2.2基本不等式

，一，考綱要求

1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.

2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最值問題.

3.理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

4.掌握公式，湊項(xiàng)，湊系數(shù)，分離，常數(shù)代換，換元，平方等方法求解最值.

總?知識(shí)解讀

知識(shí)點(diǎn)①基本不等式

1.基本不等式：y[ab^~^

2.基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

3.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

4.其中皆叫做正數(shù)小〃的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)叫做正數(shù)”，6的幾何平均數(shù).

知識(shí)點(diǎn)②幾個(gè)重要的不等式

1.a2-\rb2>2ah（a,Z?￡R）.

2.,2（。，b同號(hào)）.

\2

a+b

3.ab<（小Z?eR）.

2/

ij2+Z>2(a+b\2

（小〃￡R）.

7

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

知識(shí)點(diǎn)③利用基本不等式求最值

1.己知尤，y都是正數(shù)，如果積盯等于定值P,那么當(dāng)尸），時(shí)，和x+y有最小值2戶.

2.已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積肛有最大值扣.

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等

（1）“一正二定三相等"“一正''就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積

的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求

的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

?題型講解

題型一、基本不等式的理解

例1.下列不等式中，正確的是（）

4

A.a+->4B.a2+b2>4ab

C.y[ab>r~^D.f+乏2立

【答案】D

【解析】。<0，則不成立，故A錯(cuò)；a—1,b—1,a2+b2<4ab,故B錯(cuò)，a—4,6=16,財(cái)屣遂》,

故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確.

例2.若4b>0,則下列不等式成立的是（）

ci+*b1-ci-I-b/—

A.a>b>-2~~B.a>豆~>y[ab>b

a+bi1a+b

C.a>~—>b>y]abD.a>y]ab>~—>b

【答案】B

【解析】>y[ab>y[bl>—b,因此B項(xiàng)正確.

題型二、基本不等式求最值

方法1.直接運(yùn)用

例3.已知x<0,貝!|x+1一2有（）

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為一4D.最小值為一4

【答案】C

【解析】Vx<0,

.,.x+--2=—（-x）d————2<—2—2=—4,當(dāng)且僅當(dāng)一x=」一，即x=—1時(shí)取等號(hào).

X（-X）r

例4.已知。>0,匕>0且。+。=1,則ah的最大值為（）

c.1D.2

【答案】A

【解析】由基本不等式知；^<f—1（當(dāng)且僅當(dāng)。=人=，時(shí)取等號(hào)）,

I2J42

的最大值為?

例5.已知。>0,b>09且〃+2Z?=3a〃，則次?的最小值為（）

8

A.1B.9-

20

D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)閍>0,b>0,且。+2/?=3。人,

28

所以'+2=3,所以3=^+2>2」工，所以而N

9-

baba\ab

J__2

當(dāng)且僅當(dāng)一￡

a+2b=3ab

428

即。=—,匕=一時(shí)等號(hào)成立，故ab的最小值一.

339

方法2.配湊法

29

例6.若啊，則y=3x+l+亞石有（）

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

【答案】C

2

【解析】；.3x—2<0,

99

k3L2+K3=—(2—3x)++3

(2-3x)

9_

<-2l(2-3x)-+3=-3.

(2-3x)

91

當(dāng)且僅當(dāng)2-3尸廠立即L—?時(shí)取“=，，.

例7.(2022?長沙模擬)設(shè)0<x<|,則函數(shù)y=4x(3—2x)的最大值為()

9

A.aB.4

9

C.2D.9

【答案】C

【解析】y=4x(3—2x)=22*(3—2x)w2(2尤+2")=1.

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即時(shí)取等號(hào)，

39

???當(dāng)X=W時(shí)，ymax=2?

例8.3/+孱的最小值是()

A.3y[2—3B.3

C.(A/2D.6^2-3

【答案】D

【解析】3(^+D+-^-j—3>2^/3(J^+D-^-j—3=2^18-3=6^2-3,當(dāng)且僅當(dāng)爐=也一1時(shí)等號(hào)成

立，故選D.

方法3.分離(分式型)

例9.(2022?天津模擬)函數(shù)尸(X+5)(X+2)(Q—])的最小值為.

x+1

【答案】9

【解析】因?yàn)閤>—1,則x+l>0,

所以y=(X+1+4)(X+1+1)

x+1

(x+iy+5(x+l)+4

x+1

4

=(%+1)+7+1+5

>2J(x+1)--^—+5=9,

Vx+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)E=RT即內(nèi)時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)的最小值為9.

"+464+1

例10.若a,bSR,ab>0,則的最小值為.

ab

【答案】4

4

"+4。+1>244/片+i4a2匕2+]=4而+泉2

【解析】因?yàn)獒?gt;0，所以4ab《—4,當(dāng)且僅當(dāng)

4=2外,

事,按=當(dāng)時(shí)取等號(hào),“4+4〃+1

]即“2=故?的最小值是4.

ab=2'ab

方法4.常數(shù)代換（1代換）

22

例11.若x>0,y>0,i.-+-=l,則孫有()

最小值吉

A.最大值64B.

C.最小值1

D.最小值64

【答案】D

28)

【解析】山題意盯=—+—xy=2y+8x>2^2y-8x=3y[xy,即xy有最小值64,等號(hào)成立的條件

Xy)

是x=4,y=16.

21

例12.（2022?重慶模擬）已知a>0,b>0,且a+b=2,貝與+也的最小值是（）

A.1B.2

D.I

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?gt;0,b>0,且〃+。=2,

所以丁=1,

2|1

所以Z+元=，m+b）

照+景句

9

44f

42

---

當(dāng)且僅當(dāng)33等號(hào)成立.

方法5.消元法

例13.（2022?煙臺(tái)模擬）已知x>0,y>0,x+3y+孫=9,則x+3y的最小值為

【答案】6

【解析】方法一（換元消元法）

由已知得9—（x+3y）當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=I時(shí)取等號(hào).

即(x+3y)2+12(x+3y)—108>0,

令x+3y=/,則>0且產(chǎn)+12L108>0,

得侖6,即x+3y的最小值為6.

方法二(代入消元法)

9—3v

由x+3y+xy=9,得不、,

所以x+3y=—+3y=9—3y+3y(l+y)

_9+3.y23(l+y)2—6(l+y)+12

1+yl+y

=3(1+>')+-^-6>2^3(l+y)-^--6

=12—6=6,

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+歷=含12，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào)，

所以x+3y的最小值為6.

131

例14.若實(shí)數(shù)左丁滿足孫+3x=3(0<x<-),則一+^的最小值為________

2xy-3

【答案】8

【解析】???實(shí)數(shù)KN滿足孫+3x=3(0<x<,)，

331

?,?工=-???。<--<->解得y>3.

y+3y+32

31.Icl,

則一+--=y+3+-=y-3+-+6

xy-3y-3y-3

>2(y-3)—l-+6=8,

Vy-3

3

當(dāng)且僅當(dāng)y=4,x=,時(shí)，等號(hào)成立.

例15.(2022?襄陽模擬)若實(shí)數(shù)Q1,號(hào)且x+2y=3,則占+日7的最小值為

【答案】4

【解析】令X—1=肛2>—1=小

貝ijm>0,〃>0且"?+〃=匯-1+2y—1=1,

???-4+42

%—12y—1mn

=2+衛(wèi)+々2+2=4,

mn

當(dāng)且僅當(dāng)'=￡,即〃2=〃=g時(shí)取“=”.

...一\+7~\?的最小值為4.

X-12y—1

方法6.平方

例16.已知x,y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10,求卬=房+，源的最大值.

【答案】2A/5

【解析】：x,y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10,

...儼=3》+2^+2j3x-2yW10+(3x+2y)=20,

55

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y,3x+2y=10,即x=3,y=5時(shí)，等號(hào)成立.

：.W<2y[5,

即W的最大值為2小.

方法7.構(gòu)建目標(biāo)不等式

例17.已知正實(shí)數(shù)左丁滿足(x+3y-l)(2x+y-l)=l,則x+y的最小值是

［答案］上述

5

【解析】

由已知得1>0,y>0,則x+3y-l>-l,2x+y-l>-l,

因?yàn)?x+3y—l)(2x+y—1)=1,所以x+3y-1>。，2x+y—1>0,

因此x+y=[(九+3y—1)+?|(2x++2^-^(x+3y-l)(2x+y-1)+|=拒

2V2

元+3y-1=5/2x=—?—

1?510

當(dāng)且僅當(dāng)g(x+3y—l)=M(2x+y-l),2x+y-l=^即.時(shí),等號(hào)成立;

1372

y=---1-------

510

所以x+y的最小值是3+2收.

5

,1、2y1

例18.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足(x-一)一==，則x+一的最小值為

y%y

【答案】2

【解析】正實(shí)數(shù)x,y滿足［x—工)=上，

+—=y+—>21^.—=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=把等號(hào)成立，

IIyjyx>y%y

1c1

x+->2,故x+一的最小值為2.

y>

題型三、基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例19.某高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)部為了更好的督促本年級(jí)學(xué)生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛護(hù)公物的良好習(xí)慣，

現(xiàn)要設(shè)計(jì)如圖所示的一張矩形宣傳海報(bào)，該海報(bào)含有大小相等的左中右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為

60000cm2,四周空白的寬度為10cm,欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺

寸，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是cnZ

【答案】72600

【解析】設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,

由題意可得3"=60000,

所以"=20000,即羅，

所以該海報(bào)的高為(a+20)cm,

寬為(3〃+l0x2+5x2)cm,即(3b+30)cm,

所以整個(gè)矩形海報(bào)面積

S=3+20)(3。+30)=3"+30“+606+600

(40000、40°0（）“八…

=303+26)+60600=30。+------+60600>30x2a-~~+60600

Ia)

=30x400+60600=72600,

當(dāng)且僅當(dāng)”=也詈，即4=200時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)廣告欄目的高為200cm,寬為100cm時(shí)，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是72600cm%

例20.網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌

行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月

運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3一后.己知

網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨

價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤是萬元.

【答案】37.5

【解析】由題意知—六一1(1令<3),設(shè)該公司的月利潤為y萬元，則尸卜2x150%+工卜一321一3一

f=16x—3=16x—^77^+^—3=45.5—16（3+—<45.5—2^/16=37.5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3"時(shí)取等號(hào)，

即最大月利潤為37.5萬元.

達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

1.已知b>\,則下列不等式中成立的是（）

A.a+T

a-rb

r—r2ab

B.W<a+b

C.yj2a2+2b2<2y[ab

D.。+b<\]2a2-]-2b2

【答案】D

【解析】對于選項(xiàng)A,因?yàn)閎>\,

所以（4+/?）2=屋+2"+招>44/?,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)B,標(biāo)>7、=筌，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

一+工

ab

對于選項(xiàng)C,yj2a2+b2>\j2'x2ab=2y[ab,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)D,2〃2+2b2>a2+2ab+b2=(a+b)2,

所以〃+*、2/+2/?2,故選項(xiàng)D正確.

2.（2022?漳州質(zhì)檢）已知小〃為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是（）

2

A.R里

a+bab

2

C.D22

y[ah-\a+b

【答案】B

【解析】?.Z,。為互不相等的正實(shí)數(shù),

2

2212

------<—，——,<—’

a+b2y[aby[aby/ab"

T12

2ab

.?.最大的是

2

3.已知函數(shù)y=^^y+M2Ql）,則），的最小值為

【答案】I

【解析】V2x>l,：.x~~>Q,

2111

產(chǎn)目+尸二+彳-/5

x~2

=2+二，

113

當(dāng)且僅當(dāng)---[=x-即x=]時(shí)取"=”.

.R的最小值為方

4.己知函數(shù)>=若。<一1）,則（）

A..大用有最小值4

B.y（x）有最小值一4

c.y（x）有最大值4

D.K0有最大值一4

【答案】A

-——1+1

【解析】y=RT=n-

=-（l1+壬）={+1+由-2）

=-(x+l)+——i----1-2.

一(x+1)

因?yàn)閤v—1,所以x+l〈O,—（x+1）>0,

所以這24+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一（x+l）=—5—,即X=—2時(shí)，等號(hào)成立.

-U+1）

故/U）有最小值4.

5.已知x>0,y>0,且2x+8y—孫=0,則當(dāng)x+y取得最小值時(shí)，y等于（）

A.16B.6

C.18D.12

【答案】B

【解析】因?yàn)閤>0,y>O,2x+8y=xy,

9Q

所以>.1,

28

所以x+y=(x+y)+

y

'區(qū)曲=10+2x4=18,

>10+2yx

登

=9x=12,

當(dāng)且僅當(dāng)$〕xBP-時(shí)取等號(hào),

L=6

、2x+8y—xy=O,

所以當(dāng)x+y取得最小值時(shí)，，y=6.

I9

6.已知非負(fù)數(shù)"滿足x+日’則二T+不！的最小值是＜)

A.3B.4

C.10D.16

【答案】B

【解析】由x+y=l,可得x+l+y+2=4,

9

一+—=1(+二)(x+l+y+2)

x+1y+24x+1y+2

y+2?9(x+l))>^(10+2

=-(1+9+=4

4x+1y+2x+ly+2

當(dāng)且僅當(dāng)y+2=3(x+l)取等號(hào).

7.(2020?山東棗莊檢測)已知正數(shù)x,y,滿足沖=1,則M=,的最小值為

1+xl+2y

【答案】2啦一2

【解析】由正數(shù)滿足.=L可得。則M=rh+志;y

1+1l+2y1+yl+2y

'y

y

+=1--------j—>11一3一一，6=2啦-2.當(dāng)且僅當(dāng)y-2，x~

1+2)，(l+y)(l+2y)2y+-+3

2時(shí)，取得最小值2陋一2.

8.設(shè)a,6,c都是正數(shù)，試證明不等式：等+審+片多6.

【答案】見解析

【解析】證明：因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

LL—0+c.c+a,a+b

所以＜十丁+76.

9.某廠家擬在2019年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬

件）與年促銷費(fèi)用〃?（〃20）（單位：萬元）滿足x=3—甘7（攵為常數(shù)），如果不舉行促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的年銷售

m-r1

量是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠

家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,

不包括促銷費(fèi)用）.

（1）將2019年該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù);

（2）該廠家2019年的促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大?

16

【答案】y=~+(m+l)+29("侖0)

m+l

2

【解析】⑴由題意,可知當(dāng)步=°時(shí),x=l,...1=3T,解得-2,...kS-E，

8+16x一

又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5x-「兀,

1.5x^±l^—(8+16x+/〃)=4+8x一機(jī)

X

=4+8|3————m

Im+l

16.八?

----+0+1)+29(加加).

m+1

（2）Vw＞0,3y+（/n+l巨2m=8,當(dāng)且僅當(dāng)言「=膽+1,即,〃=3時(shí)等號(hào)成立,

.??底-8+29=21,...yn10r=21.

故該廠家2019年的促銷費(fèi)用為3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大利潤為21萬元.

*課后提升

a4b

1.已知正數(shù)a/滿足a+b=2,則——+——的最大值是()

a+lb+l

911

A.-B.—

24

7

C.1D.-

3

【答案】B

【詳解】

a4btz+1-14(8+1)-4_.14.

-----+------=----------+—-------——=5-(----+------),

a+lZ?+1a+l/?+1a+lZ?+1

因?yàn)閍+匕=2,所以(a+l)+(b+l)=4,

14114114

因此——+——=—x4?(——+——)=-.[(a+l)+(/l)].(——+——)

a+lb+l4a+lb+l4?+a+lb+l

9

1rub+\4(a+l),1yclb+14(0+1)

一

=--[5+——+———-]>--[5+2J----------——-一4-

4a+1b+l4Vn+1b+l

（當(dāng)且僅當(dāng)2±1=4（。+1）時(shí)取等號(hào),即6=2a+l時(shí)取等號(hào)，即a=1乃=°時(shí)取等號(hào)）,

a+1b+\33

a4b。+1—1島+4

所以------1------+”0

a+1Z7+1a+l'b+1

2.（多選題）設(shè)a＞l力＞1,且出＞—（a+Z?）=1,那么（）

A.a+Z＞有最小值2（0+1）B.a+b有最大值（女+1『

C.a6有最大值3+2&D.有最小值3+20

【答案】AD

【解析】解：①由題己知得：",

I2J

故有（a+b）——4（。+/?）—420,

解得。+。22&+2或a+匕4-20+2（舍），

即Q+622及+2（當(dāng)且僅當(dāng)。=力=夜+1時(shí)取等號(hào)），A正確；

②因?yàn)閍+〃之2而，

所以一（4+力）工一—（Q+0）<ab-2>/ab

又因?yàn)槟桃唬ā?2）=1

\<ab-2y[ab=>2<ab-2y[ab+L

2<（V^-1）2=>V^-1>V2

y[ah>42+l^ab>3+2y/2

ah有最小值3+20D正確.

3.已知x>0,y>0,x+2y=3,則-----乙的最小值為（）

孫

A.3-272B.2及+1C.V2-1D.72+1

【答案】B

【解析】已知x〉0,y>0,x+2y=3,

則上包=正￡包=年包包」+1+空,2歸藥+1=2夜+1,

xyxyxyyx'yx

當(dāng)且僅當(dāng)f=2y2時(shí)，即當(dāng)*=3&-3,且y=?乎，等號(hào)成立，

Jf?+3V

故----的最小值為1+2及，

孫

4I

4.若mb,c都是正數(shù)，且。+8+c=2,則的最小值是_________.

。十1b+c

【答案】3

【解析】???〃，b,c都是正數(shù)，且a+b+c=2,...a+b+c+l=3,且。+1>0,匕+的...?2+4；=4m

+1+%+。)(