專題05三角形難點(diǎn)題型總復(fù)習(xí)◎題型一三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用1．(2023·安徽合肥·八年級期末）已知的三邊長分別為，，8．(1)求的取值范圍；(2)如果是等腰三角形，求的值．2．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知a，b，c分別為的三邊，且滿足，．(1)求c的取值范圍；(2)若的周長為12，求c的值．3．(2023·黑龍江省八五五農(nóng)場學(xué)校八年級期末）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成15和6兩部分，則BC是多少？4．（2023·江西宜春·八年級期中）已知△ABC三條邊的長分別為：a+3，3a+1，a+5（a為正整數(shù)）．（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三邊的長；（2）若△ABC的三條邊都不相等，求a的最小值．◎題型二：三角形中線的應(yīng)用1．（2023·山西忻州·八年級期末）已知，在等邊三角形中，為邊上的高.操作發(fā)現(xiàn):（1）如圖1，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為.請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)為上任意一點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作，，垂足分別為.判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓廣探索:（3）如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，垂足分別為，探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.2．（2023·全國·八年級單元測試）（1）在中，，，，，，，，則的周長為______.（2）如圖①，在中，已知點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則等于______.

①

②（3）如②圖，三角形的面積為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則四邊形的面積為______.3．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）操作示例：如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1=S2．解決問題：在圖2中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，若△BDE的面積為2，則四邊形ADEC的面積為.拓展延伸：（1）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2CD，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖4，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接BE、CD交于點(diǎn)O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面積為3，則四邊形ADOE的面積為.4．（2023·安徽·八年級期中）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積△ACD的面積．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如圖2，若CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝x，S△AEO＝y(tǒng)由題意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程組為：，解得，通過解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為．（3）如圖3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，請你計(jì)算四邊形ADOE的面積，并說明理由．◎題型三三角形的角有關(guān)難點(diǎn)1．(2023·江西·贛州市贛縣區(qū)教育教學(xué)研究室八年級期末）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．(1)關(guān)于“準(zhǔn)直角三角形”，下列說法：①在中，若，，，則是準(zhǔn)直角三角形；②若是“準(zhǔn)直角三角形”，，，則；③“準(zhǔn)直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）(2)如圖①，在中，，是的角平分線．求證：是“準(zhǔn)直角三角形”．(3)如圖②，、為直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，且．若是上一點(diǎn)，且是“準(zhǔn)直角三角形”，請直接寫出的度數(shù)．2．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，∠A1BC、∠A1CM的角平分線BA2、CA2相交于點(diǎn)A2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度數(shù)是多少，試說明理由；解：（1）結(jié)論：∠A2＝度．說理如下：因?yàn)锽A2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．因?yàn)椤螦1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），（完成以下說理過程）(2)如圖2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分線BA3、CA3相交于點(diǎn)A3，請直接寫出∠A3的度數(shù)；(3)如圖2，重復(fù)上述過程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分線BAn、CAn相交于點(diǎn)An得到∠An，設(shè)∠A1＝θ，請用θ表示∠An（直接寫出答案）3．(2023·全國·八年級課時練習(xí)）小宋對三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．若，直接寫出的度數(shù)；若，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．(2)如圖（2），將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的另一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，求的度數(shù)．4．(2023·全國·八年級課時練習(xí)）閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，中，，、的平分線交于點(diǎn)D，則______．（2）如圖②，五邊形中，，EF平分，平分，若，求的度數(shù)．圖①

圖②專題05三角形難點(diǎn)題型總復(fù)習(xí)◎題型一三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用1．(2023·安徽合肥·八年級期末）已知的三邊長分別為，，8．(1)求的取值范圍；(2)如果是等腰三角形，求的值．答案：(1)2<m<10；(2)6或4【解析】分析：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列不等式組求解；（2）分m+2=2m，m+2=8，2m=8三種情況，分別討論即可求解．(1)解：由題意得，解得2<m<10；(2)解：當(dāng)m+2=2m時，解得m=2（不和題意，舍去）；當(dāng)m+2=8時，解得m=6，符合題意；當(dāng)2m=8時，解得m=4，符合題意；∴如果是等腰三角形，的值為6或4．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，熟記三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知a，b，c分別為的三邊，且滿足，．(1)求c的取值范圍；(2)若的周長為12，求c的值．答案：(1)2<c<6(2)3.5【解析】分析：（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊得出3c-2＞c，任意兩邊之差小于第三邊得出|2c-6|＜c，列不等式組求解即可；（2）由△ABC的周長為12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．(1)∵a，b，c分別為△ABC的三邊，a+b=3c-2，a-b=2c-6，∴，解得：2<c<6．故c的取值范圍為2<c<6；(2)∵△ABC的周長為12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12，解得c=3.5．故c的值是3.5．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．3．(2023·黑龍江省八五五農(nóng)場學(xué)校八年級期末）在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成15和6兩部分，則BC是多少？答案：1【解析】分析：由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=6，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系即可求出底邊．【詳解】解：如圖所示：∵BD是等腰△ABC的中線，可設(shè)AD=CD=x，則AB=AC=2x，∵BD將三角形周長分為15和6兩部分，∴可知分為兩種情況：當(dāng)AB+AD=15，即3x=15時，解得x=5，此時BC=6-x=1，故三角形ABC三邊長為10，10，1，能構(gòu)成三角形；當(dāng)AB+AD=6，即3x=6時，解得x=2；此時BC=15-x=13，故三角形ABC三邊長為4，4，13，不能構(gòu)成三角形；∴BC的長為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義及三角形三邊關(guān)系，注意求出的結(jié)果一定要檢驗(yàn)是否符合三角形三邊性質(zhì)，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·江西宜春·八年級期中）已知△ABC三條邊的長分別為：a+3，3a+1，a+5（a為正整數(shù)）．（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三邊的長；（2）若△ABC的三條邊都不相等，求a的最小值．答案：（1）等腰三角形三邊的長為4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值為3．【解析】分析：（1）由于a+3≠a+5，所以當(dāng)這個三角形是等腰三角形時，分兩種情況進(jìn)行討論：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出關(guān)于a的不等式組求出a的范圍，再根據(jù)三角形的三條邊都不相等，且為正整數(shù)可求a的最大值．【詳解】解：（1）①如果a+3=3a+1，解得a=1，三角形三邊的長為4，4，6，符合三角形三邊關(guān)系；②如果a+5=3a+1，解得a=2，三角形三邊的長為5，7，7，符合三角形三邊關(guān)系．綜上所述，等腰三角形三邊的長為4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值為3．由三角形三邊關(guān)系知，，解得＜a＜7，∵三角形的三條邊都不相等，∴a+3≠3a+1，a+5≠3a+1，∴a≠1，a≠2，∴＜a＜7且a≠1，a≠2，∵a為正整數(shù)，∴a的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，一元一次不等式組的解法，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系．◎題型二：三角形中線的應(yīng)用1．（2023·山西忻州·八年級期末）已知，在等邊三角形中，為邊上的高.操作發(fā)現(xiàn):（1）如圖1，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為.請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)為上任意一點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作，，垂足分別為.判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓廣探索:（3）如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，垂足分別為，探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.答案：（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析.【解析】分析：(1)根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可證明.(2)由題意可得∠BAD=∠CAD=30°,利用30°直角三角形所對的邊是斜邊的一半,即可得出,即可推出.(3)連接,由題意得:,利用三角形的面積公式即可證.【詳解】（1）.根據(jù)三角形的面積公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即:∵△ABC是等邊三角形,即:AB=AC=BC,∴.（2）理由如下：∵為等邊三角形∴∵為邊上的高∴又∵，，∴∴（3）理由如下：如圖，連接，∵為等邊三角形，∴∵為邊上的高，∴∵，，，垂足分別為，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合知識,關(guān)鍵在于靈活利用面積公式.2．（2023·全國·八年級單元測試）（1）在中，，，，，，，，則的周長為______.（2）如圖①，在中，已知點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則等于______.

①

②（3）如②圖，三角形的面積為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則四邊形的面積為______.答案：（1）36（2）2（3）【解析】分析：(1)利用三角形面積公式，求出AB、AC的長，再計(jì)算三角形的周長即可；(2)設(shè)在邊上的高為，則，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義以及線段的和差得出，繼而再根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可；(3)設(shè)，，根據(jù)三角形中線將三角形分成兩個面積相等的三角形可得，從而得，，，，，，利用等高的兩三角形面積之比等于底邊之比分別列出關(guān)于x、y的方程，求出x、y的值即可求得答案.【詳解】(1)，∴，即，∴，，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=36；(2)設(shè)在邊上的高為，則，∵為中點(diǎn)，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∴，∴；(3)設(shè)，，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，∴，∴，，，∴，即，解得，又，，，∴，得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的應(yīng)用，三角形的周長，解題關(guān)鍵在于找出等高的兩三角形面積與底邊的對應(yīng)關(guān)系．3．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）操作示例：如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1=S2．解決問題：在圖2中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，若△BDE的面積為2，則四邊形ADEC的面積為.拓展延伸：（1）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2CD，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖4，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接BE、CD交于點(diǎn)O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面積為3，則四邊形ADOE的面積為.答案：解決問題：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】【詳解】試題分析：解決問題：連接AE，根據(jù)操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，從而得到結(jié)論；拓展延伸：（1）作△ABD的中線AE，則有BE=ED=DC，從而得到△ABE的面積=△AED的面積=△ADC的面積，由此即可得到結(jié)論；（2）連接AO．則可得到△BOD的面積=△BOC的面積，△AOC的面積=△AOD的面積，△EOC的面積=△BOC的面積的一半，△AOB的面積=2△AOE的面積．設(shè)△AOD的面積=a，△AOE的面積=b，則a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到結(jié)論．試題解析：解：解決問題連接AE．∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE=2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四邊形ADEC的面積=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中線AE，則有BE=ED=DC，∴△ABE的面積=△AED的面積=△ADC的面積=S2，∴S1=2S2．（2）連接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面積=△BOC的面積=3，△AOC的面積=△AOD的面積．∵BO=2EO，∴△EOC的面積=△BOC的面積的一半=1.5，△AOB的面積=2△AOE的面積．設(shè)△AOD的面積=a，△AOE的面積=b，則a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四邊形ADOE的面積為=a+b=6+4.5=10.5．4．（2023·安徽·八年級期中）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積△ACD的面積．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如圖2，若CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝x，S△AEO＝y(tǒng)由題意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程組為：，解得，通過解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為．（3）如圖3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，請你計(jì)算四邊形ADOE的面積，并說明理由．答案：（1）＝；（2），20；（3）S四邊形ADOE＝13．理由見解析．【解析】分析：（1）利用三角形的面積公式計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）利用題干所給解答方法解答即可；（3）連接AO，利用（2）中的方法，設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知條件列出方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴，，∴S△ABD＝S△ACD，故答案為：＝；（2）解方程組得，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四邊形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案為：，20；（3）如圖3，連接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，由題意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，可列方程組為：，解得：，∴S四邊形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝13．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，主要考查了三角形的面積公式，等底同高的三角形面積相等，高相同的三角形的面積比等于底的比，二元一次方程組的解法．本題是閱讀型題目，準(zhǔn)確理解題干中的方法并正確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．◎題型三三角形的角有關(guān)難點(diǎn)1．(2023·江西·贛州市贛縣區(qū)教育教學(xué)研究室八年級期末）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．(1)關(guān)于“準(zhǔn)直角三角形”，下列說法：①在中，若，，，則是準(zhǔn)直角三角形；②若是“準(zhǔn)直角三角形”，，，則；③“準(zhǔn)直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）(2)如圖①，在中，，是的角平分線．求證：是“準(zhǔn)直角三角形”．(3)如圖②，、為直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，且．若是上一點(diǎn)，且是“準(zhǔn)直角三角形”，請直接寫出的度數(shù)．答案：(1)①(2)證明見解析(3)當(dāng)，，，時，滿足條件【解析】分析：（1）只要證明，即可判斷．（2）根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義即可判斷．（3）根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的定義，分類討論即可解決問題．(1)①，，，是“準(zhǔn)直角三角形”．故①正確．②三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”，，三角形的第三個角大于，由已知得又，故②錯誤，③正確．②中已經(jīng)證明．故答案為①③．(2)在中，，，是的角平分線，，，是“準(zhǔn)直角三角形”．(3)如圖②中，當(dāng)，，，時，滿足條件，是“準(zhǔn)直角三角形”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，“準(zhǔn)直角三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．2．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，∠A1BC、∠A1CM的角平分線BA2、CA2相交于點(diǎn)A2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度數(shù)是多少，試說明理由；解：（1）結(jié)論：∠A2＝度．說理如下：因?yàn)锽A2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．因?yàn)椤螦1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），（完成以下說理過程）(2)如圖2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分線BA3、CA3相交于點(diǎn)A3，請直接寫出∠A3的度數(shù)；(3)如圖2，重復(fù)上述過程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分線BAn、CAn相交于點(diǎn)An得到∠An，設(shè)∠A1＝θ，請用θ表示∠An（直接寫出答案）答案：(1)34；角平分線的定義；A1；A2，過程見解析(2)17°(3)【解析】分析：（1）利用角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的解法即可直接求解∠A3的度數(shù)；（3）利用（1）的結(jié)論找到規(guī)律，求解即可．(1)解：結(jié)論：∠A2＝34度．說理如下：因?yàn)锽A2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分線的意義）．因?yàn)椤螦1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），所以∠A2＝∠A1，因?yàn)椤螦1＝68°，所以∠A2＝34°，故答案為：34；角平分線的定義；A1；A2．(2)解：∠A3＝17°，理由如下：由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∴∠A3＝∠A1=17°．(3)解：∠An＝，理由如下：由（1）中結(jié)論知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…，∴∠A1＝∠An，∴∠An＝．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，解題關(guān)鍵是解決（1）后利用其結(jié)論解答．3．(2023·全國·八年級課時練習(xí)）小宋對三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．若，直接寫出的度數(shù)；若，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．(2)如圖（2），將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直