2023—2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)核心素養(yǎng)展示活動(dòng)數(shù)學(xué)（測(cè)試時(shí)間：120分鐘，滿分：120分）溫馨提示：請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡上，不要寫(xiě)在本試卷上．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）1．方程是關(guān)于的一元二次方程，則（）A． B． C． D．2．關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則代數(shù)式的值是（）A．3 B．6 C．10 D．123．矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分對(duì)角4．連續(xù)擲一枚硬幣100次，前99次都是正面向上，則第100次出現(xiàn)正面向上的概率為（）A．1 B． C． D．5．如圖，、分別是的邊、的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為1，那么的周長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．46．在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．不確定7．如圖，在菱形中，已知，，則菱形的周長(zhǎng)是（）A．10 B．12 C．15 D．208．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（）A．0 B．2 C．4 D．69．如圖，在紙片中，，．將紙片沿某處剪開(kāi)，下列四種方式中剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④10．如圖，為正方形對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．結(jié)論：①；②；③；④若，，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分．）11．一元二次方程的根是______．12．在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和5個(gè)白球，它們只有顏色不同，任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)_____．13．已知方程有兩根是和，則______．14．方程配方得到，則______．15．如圖，把兩個(gè)全等的矩形和矩形拼成如圖所示的圖案，則的度數(shù)是______．16．若，設(shè)，原式可化為，即，解得，故的值為3或．仿照上面的方法，計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_____．17．如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，分別取、的中點(diǎn)、，作第一個(gè)矩形內(nèi)接于（四邊形的各頂點(diǎn)均在的各邊上），然后取、的中點(diǎn)、，作第二個(gè)矩形內(nèi)接于，再取、的中點(diǎn)、，作第三個(gè)矩形內(nèi)接于……則第2023個(gè)矩形的面積是______．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答題應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）18．（本小題滿分6分）解方程：．19．（本小題滿分6分）某校七年級(jí)舉行了國(guó)慶手抄報(bào)比賽，七（1）班要從獲得一等獎(jiǎng)的4名學(xué)生作品中選取2份進(jìn)行展覽，已知這4名學(xué)生中，男生和女生各2名，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，求所抽2份作品恰好是來(lái)自1名男生和1名女生的概率．20．（本小題滿分8分）在中，，，點(diǎn)、同時(shí)由、兩點(diǎn)出發(fā)分別沿、方向向點(diǎn)、勻速移動(dòng)（一個(gè)點(diǎn)到達(dá)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)、的速度分別是和．經(jīng)過(guò)幾秒的面積是面積的？21．（本小題滿分8分）圖①，圖②，圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，圖①，圖②，用③中線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)圖，并保留作圖痕跡．（1）在圖①中以為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形（不是矩形），使其面積為12；（2）在圖②中以為對(duì)角線畫(huà)一個(gè)菱形，且點(diǎn)在格點(diǎn)上；（3）在圖③中以為邊畫(huà)一個(gè)矩形，使其面積為10．22．（本小題滿分10分）已知關(guān)于的一元二次方程：．（1）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長(zhǎng)．23．（本小題滿分12分））綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以圍繞以下主題展開(kāi)探究．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，．求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，若，，求線段的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）在中．，，以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，求的長(zhǎng)．24．（本小題滿分12分）活動(dòng)情境：某班在進(jìn)行正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形紙片沿折疊（折痕分別與、交于點(diǎn)、），使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)處，連接與交于點(diǎn)．所得結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1）：甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：甲：四邊形的面積；乙：的邊______；丙：的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；你的任務(wù)：