2021-2022學年高一數(shù)學單元復習過過過【真題模擬練】

第13章立體幾何初步

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2&C.4D.4&

【答案】B

【解析】由題意，設母線長為/,

因為圓錐底面周長即為側面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側面展開圖半圓的半徑，

則有2兀?>/2=兀.I，解得I=2>/2.

所以該圓錐的母線長為2夜.

故選B.

2.（2021?新高考H）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜

止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000b”（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的

距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑『為6400初?的球，其上點A的緯度是指。4與赤道平面所成角

的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為c,該衛(wèi)星信號覆蓋

地球表面的表面積S=2%，（i-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，

地球靜止同步軌道

640()R

則。尸=36000+6400=424000,那么cosa=-----=—；

4240053

|J星.信號蒞蓋的地球表面面積S=23（1-cosrz），

那么，S占地球表面積的百分比為2萬廠（1-尸a）=曳-42%.

4萬產(chǎn)106

故選C.

3.（2021?新高考H）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+12百B.28&C.—D.

33

【答案】D

【解析】一：如圖ABCO-ABCA為正四棱臺，AB=2,A4=4,AX,=2.

4—9

在等腰梯形A蜴區(qū)4中，過A作AE_LA4，可得AE=-y-=l,

連接AC,AG，

AC=>4+4=2五,AG=J16+16=40,

過A作AG_LAG，.G=2=&'

AG=7M2-4G2=V4^2=V2,

二正四棱臺的體積為：

..s上+打+Js上?s下

V=----------------------xh

3

2222

2+4+V2X4；；

3

28應

3

解法二：作出圖形，連接該正四棱臺下下底面的中心，如圖,

?.?該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,

該棱臺的記/I="2-（2夜-3）2=O,

下底面面積，=16,上底面面積邑=4,

則該棱臺的體積為：

V=1/?(S,+S2+=1x72x(16+4+V64)=.

故選D.

4.（2021?甲卷）已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC_L3C,AC=BC=\,則三

棱錐O-ABC的體積為（）

A.也B.3C.克D.走

121244

【答案】A

【解析】因為AC_L8C，AC=BC=l,

所以底面ABC為等腰直角三角形,

所以AABC所在的截面圓的圓心。為斜邊的的中點,

所以oqJ,平面ABC,

_________G

在RtAABC中，ABMJACRBC2=近,則A?=J,

2

_________&

在RtAAOO,中，0?=yjOA2-AO：=%,

故三棱錐O—ABC的體積為丫=，5.撫,04=1xlxlxlx^=^.

故選A.

5.（2022?上海）上海海關大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側面,

則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【解析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，

每天0點至12點（包含。點，不含12點），

相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2,

故選B.

6.（2020?新課標I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱

錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正

方形的邊長的比值為（）

石一15/5-1書+1

【答案】C

【解析】設正四棱錐的高為/?,底面邊長為。，側面三角形底邊上的高為〃,

h2=-ah'

2

則依題意有：

因此有川-（4）2=Lw=4（幺）2-2（幺）-1=0=幺=且里（負值二歷4舍去）；

22aaa44

故選C.

7.（2020?新課標I）已知A,B,C為球O的球面上的三個點，。01為AA8C的外接圓.若。01的面積為

4萬，AB=BC=AC=OO、,則球O的表面積為（）

A.64%B.48乃C.36幾

【答案】A

【解析】由題意可知圖形如圖：OQ的面枳為4萬，可得94=2,則

3AQ=A8sin60。，-AO.=—AB,

21212

:.AB=BC=AC=OOi=2日

外接球的半徑為：R=QAO：+OOI2=4,

球O的表面積：4xzrx42=M/r.

故選A.

8.（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為三勺，兩個圓錐的

3

高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.34B.4%C.94D.124

【答案】B

【解析】如圖，設球O的半徑為R，由題意，-^=—,

33

可得火=2,則球O的直徑為4,

?.?兩個圓錐的高之比為1:3,BO、=3,

由直角三角形中的射影定理可得：產(chǎn)=1x3,即r=6.

這兩個圓錐的體積之和為V=g;rx(G)2x(l+3)=47.

故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(2022?湛江二模)在正方體A8CQ—AgG〃中，點E為線段上的動點，則()

A.直線Z)E與直線AC所成角為定值

B.點E到直線的距離為定值

C.三棱錐E-A8。的體積為定值

D.三棱錐E-AB。外接球的體積為定值

【答案】AC

【解析】對于A：易證ACJ_平面。48。，又。Eu平面。蜴8￡),.?.ACLDE,.?.直線QE與直線AC所

成角為定值90。，故A正確；

對于3：當E在"時，AR的長為點E到4B的距離，當E在與時，8耳的長為點E到的距離，故B

錯誤；

對于C,設正方體的棱長為1,因為耳OJ/BO，BQJ/平面ABO,

所以三棱錐E-AB。的體積等于三棱錐用-ABQ的體積，體積為=所以C正確；

326

對于D,設正方體中心為點O,當點P與耳重合時，三棱錐E-AB。的四個頂點到點O的距離均為日，

當點E移動時，OE的長在發(fā)生變化，故O不再是球心，球的半徑隨E的移動而發(fā)生變化，故。錯誤.

故選AC.

10.(2022?湖南模擬)正方體ABC。-48co的棱長為2,E、F、G分別為8C、CC,>8片的中點.則

()

A.直線RO與直線AF垂直

B.直線AG與平面AE廠平行

C.平面田截正方體所得的截面面積為？Q

2

D.四面體ABCQ與四面體A8C。的公共部分的體積是&

【答案】BCD

【解析】對于A,由〃?！℅C,故宜線￡>13與直線詼所成角為“<,顯然/4尸。工90。，A錯誤;

對于8,如圖所示，取AG的中點。，連接AQ，GQ,

由條件可知：GQ//EF,AQ//AE,且GQnAQ=Q，￡'Fp|A￡=￡,

又G。仁平面AEF，Efu平面44，AQU平面AEF,A￡u平面犯L

.?.GQ//平面AEF,AQ〃平面A?7，又GQ「)AQ=Q，

所以平面AQQ//平面AEF,又因為AtGu平面AGQ,

所以AG〃平面AEF,故B正確；

對于C，因為E,F為BC,CC的中點，所以EF//A￡?

所以A,E,F,。四點共面，所以截面即為梯形AE尸R,

由題得該等腰梯形的上底EF=0,下底AQ=2&,腰長為行，所以梯形面積為故C正確；

四面體A8G。與四面體ABC。的公共部分是以正方體六個表面中心為頂點的正八面體，其棱長為血，

1L4

所以其體積為2xLx(0)2xl=t,。正確；

33

故選BCD.

11.(2021?新高考1)在正三棱柱中，AB=A\=1,點P滿足麗=4阮+〃E瓦,其中/te[0,

1],〃e[0,1],貝D()

A.當;1=1時，△487的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點P,使得Ap，8P

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得A]，平面ABf

【答案】BD

【解析】對于A,當;1=1時、BP=BC+nBBx,即k=〃函'，所以屈//BB；,

故點P在線段CG匕此時△AB/的周長為A4+B/+AP,

當點P為CG的中點時，△AB/的周長為石+&,

當點P在點G處時，△Ag尸的周長為2夜+1,

故周長不為定值，故選項A錯誤;

1

對于3,當〃=1時，BP=ABC+BB},BPBtP=ABC,所以可A//BC,

故點p在線段與G上，

因為線G〃平面4BC,

所以直線3c上的點到平面ABC的距離相等，

又△A8c的面積為定值，

所以三棱錐P-48C的體積為定值，故選項3正確；

B

對于C,當;I=；時;取線段BC,4cl的中點分別為M,M,連結M.M,

因為5戶=g23+〃3瓦，即M戶=所以M戶//8區(qū)，

則點P在線段必“上，

當點尸在M處時，■四8,

又用。10|片8=用，所以L平面BBCC，

又8W|U平面3BCC，所以AM|-L&W|,即APJ.8P,

同理，當點P在M處，\PVBP,故選項C錯誤：

對于D,當"=g時，取C&的中點口，8片的中點O,

因為麗=2^+,西，Q|JDP=2BC,所以赤//BC,

則點尸在線的DR上，

當點P在點R處時，取AC的中點E,連結AE,BE,

因為龐;，平面ACC14，又A￡)1U平面ACGA，所以A〃_L8E,

在正方形ACC0中，A〃_LAE,

又BEplAEnE,BE,AEu平面ABE，

故401.平面ABE,又ABu平面ABE，所以A3J.AR,

在正方體形484A中，A.BA.AB,,

又4。廠Agu平面A8Q,所以AB_L平面A8Q,

因為過定點A與定直線AXB垂直的平面有且只有一個，

故有且僅有一個點P，使得±平面AB.P,故選項D正確.

故選BD.

12.（2022?常德模擬）如圖所示，三棱錐P—yWC中，AC^BC,AC=BC=PC=\,。為線段AB上的

動點（D不與A,B重合），且=則（）

B."PC=45°

C.存在點￡>,使得B4_LBC

D.三棱錐2-BCD的體積有最大值立

24

【答案】ABD

【解析】對于A選項：在三棱錐尸-ABC中，取E4中點E,連接DE,CE,如圖,

因為AC=3C=PC=1,AD=PD,則r>E_L3,CELPA,

而?！阯CE=E,DE,CEu平面CDE,

則有PA±平面CDE，又CDu平面CDE，

所以Q4JLCD,故A正確：

對于3選項：因為AC_LBC,AC=BC=PC=1,則NC45=45。，

又AD=PD,則APCDMAACD,

于是得NE?PC=NC鉆=45。，故8正確；

對于C選項：假設存在點O,使得R4_L8C，由選項A可知，PALCD,又C￡）nBC=C,CD,BCu

平面ABC,

則A4J"平面"C,而ACu平面ABC,于是得線段AC是平面ABC的斜線段PC在平面ABC匕的射影,

必有PC>AC,與AC=PC=1矛盾，所以假設是錯誤的，故。不正確；

對于。選項：令PD=AD=x、（0<x<>/2）,則=令叨與平面ABC所成角為。，0<0?-,

2

因此，點尸到平面ABC的距離〃=PDsin〃=xsin，，而%加=/'COxBDxsin（=三■（血—x）,

A+2

則三棱錐月一8CD的體積，V=xSBCDx/i=^-x（V2-x）sin0?-^-x（^~-）sin^=^-,

當且僅當x=",且。=工時，取等號，

22

所以當O是鉆中點，且P3L平面ABC時，三棱錐P-3CD的體枳取最大值，最大值為也，故。正確,

24

故選ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側面積為.

【答案】4萬

【解析】圓柱的底面半徑為r=l,高為〃=2,

所以圓柱的側面積為5惻=2兀rh=2zrx1x2=4萬.

故答案為：4萬.

14.（2021?甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬，則該圓錐的側面積為.

【答案】39萬

【解析】由圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬，

設圓錐的高為〃，則！X（；TX62）X〃=30;T,解得〃=*,

32

所以圓錐的母線長/=舊1+6?號,

17

所以圓錐的側面積S=7irl=x6x—=39萬.

2

故答案為：39T.

15.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的

一個動點，則A8C的面積的取值范圍為.

【答案】［2,石］

【解析】如圖1,上底面圓心記為O,下底面圓心記為0',

圖1圖2圖3

連接OC，過點C作他，垂足為點

ZjunoC2

根據(jù)題意，AB為定值2,所以SL的大小隨著叫的長短變化而變化，

如圖2所示，當點M與點O重合時，CM=OC=Jf+22=后,

此時SMM取得最大值為g*2x?=逐；

如圖3所示，當點M與點3重合，CM取最小值2,

此時鼠亞取得最小值為gx2x2=2.

綜上所述，S^sc的取值范圍為［2,逐］.

故答案為：［2,6］.

16.（2020?新課標I）如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=6ABA.AC,

AB±AD,ZCAE=30°,則cosN尸CB=

D(P)

【答案】」

4

【解析】由己知得0AB=遍，BC=2,

因為。、E、尸三點重合，所以A￡=A￡>=6，BF=BD=?B=R,

則在AACE中，由余弦定理可得CE2=AC2+AE2-2AC?AE?cosZC4E=1+3-273x—=1,

2

所以CE=CF=1,

RC2_RF21+4-6I

則在ABCF中，由余弦定理得cosNFCB=,°~,

2BC.CF2x1x24

故答為‘

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2021?甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，側面用始B為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和CG的中點，BF工A,B].

（1）求三棱錐尸-￡BC的體積；

（2）已知。為棱A?上的點，證明：BF±DE.

【答案】（1）在直三棱柱43C-A4G中，BBJAB「

又8尸_14耳，BB^BF=B,BB、,3Fu平面BCC百，

_L平面BCC]BI,

?.?A8//AS,

平面8CC4,

:.ABVBC,

又AB=BC,故AC=V?7F=2收，

CE=-\/2=BE,

而側面為正方形，

CF=-CC.=-AB=\,

212

V=-S^EBC-CF=-x-xy/2x^xl=-,即三棱錐F-￡BC的體積為,；

3皿3233

(2)證明：如圖，取BC中點G,連接EG,BtG,設8?0|8/=//，

?.?點E是AC的中點，點G時BC的中點，

:.EG//AB,

EG//AB/1BXD,

；.E、G、用、。四點共面，

由(1)可得/W_L平面8CC4,

.,.EGJ_平面8CC4,

:.BFLEG,

???tanZCBF=—=-,tanZBB,G=—=-,且這兩個角都是銳角，

BC2?網(wǎng)2

4CBF=NBB。,

NBHBi=NBGBi+NCBF=NBGB、+ZBB,G=90°,

：.BF±BtG,

又EGQB,G=G,EG.BQu平面EGBQ,

.?.防，平面EG8Q,

乂DEu平面EGBQ,

：.BFA.DE.

18.(2020?新課標n)如圖，已知三棱柱A8C-ABC的底面是正三角形，側面8片弓。是矩形，M,N分

別為BC,BQ的中點，P為AM上一點.過BQ和。的平面交至于E，交AC于尸.

(1)證明：A4.//MN,且平面AAAW_L平面后80/；

(2)設O為△A4G的中心.若AO=AB=6,AO//平面EBC/，且乙0PN=1,求四棱錐B-EqG廠

【答案】證明：(1)由題意知A4,//Bg//CG，

又?.?側面即C。是矩形且〃，N分別為BC,BQ的中點，

:.MN"BB、,BBt±B,C,,

MN//A4,,MN工BCi,又底面是正三角形,

.-.AMANJ.BC，

XvWQ/W=A/,.iBiGJ■平面A4MN,

EGu平面EB、C\F,

平面AAMN_L平面EB￡F:

解：(2)?.?AO//平面EBCF,AOu平面AAMN,

平面A4WNC平面EgG尸=NP,:.AO//NP,

-,-NO//AP,:.AO=NP=6,

???o為△A4G的中心，

.?.ON=gAC|Sin60o=gx6x*=6，

ON=AP=6

:.AM=?>AP=3>^,

過M作垂足為“，

?.?平面AAMNJ_平面EB|C|尸，平面AAAWC平面E8C1F=NP,MWu平面A4MN,

平面EBCL，

?.?在等邊三角形中空=圾，

BCAM

印—APBC43x6。

即Er=------=---=-=2,

AM373

由(1)可知四邊形E8GF為梯形，

四邊形E^GF的面積為Spq邊形叫G『=g(BC+EF)?NP=1(6+2)X6=24,

?；MP=—AM=_x3超=2上,

33

NMPN=-,MH=MPsmNMPN=2A/3X—=3,

32

?■?VB-EB,C,F=§S四邊形“GF.=gx24X3=24.

?4

B

19.(2020?上海)已知四棱錐尸-ABCD,底面ABCD為正方形，邊長為3,PZU平面A5CZ).

(1)若PC=5,求四棱錐P-ABC。的體積；

(2)若直線4)與3P的夾角為60。，求PD的長.

【答案】（1）PD_L平面，包）_L￡>C.

?.?8=3,;.PC=5,:.PD=4，

2

-"-VP-ABCD=1X3X4=12,

所以四棱錐尸-ABCD的體積為12.

（2）?.?ABC。是正方形，尸￡>_L平面A8a）,

:.BC±PD,BCLCD

又?.?尸。0）。。=。

.?.3CJ_平面PCD

:.BCLPC

?.?異面直線AZ）與PB所成角為60。，BC//AD

二在RtAPBC中，ZPBC=60。，BC=3

故PC=3g

在RtAPDC中，CD=3

:.PD=3五

20.(2019?新課標U)如圖，長方體48CO-ASGA的底面他8是正方形，點￡在棱A4,上，BE±EC,.

(1)證明：平面E4G；

(2)若AE=AE,AB=3,求四棱錐E-3與。。的體積.

【答案】(1)證明：由長方體ABCO-AB|G。，可知

B?_L平面4881A，3Eu平面A，

BtC,±BE,

?1?BE±EC、,&Gn明=G，

r.BEJ"平面EgG：

(2)由(1)知NBEB|=90。，由題設可知RtAABE=RtZ\AB|E,

:.ZAEB=ZAiEBl=45°,.-.AE=AB=3,A4,=2AE=6,

?.?在長方體A8CO-ASG。中，A4,//平面881GC,￡GA4,.M_L平面BgGC,

E到平面B4G。的距離"=A8=3,

.??四棱錐E-BBCC的體積V=gx3x6x3=18.

21.(2022?石嘴山模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC￡＞為矩形，P4_L平面ABCD,AB=PA=l,

AD=2,尸是尸8中點，￡為3c上一點.

(1)求證：AF_L平面P8C：

(2)若三棱錐P-￡)所的體積為正，求CE的長.

【答案】（1）證明：?.,438為矩形，.?.3C_LAB,

又?.?抬_1.平面ABC￡>,:.PAYBC,

.?.8C_L平面PAB,

又「AFu平面上4B,:.BCA_AF-.

又?.,/%=AB,尸為P8的中點，

:.AFVPB,，其尸,平面依。；

（2）解：連接EF，DF