第03講立方根1.了解立方根的含義；2.會表示、計算一個數(shù)的立方根，求含參數(shù)的立方根.知識點1：立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點2：立方根的性質注意：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點3：立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【題型1：立方根的概念及性質】【典例1】（2023春?番禺區(qū)期末）立方根為8的數(shù)是（）A．512 B．64 C．2 D．±2【答案】A【解答】解：83＝512，故的立方根是8的數(shù)是512．故選：A．【變式11】（上海）﹣8的立方根是﹣2．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案為：﹣2．【變式12】（2021春?饒平縣校級期末）已知，則的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵，∴1﹣a＝﹣8，a＝9，∴＝＝3，故選：C．【變式13】（2022?龍崗區(qū)模擬）的立方根是（）A．﹣4 B．±4 C．±2 D．﹣2【答案】D【解答】解：∵＝﹣8∴﹣8的立方根是﹣2，∴的立方根是﹣2．故選：D．【題型2：立方根的性質】【典例2】（2023春?凱里市校級期中）若實數(shù)x，y，滿足+（y﹣4）2＝0，則xy的立方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】D【解答】解：∵+（y﹣4）2＝0，∴x+16＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣16，y＝4，∴xy＝﹣64，∴xy的立方根是＝﹣4，故選：D．【變式21】（2022春?東城區(qū)校級期中）已知x，y為實數(shù)，且+（y﹣2）2＝0，則x﹣y的立方根為﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：+（y﹣2）2＝0，∴，解得，∴x﹣y＝﹣6﹣2＝﹣8，﹣8的立方根是﹣2．故答案為：﹣2．【變式22】（2022秋?金水區(qū)校級月考）已知實數(shù)x，y滿足x2﹣4x++4＝0，則yx的立方根是4．【答案】4．【解答】解：∵實數(shù)x，y滿足x2﹣4x++4＝0，∴（x﹣2）2+＝0，∴x﹣2＝0，y+8＝0，∴x＝2，y＝﹣8，∴yx＝（﹣8）2＝64，∴yx的立方根是＝4．故答案為：4．【變式23】（2022秋?渭濱區(qū)校級月考）如果一個有理數(shù)的平方根和立方根相同，那么這個數(shù)是（）A．±1 B．0 C．1 D．0和1【答案】B【解答】解：0的平方根和立方根相同．故選：B．【題型3：開立方運算中小數(shù)點移動規(guī)律】【典例3】（2022秋?射洪市期末）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）【答案】A【解答】解：∵≈2.872，∴約等于28.72．故選：A．【變式31】（2023春?大興區(qū)期末）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）【答案】C【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故選：C．【變式32】（2023春?清豐縣期中）已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，則≈（）【答案】A【解答】解：＝＝×＝10≈2.776×10＝27.76．故選：A．【變式33】（2022春?西湖區(qū)校級期中）已知≈1.2639，≈2.7629，則≈﹣0.12639．【答案】﹣0.12639．【解答】解：∵≈1.2639，∴＝＝×＝﹣×≈﹣0.12639．故答案為：﹣0.12639．【題型4：利用開立方解方程】【典例4】（2022秋?南京期末）求下列各式中x的值：（2x﹣1）3﹣27＝0．【答案】x＝2．【解答】解：（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．【變式41】（2022秋?宿遷期末）解方程：（x﹣3）3﹣27＝0；【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）（x﹣3）3﹣27＝0（x﹣3）3＝27x﹣3＝3∴x＝6；【變式42】（2022春?林州市月考）求下列各式中的x：（x﹣3）3+27＝0．【答案】（2）x＝0．【解答】解：（x﹣3）3+27＝0，x﹣3＝﹣3，x＝0．【變式43】（2022春?曲阜市期中）求式中的x的值：（x+1）3＝﹣9．【答案】（2）x＝﹣4．【解答】解：（x+1）3＝﹣9．（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【變式44】（2023春?大石橋市月考）求符合下列各條件中的x的值．（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64；（3）（x﹣3）2﹣1＝24；（4）（x+2）3＝﹣25．【答案】（1）；（2）x＝1；（3）x＝8或﹣2；（4）x＝﹣7．【解答】解：（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64，x+3＝4x＝1；（3）（x﹣3）2﹣1＝24（x﹣3）2＝25x﹣3＝±5x＝8或﹣2；（4），（x+2）3＝﹣125x+2＝﹣5x＝﹣7．【題型5：平方根與立方根的綜合】【典例5】（2023春?尋烏縣期末）正數(shù)x的兩個平方根分別為3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x這個數(shù)的立方根．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵正數(shù)x的兩個平方根是3﹣a和2a+7，∴3﹣a+（2a+7）＝0，解得：a＝﹣10（2）∵a＝﹣10，∴3﹣a＝13，2a+7＝﹣13．∴這個正數(shù)的兩個平方根是±13，∴這個正數(shù)是169．44﹣x＝44﹣169＝﹣125，﹣125的立方根是﹣5．【變式51】（2022秋?煙臺期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算術平方根．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，∴x﹣2＝4，∴x＝6，∵2x+y+7的立方根是3∴2x+y+7＝27把x的值代入解得：y＝8，∴x2+y2的算術平方根為10．【變式52】（2022秋?永豐縣期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27，∴x＝6，y＝8，∴x2+y2＝100，∴100的平方根為±10．【變式53】（2023春?和平區(qū)期中）已知4是3a﹣2的算術平方根，2﹣15a﹣b的立方根為﹣5．（1）求a和b的值；（2）求2b﹣a﹣4的平方根．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵4是3a﹣2的算術平方根，∴3a﹣2＝16，∴a＝6，∵2﹣15a﹣b的立方根為﹣5，∴2﹣15a﹣b＝﹣125，∴2﹣15×6﹣b＝﹣125，∴b＝37．（2）2b﹣a﹣4＝2×37﹣6﹣4＝64，64的平方根為±8，∴2b﹣a﹣4的平方根為±8【題型6：立方根的應用】【典例6】（2023春?普蘭店區(qū)期中）已知一個正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去8個大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3，問截得的每個小正方體的棱長是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：設截得的每個小正方體的棱長xcm，依題意得1000﹣8x3＝488，∴8x3＝512，∴x＝4，答：截得的每個小正方體的棱長是4cm．【變式61】（2022秋?南崗區(qū)期末）如圖所示的圓柱形容器的容積為81升，它的底面直徑是高的2倍．（π取3）（1）這個圓柱形容器的底面直徑為多少分米？（2）若這個圓柱形容器的兩個底面與側面都是用鐵皮制作的，則制作這個圓柱形容器需要鐵皮多少平方分米？（不計損耗）【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設這個圓柱形容器的高為x分米，則它的底面直徑是2x分米，依題意得πx2×x＝81，解得x＝3，∴2x＝6，答：這個圓柱形容器的底面直徑為6分米；（2）2π×32+2π×3×3＝108（平方分米）．答：制作這個圓柱形容器需要鐵皮108平方分米．【變式62】（2022春?戚墅堰區(qū)校級期末）請根據(jù)如圖所示的對話內容回答下列問題．（1）求該魔方的棱長；（2）求該長方體紙盒的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設魔方的棱長為xcm，可得：x3＝216，解得：x＝6．答：該魔方的棱長6cm．（2）設該長方體紙盒的長為ycm，6y2＝600，y2＝100，y＝10．答：該長方體紙盒的長為10cm．【變式63】（2022春?徐聞縣期中）一個正方體的體積是16cm3，另一正方體的體積是這個正方體體積的4倍，求另一個正方體的表面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：另一個正方體的體積＝4×16＝64cm3，則邊長＝＝4cm，故另一個正方體的表面積＝6×（4×4）＝96cm2．1．（2023?大連）下列計算正確的是（）A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣【答案】D【解答】解：A．（）0＝1，故該選項不正確，不符合題意；B.＝3，該該選項不正確，不符合題意；C.＝2，該該選項不正確，不符合題意；D.×（﹣）＝3﹣，該選項正確，符合題意．故選：D．2．（2023?威海）面積為9的正方形，其邊長等于（）A．9的平方根 B．9的算術平方根 C．9的立方根 D．的算術平方根【答案】B【解答】解：∵正方形的面積為9，∴其邊長＝．故選：B．3．（2023?浙江）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在【答案】A【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，故選：A．4．（2023?郴州）計算＝3．【答案】3．【解答】解：＝3．故答案為：3．5．（2023?邵陽）的立方根是2．【答案】2．【解答】解：＝8，＝2．故答案為：2．1．（2022秋?宜陽縣期末）﹣1的立方根為（）A．﹣1 B．±1 C．1 D．不存在【答案】A【解答】解：因為（﹣1）3＝﹣1，所以﹣1的立方根為﹣1，即＝﹣1，故選：A．2．（2023?茂南區(qū)三模）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8沒有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算術平方根是2【答案】D【解答】解：A、根據(jù)平方根的定義可知4的平方根是±2，該選項不符合題意；B、根據(jù)立方根的定義可知﹣8的立方根是﹣2，該選項不符合題意；C、根據(jù)立方根的定義可知8的立方根是2，該選項不符合題意；D、根據(jù)算術平方根的定義可知4的算術平方根是2，該選項符合題意；故選：D．3．（2023春?曹縣期中）64的立方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】A【解答】解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故選：A．4．（2023春?巴東縣期末）已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵；故選：B．5．（2023春?安慶期末）實數(shù)的算術平方根是（）A．2 B． C．±2 D．±【答案】A【解答】解：∵＝4，∴的算術平方根是：2．故選：A．6．（2023春?費縣期中）已知實數(shù)a，b滿足|a﹣1|+＝0，則（a+b）2023的立方根是﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，|a﹣1|≥0，≥0，∴|a﹣1|＝0，＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，∵﹣1的立方根是﹣1，∴（a+b）2023的立方根是﹣1．故答案為：﹣1．7．（2023春?長春期末）已知一個立方體的體積是27cm3，那么這個立方體的棱長是3cm．【答案】3．【解答】解：∵立方體體積為27cm3，∴這個立方體的棱長為＝3cm．故答案為：3．8．（2023春?民權縣期中）已知4m+15的算術平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，則＝4．【答案】4．【解答】解：∵4m+15的算術平方根是3，∴4m+15＝9，解得m＝﹣，∵2﹣6n的立方根是﹣2，∴2﹣6n＝﹣8，解得n＝，∴＝＝4．故答案為：4．9．（2022秋?鶴壁期末）小明是一個電腦愛好者，他設計了一個程序，如圖，當輸入x的值是64時，輸出的y值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：當x值為64時，取算術平方根得8，取立方根得2，取算術平方根得是，是無理數(shù)，所以輸出的數(shù)為．故答案為：．10．（2023春?崆峒區(qū)校級期中）求下列各式中的x．（1）9x2﹣25＝0．（2）（x+1）3﹣27＝0．【答案】（1）；（2）x＝2．【解答】解：（1）9x2﹣25＝0，∴9x2＝25，∴，∴；（2）（x+1）3﹣27＝0，∴（x+1）3＝27，∴x+1＝3，∴x＝2．11．（2023春?崆峒區(qū)期中）求下列各式中x的值：（1）（x﹣4）2＝9；（2）27x3+8＝0．【答案】（1）x＝7；x＝1；（2）．【解答】解：（1）（x﹣4）2＝9，x﹣4＝3或x﹣4＝﹣3，解得：x＝7或x＝1，（2）27x3+8＝0，，．12．（2023春?射陽縣期末）已知3x+1的平方根為±2，2y﹣1的立方根為3，求的值．【答案】見試題解答內容【解答】