2023年高考金榜預(yù)測(cè)卷（一）

數(shù)學(xué)（北京卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=3|2,41},8={-2,0,1,2},則403=（）

A.{-2,0}B.{0,1}C.{-2,0,1}{-2,0,1,2}

【答案】A

【詳解】A={xl2v<l}={x|x<0),B={-2,0,1,2},故人。8={-2,0}.

故選：A

【答案】A

故選：A

3.己知圓后:/+〉2-狽-2>-2=0關(guān)于直線/:x-y=0對(duì)稱，則。=（

【答案】B

【詳解】因?yàn)閳A￡/+>2-奴-2丫-2=0的圓心為P1

又因?yàn)閳AE關(guān)于直線/：x-y=o對(duì)稱，即:-1=0,所以。=2

2

故選：B

4.己知函數(shù)/(x)=lg|x|,則/(x)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,”)上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在(0,田)上是減函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在(0,水?)上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在。*?)上是減函數(shù)

【答案】C

【詳解】由已知可得，Ax)的定義域?yàn)椋鹸|x*0｝,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又/(f)=1g|-X|=lg|x|=/(x),所以為偶函數(shù).

當(dāng)X>o,〃x)=lgx,因?yàn)閥=lgx在(0,+8)匕是增函數(shù)，所以“X)在(0,+8)上是增函數(shù).

故選：C.

5.下列區(qū)間中，函數(shù)〃x)=gsinx-cosx單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A

-陷B.加C.(罔D.

【答案】A

【詳解】由題，〃x)=Gsinx-cosx=2sin(x-小，

TTTTTT

令——+2kjr<x——<—4-2k7r,keZ,

262

jr2

則---2%萬KxK—7C4-2攵zr,keZ,

33

jr2

當(dāng)2=0時(shí)，<X<—7T,

33

58

當(dāng)2=1時(shí)，一兀4x4一兀,

33

因?yàn)?o，?g-y.1^,所以(0,是一個(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間，

故選：A

6.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列,且公差不為零,其前〃項(xiàng)和為5“.則"V〃eN’，%>4”是“母｝為

遞增數(shù)列''的().

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】充分性：因?yàn)閿?shù)列SJ是等差數(shù)列，且對(duì)V〃eN*，4u>”“，不妨設(shè)當(dāng)

〃49時(shí)，??<0,此時(shí)S向<S“，并不能推出｛$,｝為遞增數(shù)列,所以充分性不成立;

必要性：因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,由｛SJ為遞增數(shù)列可得：s?+1>s?,

則。向>0對(duì)V〃eN”恒成立，貝!1%>0,因?yàn)楣頳xO,則數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則

必存在使得當(dāng)〃〉左時(shí)，??+1<0,則S.M<S"，不合題意；若d>0,則由%>0且

數(shù)列｛《,｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)V〃eN*,符合題意，也即V〃eN*,ae>〃“，所以

必要性成立，

則“eN-,??+1>4,”是“｛s,,｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件,

故選：C.

7.A,B,C,。四名工人一天中生產(chǎn)零件的情況如圖所示，每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別表

示該工人一天中生產(chǎn)的I型、II型零件數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是()

II型零件數(shù)(件)

A

D

B

C

10

O10I型零件數(shù)(件)

A.四個(gè)工人中，。的日生產(chǎn)零件總數(shù)最大

B.A,a日生產(chǎn)零件總數(shù)之和小于C,。生產(chǎn)零件總數(shù)之和

C.A,8日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和小于H型零件總數(shù)之和

D.A,B,C,。日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和小于H型零件總數(shù)之和

【答案】D

【詳解】解：由題意，結(jié)合圖形知：

對(duì)A：四個(gè)工人，。的橫、縱坐標(biāo)和最大，即日生產(chǎn)零件總數(shù)最大，所以選項(xiàng)A正確：

對(duì)B：A、8的橫、縱坐標(biāo)之和小于C、。的橫、縱坐標(biāo)之和，即A、B的日生產(chǎn)零件總

數(shù)之和小于C、。日生產(chǎn)零件總數(shù)之和，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)C：A、B的橫坐標(biāo)之和小于縱坐標(biāo)之和，即日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和小于H型零件總

數(shù)之和，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)D：A、B、C、。的橫坐標(biāo)之和大于縱坐標(biāo)之和，即日生產(chǎn)I型零件總數(shù)之和大于H

型零件總數(shù)之和，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

3234

8.^(X-1)(X-2)=a?+atx+a2x+a3x+a4x,則％=()

A.5B.-5C.3D.-3

【答案】B

【詳解】(x-l)3(x-2)=(x，-3x?+3x-l)(x-2),則4=-2-3=-5.

故選：B.

9.正方體ABCO-AB|GR的棱長(zhǎng)為2,S是正方體內(nèi)部及表面上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合

T={PeS|AP=l},則T表示的區(qū)域的面積為()

A.4兀B.2兀C.31D.—

2

【答案】D

【詳解】因?yàn)?=1,

所以T表示的區(qū)域?yàn)橐訟為球心，1為半徑的球面位于正方體ABC3-A耳GA的內(nèi)部部

分，

所以T表示的區(qū)域的面積：：x47txl2=4兀.

o2

故選：D.

10.在金C中，AC=BC=l,NC=90。.P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則萬.定的取值范圍是()

【答案】B

【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別為X軸，y軸，建立直角坐標(biāo)系,

則A((),l),3(1,0),直線AB所在直線方程為y=-x+1,

設(shè)P&T+I),問0,1],則麗PC=(-r,r-l),

麗?前二-"17)+?-1)2=2,司

當(dāng)f=0時(shí)，(/冰])=1,當(dāng)t=3時(shí)，(而?無)=」,

\7max4'/ming

故其取值范圍為

故選：B.

第II卷

二、填空題：本題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)+的定義域是.

【答案】（o,i）u（i,+?o

*-1片0

【詳解】由題設(shè)八，故xw（O,l）U（l,”），

[x>0

所以定義域?yàn)椋?,1）=（1，”）.

故答案為：QD-

12.若雙曲線E—y2=]的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為.

m

【答案】y=±6x

則雙曲線的漸近線方程為y=±&.

故答案為：y=±yfix

13.已知數(shù)列A：4,生,…,a”（0444a2V…具有性質(zhì)尸：對(duì)任意i,/（lV4”）,

%+q與%-4.兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng).現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：

①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P；

②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P；

③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,貝Uq=0；

④若數(shù)列4，%，4（0<4<%<華）具有性質(zhì)產(chǎn)，則4+%=2%.

其中所有正確命題的序號(hào)是.

【答案】②③④

【詳解】①數(shù)列0,1,3中，々+%=1+3=4,%-/=3-1=2,都不是該數(shù)列中的數(shù)，

故①不正確；

②數(shù)列0,214,6,（2+0,2—0）,（4+0,4—0）,（6+0,6—0）,（4+2,4—2）,（6+2,6—2）,

（6+4,6-4）這6組數(shù)都滿足%+4和%-q（l<<<J<4）兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一

項(xiàng)，所以數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)尸，故②正確；

③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則4+4=物與4-q,=0兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，

?：0<at<a2...<an,n>3,而2?！安皇窃摂?shù)列中的項(xiàng)，六。是該數(shù)列中的項(xiàng)，

4=0,故③正確;

④,數(shù)列q,a2,%具有性質(zhì)P，0<<7,<a2<,

由③，4+4=%,a,-a,=a3,at+a2=a2,見一4=%都是該數(shù)列中的項(xiàng)，

與4-42至少有一個(gè)是該數(shù)列中的項(xiàng)，

易知4+。3不是該數(shù)列的項(xiàng)，則”3—42是該數(shù)列中的一項(xiàng)，即4-%=4或。2或4，

若°3-%=4，則%=%+%，即%=。2，與％<%矛盾：

若4一“2="2，貝11%=2。2，即4+〃3=2%；

若0,-4=%，則％=°，與4<4矛盾、

綜上，4+%=2%，故④正確.

故答案為：②③④

14.已知函數(shù)f(x)=Gsinx-co?,則//)=;若將f(x)的圖象向左平行移動(dòng)2個(gè)

單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象，則g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為.

【答案】1(0,0)(答案不唯一)

【詳解】/(x)=>^siiiY_cosx=2sin(x-f,

所以/圖=2s陪圖=1,

將“X)的圖象向左平行移動(dòng)夕個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(X)的圖象，

6

則g(x)=2sin^x+^-^=2sinJC,

所以g(x)的對(duì)稱，I'心為伏》,0).

故g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(0,0).

故答案為：1:(0,0)(答案不唯一).

爐\X'>CI

1|：［二［Ka，當(dāng)4=0時(shí)，/(x)的值域?yàn)?；?(X)的最小值

為1,則〃的取值范圍是.

【答案】(一1,伊)：［&,+?>).

,、_1,x>0

【詳解】若4=0,則“X=?-―，

當(dāng)x>o/(x)=<-1單調(diào)遞增,所以/(@>〃0)=—1；

當(dāng)x40j(x)=|x-l|=l-x單調(diào)遞減,所以/(x)可(0)=1.

故“X）的值域?yàn)椋?1,內(nèi)）.

當(dāng)4=0時(shí)，“X）的值域?yàn)椋═,e）,不符合題意；

當(dāng)。<0時(shí)，/（6=必-1在（4,+0>）上的最小值為_1,不符合題意;

當(dāng)a>0時(shí)，a+\>\,

設(shè)y=d-1與y=|x-a-l|在（1,+8）上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為飛,

X./（6<）=|a-a-l|=l,

當(dāng)0<〃<超時(shí)，由圖象可得/（x）無最小值：

當(dāng)aNx°時(shí)，由圖象可得了（力有最小值/（“）=1,

由d=,可得J?+x-q_2=0，

故可得/二士4+4（。+2）,

02

所以a「+Jl+4（/+2）,B|J（2?+1）2>l+4（a+2）,

2

化簡(jiǎn)得"之2,解得

故答案為：（-1,+8）；［0,+00）,

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖，在銳角中，8==，AB=3#,AC=6,點(diǎn)。在BC邊的延長(zhǎng)線上，且C￡>=10.

4

⑴求NAC3；

（2）求AAC￡）的周長(zhǎng).

【答案】（l）g;（2）30.

【詳解】⑴在中，吟，AB=3瓜,AC=6,

ABAC,故sinZACB=^3=3,|一遭,

由正弦定理可得

sinZ.ACBsinB

AC62

因?yàn)锳ABC是銳角三角形，所以NACB=g.

(2)由(1)得NACB=1,所以NACr?=W-

在AAC￡>中，4c=6,8=10,ZACD=—,

3

所以A￡>=VAC2+CD--2AC-CD-COSAACD=^62+102-2x6xl0x(^-lj=14.

所以AACD的周長(zhǎng)為6+10+14=30.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面48C3是邊長(zhǎng)為2的正方形，P4=2,PAA.AB,

E為8c的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD上一點(diǎn),￡73/平面PAB.

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A。與平面尸所成角的

正弦值.

條件①：AD1PB；

條件②：PC=26.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【詳解】(1)取AO的中點(diǎn)M,易知EMHAB.

p

因?yàn)镋M<z平面PAB,ABu平面上48,所以EMU平面

因?yàn)椤?/平面P/W,即/門)二瓦加苫/七平面“”,

所以平面瓦M(jìn)〃平面A4B.

因?yàn)镸Fu平面EFM，所以〃平面EFM.

因?yàn)镸~u平面E4O，且平面PA￡>n平面尸A8=fl4,所以MF〃尸A.

因?yàn)镸為AO的中點(diǎn)，所以F為尸。的中點(diǎn).

(2)選擇條件①：ADLPB，

因?yàn)榈酌鍭BCO是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以AO1/W.

因?yàn)镻8nA8=8,P8,A8u平面R48,所以">_L平面小8.

因?yàn)锳4u平面P4B,所以A￡>_LF4.

因?yàn)樗訮AAB,A。兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AP為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,0（0,2,0）,E（2,1,0）,F（0,1,1）,

所以蒞=（0,2,0）,亞=（2,1,0）,通=（0,1,1）,

設(shè)平面AEF的法向量為7=（x,y,z）,

n-AE=2x+y=0一

則_，令x=l,得〃=。,?2,2),

n-AF=y+z=0

設(shè)直線AO與平面AEF所成角為6,

則sin*H而林端

故直線與平面AEF所成角的正弦值為|.

選擇條件②：PC=2石，

因?yàn)槿贘.AB，PA=AB=2,所以PB=岳春=2亞?

因?yàn)镻C=2后，8c=2,所以PC?uBC'+PB：

所以3C_LP8,即AZ5_LPB.

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以AD2AB.

因?yàn)镻BC]AB=B,PB,ABu平面的，所以4)_L平面PAB.

因?yàn)锽4u平面所以AD1.R4.

因?yàn)樾LAfi，所以PA4B,A。兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為X,Mz軸建立空間宜角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),￡)(0,2,0),王(2,1,0),手(0,1,1),

所以標(biāo)=(0,2,0),恁=(2,1,0),通=(0,1,1),

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),

n-AE=2x+y=0_

則_-,令x=l,得〃=(1,-2,2),

n-AF=y+z=0

設(shè)直線AZ)與平面A￡F所成角為61,

42

2^33

故宜線A。與平面AEF所成角的正弦值為？.

18.“西電東送”是我國(guó)西部大開發(fā)的標(biāo)志性工程之一，也是我國(guó)實(shí)現(xiàn)全國(guó)電力資源優(yōu)化配

置的一項(xiàng)重要的戰(zhàn)略舉措.某工廠對(duì)同一型號(hào)的20根電纜依次進(jìn)行耐壓測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如

T：

156.0225.5132.0246.7867.986.4610.4125.7150.4117.6

201.9207.2189.8585.8153.1565.4511.0567.0222.3141.5

為了檢驗(yàn)這組觀測(cè)值是否取自于同一總體，可以采用游程檢驗(yàn).設(shè)不，4,L,x“為依時(shí)間

順序連續(xù)得到的一組樣本觀測(cè)值序列.記樣本中位數(shù)為七，把序列中小于，”，的觀測(cè)值替換為

0,大于或等于，”.的觀測(cè)值替換為1,這樣就得到了一個(gè)僅由0和1兩個(gè)元素組成的序列，

其中以0為界的一連串的1或以1為界的一連串的0稱為一個(gè)游程.例如序列010111011

0100,它有5個(gè)0的游程和4個(gè)1的游程，總游程數(shù)為9.當(dāng)總游程數(shù)過小或過大時(shí)，可以

認(rèn)為這組數(shù)據(jù)受到非隨機(jī)因素的干擾，反之則可以認(rèn)為這組數(shù)據(jù)是隨機(jī)取自于同一個(gè)總體.

(1)求這組數(shù)據(jù)0的游程數(shù)；

(2)已知總游程數(shù)R滿足P(RW6)=P(RN16)=0.025,則是否有95%的把握認(rèn)為這20根電

纜是隨機(jī)取自于同一總體？

(3)使用總游程數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)有什么優(yōu)缺點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明.

【答案】(1)7；

(2)有95%的把握認(rèn)為這20根電纜是隨機(jī)取自于同一總體；

(3)詳見解析.

【詳解】(1)這組觀測(cè)值的中位數(shù)是叫=g(201.9+207.2)=204.55,

把序列中小于”，■的觀測(cè)值替換為0,大于或等于，"”的觀測(cè)值替換為1,

得到序列01011010000101011110,

其中0的游程數(shù)為7；

(2)這組觀測(cè)值的總游程數(shù)為13,

由題設(shè)知P(6</?<16)=0.95,

因此有95%的把握認(rèn)為這20根電纜是隨機(jī)取自于同一總體；

(3)由題可知使用總游程數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)：操作容易，計(jì)算量小，不受總體分布的限制;

缺點(diǎn)：對(duì)樣本信息使用不充分，游程的取值為整數(shù)，易產(chǎn)生誤差.

19.已知橢圓C：4+4=1(a>b>0)的離心率為正，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為6,F},

ab2

尸2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)尸為橢圓C上一點(diǎn)，M(1,O).若歸周，川尸叫，儼周成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)2的范圍.

【答案】⑴《+丁=1(2)設(shè)已指

4L3」

【詳解】⑴由題意“212，匕2=：

C+/?■=a[b

2b+2a=6

——+y2=1,

4

故橢圓C的方程為E+y2=L

4

(2)設(shè)P(x,y),xe[-2,2]

?」P制,川產(chǎn)“|,|P閭成等差數(shù)列

/.2A\PM\=\PFf\+\PF2\^2a=4

2=2=2=2

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+sinx.

⑴求曲線＞=f(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

⑵求函數(shù)fM在區(qū)間11,e|上的最小值：

(3)證明函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】⑴(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

⑵/⑴=sin1

(3)見解析

【詳解】(1)/(x)=lnx+sinx的定義域?yàn)?0,+巧,

故/'*)=，+cosx,/(l)=sinl,/,(l)=l+cosl,

X

所以曲線y=,f(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為：y-sinl=(l+cosl)(x-l),

化簡(jiǎn)得：(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

(2)令g(x)=r(x)=Lcosx,g［x)=--V-sinx,

當(dāng)xw［l,e］n寸，g(x)=---sinx<0,

所以g(x)在［Le］匕單調(diào)遞減，.ag(l)=l+cosl>0,

zx112411人

￡(e)=-+cose<-+cos——=-----<0，

v7ee3e2

所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間U,e］存在唯一的a,使g(a)=r(a)=0

又當(dāng)時(shí),g(x)=ff(x)>0；當(dāng)x?a,e)時(shí)，g(x)=ff(x)<0；

所以在x?l,a)上單調(diào)遞增，在x?a,e)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?⑴=lnl+sinl=sinl,/(e)=Ine+sine=l+sine>/(l),

所以函數(shù)fM在區(qū)間［Le］上的最小值為了⑴=sin1.

(3)/(x)=lnx+sinx,XG(0,+OO),

若。<xWl,/r(x)=-+cosx>0,

x

所以/(*)在區(qū)間(0/上單調(diào)遞增，又/(l)=sinl>0,j=-l+sing<0,

結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，/(x)在區(qū)間(0,1］有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

若1<》4萬，則lnx>0,sinxN0,則/(x)>0,

若x>〃，因?yàn)閘nx>ln萬>12-sinx,所以〃x)>0,

綜上，函數(shù)f(x)在(0,+8)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

21.已知數(shù)列A：%,a2,?！皾M足：4@{0,1}(i=l,2”,n>2),從A中選

取第4項(xiàng)、第，2項(xiàng)、…、第北項(xiàng)(g2V…<i,",m>2)稱數(shù)列"，”，…，”為A的

長(zhǎng)度為m的子列.記T(A)為A所有子列的個(gè)數(shù).例如A：0,0,1,