江西省吉安市吉州區(qū)部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期

期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題（每題5分，共40分）

1.如圖，。是全集，集合是集合。的兩個(gè)子集，則圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.A（0B）B.Bn（^A）

C.（疫A）D（-）D＜（AC3）

K答案XB

K解析力依題意，陰影部分所表示的集合中任意元素x必須滿足：xeA且xeB,即

xeeA且xeB,于是得xwBcQ/A）,

所以圖中陰影部分所表示的集合是3c（即A）.故選：B

2.已知W&fC,聞=以21=1,歸+為=\/^,則\_Z2|=（）

A.1B.72C.6D.2

（答案》A

K解析D設(shè)Z]=。+歷/2=c+di，a,b,c,deR,貝i]標(biāo)+/==1①,

4+Z2=(a+c)+(》+d)i,貝U(a+c)2+(6+4=3②，

②-①得，2ac+2M=l,

Z1—z2=(a—c)+(Z?—47)i,

則L—Z2『=(a-c)2+(Z?_d)~-a2+b2+c2+d2-lac-2bd=],

故|馬—Z21=1.故選：A

3.已知［/+元）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.5B.10C.20D.1

（答案》A

K解析》因?yàn)榈恼归_式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,

即(1+1)"=32,所以〃=5.

又c1、

+京J的展開式的通項(xiàng)為北+1

令10—■!「=(),解得廠=4,所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C；=5.

故選：A.

4.己知橢圓C:=+丁2=1(?！?),用居為兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓。上一點(diǎn)，若△「月工的周

a~

長(zhǎng)為4,則。=()

35

A.2B.3C.—D.一

24

K答案UD

K解析工設(shè)橢圓。的焦距為2c,則02+1="，

35

△尸耳工的周長(zhǎng)為2a+2c=4,解得c=—,a=—,

44

故選：D

5.若點(diǎn)1)在拋物線y+p/=0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()

1111

A.y=—B.y=—C.x=—D.x=—

2828

K答案』A

K解析?因?yàn)辄c(diǎn)A(加,—1)在拋物線y+pr=0上，

所以-l+2p=0,得夕=^，

所以拋物線方程為/=—2y,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y=3,

故選：A

7T

6.已知斜三棱柱45044。1所有棱長(zhǎng)均為2,/445=，44。=(,點(diǎn)改/滿足

AE=^AAi,BF=^BC,則網(wǎng)=()

Ai

:E

BF

A.76B.73C.2D.V2

k答案』D

(解析XEF=EA+AB+BF=AB+^AC-AB^-AE

1

=|AB+|AC-1?L41,

7T

斜三棱柱ABC-A4G所有棱長(zhǎng)均為2,/AAB=Z\KC=1.

-21-2121-211

:.EF=-AB+-AC+-A4,+-ABAC——AB.

444月22

A^-^AC-A^=1+1+1+^X2X2X-——x2x2x---X2X2X-=2..-.|EF|=72.

222222?

故選:D.

7.已知等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S,,若一%<%<%，則（）

A.｛4｝為遞減數(shù)列B.｛4｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛，｝有最小項(xiàng)D.數(shù)列｛S“｝有最大項(xiàng)

［答案XC

K解析H設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則qwO,

a,

由一6</可得%>0,又4<%,所以了<1即4<1,又一％<?，

所以一即q>—l,

故等比數(shù)列｛凡｝首項(xiàng)4>0,公比4滿足—1<4<?；颉?lt;4<1，

當(dāng)-1<“<0時(shí)，等比數(shù)列｛4｝為正負(fù)項(xiàng)交替的擺動(dòng)數(shù)列，故不單調(diào)；

當(dāng)0<q<l時(shí)，an+i-an=axq"-\q-\）<G,等比數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，故A,B不正確;

+2

所以當(dāng)—1<4<。時(shí)，由于S“+2—Sn=廣」—q")=q"(1一/),

l—q\)1-q'7

則S1=a[>S3>S5>>,%>>S6>S4>S2=-ba2>0f

1-q1-q一一

此時(shí)數(shù)列｛S〃｝的最小項(xiàng)為$2,最大項(xiàng)為Si；

當(dāng)0<q<l時(shí)，有S"+「S”=4(4"—〃)=4/(lM)=a?'>°，

1-qv)1-q

則數(shù)列｛S“｝為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項(xiàng)S1,無(wú)最大項(xiàng)，故C正確，D不正確.

故選：C.

8.若xe(l,y)時(shí)，關(guān)于x的不等式依—e、<0恒成立，則。的取值范圍為()

(11/1M1]fl

A.I-oo,-B.C.10,-D.I-,e

(答案UB

K解析U由ar"T]nx—e*<0在xe(l,+oo)上恒成立，

可得ax"lnx<xex在尤e(1,+co)上恒成立，

即xaInxa<xex在尤e(1,+℃)上恒成立，

即In<xe"在xe(1,+8)上恒成立，

設(shè)/(x)=xe\則/(In/)</(x)在(1,+8)上恒成立，

又f'(x)=ex+xex=(x+l)er,

所以當(dāng)％<—i時(shí)r(x)<o,當(dāng)％>—i時(shí)r(x)>o,

所以函數(shù)在(f,-1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)無(wú)<0時(shí)，/(X)<0,當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,

當(dāng)aWO時(shí)，由于xe(l,+oo),貝UalnxWO,

此時(shí)/(alnx)WO,/(x)>0,滿足了(Inx")W/(x)在(L+O上恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，由于xe(l,+oo),則aln%>0,

要使f(lnxa)<f｛x)在(1,y)上恒成立，

X

則需In%"<%在(L+0。)上恒成立，即a"：；—在(L+8)上恒成立，

Inx

x，/、In%—1

設(shè)g(x)=^)_,xe(l,+oo),則g(x)=；^"V，

Inxklnx)

易知當(dāng)xe(l,e)時(shí)，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(e,+8)時(shí)，gr(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，

所以gCOmin=g(e)=e,則aVe,

又a>0,所以0<aWe

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,e].

故選：B.

二、多選題(每題5分，共20分)

9.下列計(jì)算正確的是()

C.（sin2x）=2cos2xD.（igx）=一

K答案》AC

K解析UA選項(xiàng)，（。一"）=-e-x?故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，=—J，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，（sin2x）=2cos2x,故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，（igx）=--—，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

、）xlnlO

故選：AC

10.己知數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，且/，%，生成等差數(shù)列，則4=（）

11

A.B.-C.—1D.1

22

k答案1AD

K解析X由題意，出+4=2。4，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得外（l+q）=24/，

由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都不是0,故2才一l_q=o,

即（24+1）（4-1）=0,解得q=—；或q=l.

故選：AD

11.已知/'（力為函數(shù)/（無(wú)）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=/'（x）—1的圖象大致如圖所示，則（

A./（%）有3個(gè)極值點(diǎn)

B.%=-4是/（無(wú)）的極大值點(diǎn)

C.%=0是/（無(wú)）的極大值點(diǎn)

D./（尤）在（0,4）上單調(diào)遞增

k答案IABD

K解析H根據(jù)函數(shù)y=/'(x)—1的圖象可知，

在區(qū)間(—A7),(0,4),/'(力＞0"(力單調(diào)遞增;

在區(qū)間(TO),(4,+8),/'(x)＜O"(x)單調(diào)遞減.

所以/(x)有3個(gè)極值點(diǎn)、尤=T是/(x)的極大值點(diǎn)、“X)在(0,4)上單調(diào)遞增，

尤=0是〃無(wú))的極小值點(diǎn)，

所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD

12.已知等比數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S“，且S2=4%,與是%+1與g%的等差中項(xiàng)，數(shù)列

也｝滿足2=。屋5，數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為北，則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為&=2-3"TB.s“=3"-1

C.數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列D.7；＞|S?+1

(答案』ABD

k解析》由于等比數(shù)列｛%｝前幾項(xiàng)和為S“且$2=4%,

所以6+g=4q，整理得出=3%，所以數(shù)列｛%｝的公比q=3；

由于。2是。1+1與不。3的等差中項(xiàng)，故2%=〃]+1~1--%，

22

9

整理得6〃]=q+1+萬(wàn)q,解得q=2.

故氏=2x3”。故A正確;

所以S“=2X,；1)=3"T，故B正確；

2n1

由于數(shù)列也｝滿足bn=%.S'=2X3"TX(3"—1)=2X3--2x3"、

看二言不為常數(shù)

所以當(dāng)時(shí),

所以數(shù)列也,｝不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤;

7；,=2x(3+33+35++32n-')-2(l+3+32+33++3"-1)

1(1-3")31

=2x-2x=-x9"-3"+-'

1-91-344

11Q1

又5s〃「5（3"+-）=于3<5，

所以北―=-x9"-3"+---x3fl+-=-x（3fl）2--x3n+-

“244224v724

=-[3"--^-->-[3--^—±=0,故D正確.

4（3J34（3）3

故選：ABD

三、填空題（共20分）

13.已知隨機(jī)變量J~N（0,cr2）,且尸621）=0.4,則P（—1WJWO）=.

[答案工0.1

K解析》因?yàn)椤N（0,CT2）,所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為％=0,

因?yàn)镻（JN1）=O.4,所以—1）=04,

所以P（—1W《WO）=P（JWO）—P（JW—1）=0.5—0.4=0」.

故（答案I為：0.1

14.已知數(shù)列｛%｝中，q=3,2=6，4+2=4+1一%，則%02。=.

K答案H-3

k解析U由題意知。3=。2=3,%=。3一。2=—3,

a5=a4—a3=—6,a6=a5—a4=—3,

CL~!—。6—=3,6Zg—Clj—Cl^=6,

“9=4—Q7=3,4o=〃9—4=—3,

易知｛4｝是周期為6的數(shù)列，a2020=a4=-3.

故（答案》為：-3

V-2

15.已知雙曲線。亍y2=i的實(shí)軸端點(diǎn)分別為4，&,點(diǎn)尸是雙曲線上異于4，&另一

點(diǎn)，則尸A與P4的斜率之積為

（答M3-

4

K解析工設(shè)P5,%）,為力0,且①-尤=1,A（-2,0）,4（2,0）,

k=^^-

則kpA、

x0+2'P&x0-2

—%%_4_i

所以kp%,kp&------.-------------=—,

XQ+2XQ—2%Q—44

所以抽與時(shí)的斜率之積為:，故k答粒為《

16.已知。＞0,函數(shù)/（x）=0acosx+e*在（0,+。）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍

為.

,兀9兀

k答案》e4,eT

K解析［函數(shù)〃尤）="zcosx+e、在（0,+“）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

等價(jià)于/'（尤）=—缶sinz+e*=0在（0,+“）上有2個(gè)不同的實(shí)根（變號(hào)），

即g（x）=siiuex的圖象與直線y=看在（0,+。）上有2個(gè)不同的交點(diǎn)（變號(hào)）,

求出（x）=（cosx-sinx）e-^,

當(dāng)工6（2也一彳，2E+：）（左eZ）時(shí)，g'（x）＞0,

當(dāng)xe（2E+?,2碗+苧）（左eZ）時(shí)g'（x）＜0,

所以g（x）在（2E—手，2E+：）（4eZ）上單調(diào)遞增,

在（2E+：,2E+.）（keZ）上單調(diào)遞減.

971?j<g僅］n交泉j（紇片

只需g

41aUJ2y/2a2

「兀9兀,719兀

4

可得e^,e，故K答案』為:近,好

四、解答題（共70分）

17.己知一ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（3,T）,B（6,0）,C（-5,2）.

（1）求邊AC上的高8。所在直線的方程；

（2）求邊AC上的中線BE所在直線的方程.

-4-234

解：（1）由題意得左*=Q且,&c=-1，所以&??=—?

3-(-5)4

4

則邊AC上的高3。所在直線的方程為y=-（x-6）,化簡(jiǎn)得4x—3y—24=0.

（2）由題知AC中點(diǎn)￡（—1,—1）,所以原E=；，

則邊AC上的中線跖所在直線的方程為y=—6）,化簡(jiǎn)得x—7y—6=0.

18.某市為了解該市小學(xué)生在“雙減”政策下課外活動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)抽查了50名小學(xué)生，統(tǒng)

計(jì)了他們參加課外活動(dòng)的時(shí)間，并繪制了如下的頻率分布直方圖，如圖所示.

瀕率

W

0.025-

0.020................L—1

0.015................

0.010........................................

0.005…一?—

0~30506070命命時(shí)間/由鐘

（1）由頻率分布直方圖估計(jì)小學(xué)生課外活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值代替）；

（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：課外活動(dòng)時(shí)間f（分鐘）近似服從正態(tài)分布N（〃,13.42）,

其中〃為樣本中課外活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)用頻率估計(jì)概率，在該市隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記課

外活動(dòng)時(shí)間在（35.7,75.9］內(nèi)的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.1）.

參考數(shù)據(jù)：當(dāng)t服從正態(tài)分布N（〃,b2）時(shí)，P（/z-Cy<r<zz+0-）=0.6827,

P^pi—2（y<t<〃+2cr）=0.9545,P（//—3cr<^<〃+3b）=0.9973.

解：（1）由圖知：平均數(shù)為：

35x0.05+45x0.15+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.1=62.5；

（2）由題設(shè)〃=62.5,b=13.4,則35.7=62.5—2x13.4=//—2cr,

75.9=62.5+13.4=pi+cr,

P（35.7<f<75.9）=P（〃-2。<f<〃+。）=。9545+0.6827=。用186,

由題意知：X-5(10,0.8186),則E(X)=10x0.8186~8.2.

19.如圖，在四棱錐P—A6CD中，K4_L底面ABC。，ABYAD,BC//AD,

PA=AB=BC=2,AD=4,E為棱P￡）的中點(diǎn)，尸是線段PC上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面尸平面Q4B；

（2）若直線B尸與平面ABC。所成角的正弦值為走時(shí)，求平面AE尸與平面ADE夾角

3

的余弦值.

解：（1）因?yàn)锳B_LAD,5C〃AD,則3C_LAB,又B4_L平面ABC。，BCu平面ABCD,

則

而上\AB=A,PA,A3u平面2鉆，因此平面Q45,又BCu平面pBC，

所以平面平面P4B.

（2）因?yàn)镽4J_底面ABC。，ABYAD,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）、8（2,0,0）、。（2,2,0）、￡＞（0,4,0）,￡（0,2,1）、尸（0,0,2）,

設(shè)即=2定=2（2,2,-2）=（2424,-24）,BF=BP+PF=（2A-2,2A,2-22）,其

中0WXW1,

顯然平面ABC。的一個(gè)法向量為a=（0,0,1）,

??\u-BF\2-22Js1

依題意，cos〈",BF〉=J—,==二",解得X=—,

11

|4IBFI72x（2/t-2）+4r2

于是尸為PC的中點(diǎn)，即F（1,1,1）,設(shè)平面AEF的法向量為?n=（x,j,z）,AE=（0,2,1）,

AF=(1,1,1),

m-AE=2y+z=Q/、

則，取y=L得〃z=(l,L-2),

m?AF=x+y+z=O

而平面ADE的一個(gè)法向量為7=（1,0,0）,

\m-n\_1_V6

所以平面AEF與平面ADE夾角余弦值為Icos(m,ri)|=

\m\\n\V66

20.在數(shù)列｛%｝中，生=3,a4+a8=12,且。用=2a“—a”—2）.設(shè)燈為滿足

左＜2‘的/的個(gè)數(shù).

（1）求。2,打的值；

2n-1

（2）設(shè)%=廠廠，數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為7；,對(duì)任意的〃eN+，不等式

brPn+1

3/—4切46（北+1）恒成立，求m的取值范圍.

解：（1）因?yàn)?。?=2q—所以a,+]_a“=%_4T（〃22）,則｛%｝是等差

數(shù)列，

,隆=3fa,+d=3

設(shè)數(shù)列｛2｝的公差為d,由一，則/，解得％=d=l,則a“=〃，

J

'[a4+as=12[2^+lOd=12

因?yàn)?是滿足左＜4W2上的a”的個(gè)數(shù)，所以4=2?—左+1,則打=3,4=6.

2,!-111

（2）由（1）得》一（2"_“+1）（2"+]_九）_2，_,+]—2"+1_“'

（\1\（\n（11）11

則小[一土『士…

設(shè)/■（〃）=2用_〃，則/■（〃+1）_/5）=2"+1_1＞0,即/仇）遞增，故427；=,，

6

因?yàn)閷?duì)任意〃wN+，3m2—4m＜6（7；+1）恒成立，即3根2—4根W6x[，+1]恒成立,

7

整理得3〃/—4m—740恒成立，即（3加—7）（機(jī)+1）＜0恒成立，解得—IV機(jī)V],

-7一

所以加的取值范圍是-.

22

21.己知4（2,0）,3（—2,0）分別是橢圓C：j+2r=l（a〉6〉0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C的

ab

焦距為2.M（3,0）,N[g,。],尸是橢圓C上異于A,2的動(dòng)點(diǎn)，直線PM與C的另一交

點(diǎn)為。，直線PN與C的另一交點(diǎn)為E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：直線的傾斜角為定值.

解：（1）由題意,〃=2,2c=2,c=l,/.b1=a2-c2=3-

22

.??橢圓c的方程為土+乙=1.

43

(2)設(shè)，(4,兀)，￡)(%,%),E(x2,y2),則3x；+4y；=12.

①當(dāng)直線PN的斜率存在時(shí)，其方程為,代入橢圓C的方程,

2

整理得3lx-132巾4

0Xr2-------------=0

33

直線PM的方程為y無(wú)-3),代入橢圓C的方程，

飛-3

整理得［3(%0—3)+4y：卜之—24y"+36y：—12(%—3)=0.

,x+x=24乂24M4立

22

3(X0-3)+4^39-18/6.5-3x0-

71

因此％=々，此時(shí)。軸，即直線。E的傾斜角為

_44

②當(dāng)直線PN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=§,此時(shí)?=耳.

1?_134

上?12-3412-6.5/234

由①知%+々~°，六％=￡°=；=T=^0.

6.5-3x06.5-3x0J2i-gx-3

~2~3

47C

：.x.=x=-,此時(shí)。E_L尤軸，即直線。E的傾斜角為一.