較復(fù)雜的線性方程組展開研究，使用直除法求解，類似于現(xiàn)在的加減消元法，這是世界上最早的完整求解線性方程組的方法。而西方直到17世紀(jì)，相關(guān)研究尚處于初級(jí)階段。對(duì)于這些方程組的求解，作為現(xiàn)代人的你有信心可以解決嗎？那古人在做算術(shù)時(shí)又是怎樣求解呢？用到什么工具呢？這里給大家介紹一下古人曾使用的神奇小工具——算籌。（算籌簡(jiǎn)介微視頻）本題選自“方程”章中第一題，翻譯為現(xiàn)代語言，“復(fù)制式”呈現(xiàn)。意圖是在前面二元一次方程組應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，自然地類比延伸到三元一次方程組問題。在解法上也是類比二元一次方程組，凸顯“消元”和“轉(zhuǎn)化”的思想。本題選自“方程”章中四元一次方程組系列第二題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)。意圖由“三元”進(jìn)一步類比延伸到“四元”本題選自“方程”章中五元一次方程組原題，“復(fù)制式”呈現(xiàn)。意圖由“四元”進(jìn)一步類比延伸到“五元”意圖讓學(xué)生感受古人智慧，品味古代數(shù)學(xué)的魅力。歸納總結(jié)，給出線性方程（組）的定義，為以后線性方程，矩陣等內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆?！案郊邮健钡亟榻B九章算術(shù)中對(duì)線性方程的研究概況和卓越成就，培養(yǎng)學(xué)生的歷史自豪感?！案郊邮健钡亟榻B古代算籌的使用，拓展學(xué)生對(duì)古代數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。歸納小結(jié)本節(jié)課你有哪些收獲？引導(dǎo)學(xué)生回顧反思本節(jié)課的知識(shí)，感悟中國(guó)古典數(shù)學(xué)的神奇魅力。五、板書設(shè)計(jì)：《九章算術(shù)》中的“方程”線性方程（組）一元一次方程“盈不足”線性方程（組）二元一次方程……加減消元法代入消元法三元一次方程“燕雀問題”四元一次方程……五元一次方程“牛羊問題”“畝產(chǎn)問題”…………六、作業(yè)布置七（3）班某同學(xué)參加某項(xiàng)測(cè)試，試卷一共10題，答對(duì)1題得4分，不答題得1分，答錯(cuò)得0分。某同學(xué)最終成績(jī)?yōu)?0分。請(qǐng)問他答對(duì)幾道題？未答幾道題？答錯(cuò)幾道題？【設(shè)計(jì)意圖】補(bǔ)充不定方程的應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)二元一次方程有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容作鋪墊。六、教學(xué)反思：將數(shù)學(xué)史恰當(dāng)融入課堂教學(xué)，貼近學(xué)生生活實(shí)際，無疑對(duì)學(xué)生不管是從知識(shí)層面還是情感層面都具有良好的教育意義。本節(jié)課的教學(xué)，就是基于HPM教學(xué)理念展開設(shè)計(jì)。本節(jié)課嘗試?yán)镁耪滤阈g(shù)中的方程內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)重構(gòu)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際有序編排課程內(nèi)容，以線性方程由“一元”到“多元”的變化為主線展開教學(xué)。在引入部分，通過微視頻“附加式”地對(duì)九章算術(shù)作簡(jiǎn)要介紹；在課堂主體探究部分，通過”復(fù)制式“以及”順應(yīng)式“的教學(xué)設(shè)計(jì)，恰當(dāng)呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，突出重點(diǎn)。在有關(guān)二元一次方程組應(yīng)用的重點(diǎn)部分，力圖在呈現(xiàn)歷史上的四類的二元一次方程組應(yīng)用（汪曉勤2007）的同時(shí)，又兼顧到題目難度階梯設(shè)置。在最后嘗試對(duì)線性方程組作簡(jiǎn)要?dú)w納定義，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)埋下一顆種子，靜待發(fā)芽。結(jié)尾部分再次利用“附加式”的微視頻對(duì)古代算籌作簡(jiǎn)要介紹，滲透數(shù)學(xué)文化。因考慮到之前討論的方程中，還獨(dú)缺不定方程，故在最后部分再添加一個(gè)不定方程的問題作為拓展。本節(jié)課的教學(xué)不僅將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，更是利用信息技術(shù)輔助教學(xué)。在開頭跟結(jié)尾部分都使用了微視頻的形式，在課中學(xué)生練習(xí)評(píng)價(jià)反饋的環(huán)節(jié)，更是利用到了手機(jī)投屏，及時(shí)評(píng)價(jià)反饋，從而實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)?？偟膩碇v，本節(jié)課的教學(xué)基本能夠達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，讓學(xué)生重點(diǎn)鞏固二元一次方程組應(yīng)用的同時(shí)，對(duì)方程知識(shí)的前后聯(lián)系都做了進(jìn)一步的拓展。最重要的是，在這一過程中讓學(xué)生親歷求解《九章算術(shù)》這一中國(guó)古代數(shù)學(xué)第一本專著中的經(jīng)典問題，感悟中國(guó)古人的智慧，品味中國(guó)古典數(shù)學(xué)文化魅力。課堂教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)。由于課程