分式（單元復(fù)習(xí)11個(gè)知識(shí)點(diǎn)+16類(lèi)題型突破）

01思維導(dǎo)圖

分式的定義

分式有意義的條件

分式分式的值為零的條件

約分

分式的基本性質(zhì)

通分

分式的加減法

分式和分式方程分式的乘除法

分式的運(yùn)算

分式的混合運(yùn)算

分式的化簡(jiǎn)求值

分式方程的定義

分式方程解分式方程

分式方程的應(yīng)用

02知識(shí)速記

一.分式的定義

（1）分式的概念：一般地，如果/,8表示兩個(gè)整式，并且8中含有字母，那么式子也叫做分式.

B

（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線(xiàn)可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)

的作用.

（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是直的形式，從本

B

質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn).

（5）分式是一種表達(dá)形式，如x+工+2是分式，如果形式都不是直的形式，那就不能算是分式了，如：

xB

（X+1）+G+2）,它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱(chēng)之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次幕表示的某些代數(shù)式如

（a+6）-2,y-l,則為分式，因?yàn)槭?=上僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式.

y

二.分式有意義的條件

（1）分式有意義的條件是分母不等于零.

（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零.

（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào).

（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào).

三.分式的值為零的條件

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少.

四.分式的基本性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

（2）分式中的符號(hào)法則：

分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變.

【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問(wèn)題

1.分式中的系數(shù)化整問(wèn)題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中

的系數(shù)化為整數(shù).

2.解決分式中的變號(hào)問(wèn)題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不

變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào).

3.處理分式中的恒等變形問(wèn)題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的.

（2）約分

（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.

（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來(lái)分別確定.

①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式.

②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面.

③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最

大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分.

2

（3）通分

（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做

分式的通分.

（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母.

①最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù).

②最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕的積.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡(jiǎn)公

分母，最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次幕，各分母中不

相同的因式都要作為最簡(jiǎn)公分母中的因式，要防止遺漏因式.

（4）最簡(jiǎn)分式

最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式.

和分?jǐn)?shù)不能化簡(jiǎn)一樣，叫最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).

（5）最簡(jiǎn)公分母

（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：

通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次

累，所有不同字母都寫(xiě)在積里.

②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字

母（或含字母的整式）為底數(shù)的基的因式都要取最高次累.

六.分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分

母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說(shuō)明：

①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把

分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；

通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的.

3

七.分式的乘除法

(1)分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.

(2)分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

(3)分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.

(4)分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算.運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即

“先乘方，再乘除”.

(5)規(guī)律方法總結(jié)：

①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約

分.

②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式.

③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，

切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序.

A.分式的混合運(yùn)算

(1)分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有

括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

(2)最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

(3)分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)

算.

【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問(wèn)題

1.注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

2.注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

或整式.

3.注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的

運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

九.分式的化簡(jiǎn)求值

先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果

要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題

1.化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟,

4

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方

法.當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為

十.分式方程的定義

分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù).

十一.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生

增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

十二.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論.

（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：

①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解.

②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式方程的解.

所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn).

十三.換元法解分式方程

1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)

象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)

化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).

十四.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為?；?/p>

是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未

知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是

原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.

5

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0,如果

為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

十五.由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程

由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題和追

擊問(wèn)題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等.

（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路.

十六.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹！J、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位

等.

2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)

間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力.

03題型歸納

題型一分式的識(shí)別

例題：（24-25八年級(jí)上?湖北武漢?期末）在工，；，包，主二一中，分式有（）

1

x6兀x+y

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷

A

【分析】本題考查了分式的定義，即形如百，其中A,8都是整式，且3中含有字母，熟練掌握定義是解

JJ

題的關(guān)鍵.根據(jù)分式的定義判斷即可.

【詳解】解：在工，72分式有工,2

中,共2個(gè),

671x+yXx+y

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

⑵八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙期末）在x2+1^xy_3

1.-25j1中，分式有（）

2'兀'x+ym

6

/.2個(gè)瓦3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷

【分析】本題主要考查分式的概念，分式與整式的區(qū)別主要在于：分母中是否含有字母.判斷分式的依據(jù)

是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，找到分母中含有字母的

式子的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：在工，；，—,雙，~,。+工中，式子工，工,。+工中都含有字母是分式，共

x22兀x+ymxx+ym

有3個(gè)分式.

故選：B.

2.（24-25八年級(jí)上?山東淄博?期中）下列各式三』，：，工，宇中，分式有（）

32a—157t

4.1個(gè)2.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷

A

【分析】本題考查了分式的判斷，如果48表示兩個(gè)整式，并且8中含有字母，那么式子總叫做分式，

其中/叫做分子，8叫做分母.根據(jù)判斷一個(gè)式子是分式的條件：①分子、分母是整式；②分母中含有字

母，且分母不等于0,據(jù)此逐一判斷，即可得到答案.

【詳解】解：亍分母中不含有字母，不是分式；

鼻分母中不含有字母，不是分式；

三符合分式的定義，是分式；

a-1

學(xué)分母中不含有字母，不是分式；即屬于分式的有1個(gè)，

3萬(wàn)

故選：A.

2X2-v2x1_

3.（24-25八年級(jí)上?湖南懷化?期末）下列式子：-4x,--匕，告，x--y,a-3b,其中是分式

ax-y兀+1y

的個(gè)數(shù)有（）

4.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷

A

【分析】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關(guān)鍵，已知整式/和b如果J中分母8

7

A

含有字母，那么總叫分式，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)分式的定義進(jìn)行判斷即可.

D

2/2

x-二，共3個(gè),

【詳解】解：根據(jù)分式的定義，其中是分式的是

ax-y

故選：B.

4.（24-25八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期末）下列各式中標(biāo)，胃22xy（，?-2,分式的個(gè)數(shù)

m2'(x+才’

有（）

A.2個(gè)瓦3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷、負(fù)整數(shù)指數(shù)惠

【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，分式的定義，一般地，如果A、B（B不等于零）表示兩個(gè)整式，且8

A

中含有字母，那么式子高就叫做分式，其中A稱(chēng)為分子，8稱(chēng)為分母,根據(jù)定義逐個(gè)分析，即可求解.

D

22xy」中,22xy

【詳解】解：在玄，墨2是分式，共3個(gè)

a2丁'

m2'(x+好’11am2'(x+y廣

故選：B.

題型二分式有無(wú)意義的條件

例題：（24-25八年級(jí)上?北京延慶?期末）分式，式有意義，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

a-3

A,Qw3B.aw0C.a<3D.a>3

【答案】Z

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【分析】根據(jù)分式有意義，分母不為零列式計(jì)算即可得解.

本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）分式無(wú)意義0分母為零；（2）

分式有意義=分母不為零；（3）分式的值為零=分子為零且分母不為零.

【詳解】解：由題意得，q-3wO,解得：aw3,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?重慶泰江?期末）當(dāng)％為任意實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（）

x+1n％+1C.二X+1

AD.——

'麗XX2-4

【答案】4

8

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【分析】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.直接利用分式有意義的條件

分別分析得出答案.分式有意義的條件是分母不等于零.

%+]

【詳解】解：A.當(dāng)W+lwO時(shí)，即x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，分式所有意義，故本選項(xiàng)符合題意；

B.當(dāng)/wO時(shí)，即xwO時(shí)，分式■有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

X

y—1

C.當(dāng)/彳0時(shí)，即XN0時(shí)，分式J有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

X

Y—1

D.當(dāng)/一4W0時(shí)，即xw±2時(shí)，分式J有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

X

故選：A.

2.（24?25八年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）當(dāng)x=l時(shí)，下列分式無(wú)意義的是（）

,X+1X_X—1X

A.------B.------C,-------D.

xx+1xx-1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、分式無(wú)意義的條件

【分析】此題考查了分式無(wú)意義.解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件.分母為零，分式無(wú)意義；分

母不為零，分式有意義.

根據(jù)分母為0,分式無(wú)意義；分母不為零，分式有意義，逐一判斷即得.

【詳解】/、當(dāng)x=lw0時(shí)，分式3有意義；

X

X

B、當(dāng)％=1時(shí)，x+l=2w0,分式---；有意義；

x+1

x—1

C、當(dāng)x=lw0時(shí)，分式——有意義；

D、當(dāng)x=l時(shí)，x-l=0,分式」7無(wú)意義.

x-1

故選：D.

3.（23-24八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）若x=-1使某個(gè)分式無(wú)意義，則這個(gè)分式可以是（）

,x-\2x+l_2%—1x+1

A.-------B.-------C.-D.-------

2x+1x+1x—12x+1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式無(wú)意義的條件

【分析】本題考查了分式無(wú)意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式無(wú)意義的條件，即分母等于0.

9

根據(jù)分式無(wú)意義的條件，對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：/、由2x+l=0,得x=-g，故/不符合題意；

B、由x+l=O,得x=-l,故8符合題意；

C＞由=得x=l,故。不符合題意；

D、由2x+l=0,得％=-：，故。不符合題意；

故選：B.

4.（24?25八年級(jí)上?遼寧大連?期末）x滿(mǎn)足什么條件（）,六三有意義

3%+5

5

B.x手

3

C.%。一（且"-5D.

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，

根據(jù)分式有意義的條件，即分母不等于0,可得3x+5w0,求出解即可.

【詳解】因?yàn)椤?有意義，

所以3x+5w0,

解得XR—.

故選：B.

題型三判斷分式變形是否正確

例題：（24-25八年級(jí)上?福建福州?期末）下列各式從左到右的變形，一定正確的是（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0

的整式，分式的值不變，然后進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：/、二/土原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

歹+iy

10

—XXX

B、——=-------------0--------------原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

x—yx—yy-x

2

C、三xw二x原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

yy

D、鳥(niǎo)=土原變形正確，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?安徽黃山?期末）下列各式從左到右變形一定正確的是（）

,mm2?1m+n

A.=——B.-—22-

nnm-nm-n

mm+a-m-n,

C.—=----D.---------=-l

nn+am+n

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確

【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】43=等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

nn

B.當(dāng)加+〃*0時(shí)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

m—nm—n

c.竺/生土￡,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

nn+a

D.YZZLJ（加+嘰t,故選項(xiàng)正確，符合題意；

m+nm+n

故選：D

2.（24-25八年級(jí)上?天津?yàn)I海新?期末）下列分式變形正確的是（）

27

1-yy+1x+y_%+y

A.....-----B.-7

33x-y（x-y）

x2x

C~_尤2-XX

C.------Dn.—-------=----

2

尸2yx-2x+lx-1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確

【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：一=一丁，則4不符合題意；

11

x+y_x2—y7

則8不符合題意;

x-y(x-y)2

三無(wú)法約分，則C不符合題意;

丁一2

x2-x_x(x-l)_X

則。符合題意;

-2x+1(%—1)~x-1

故選：D.

3.（24?25八年級(jí)上吶蒙古赤峰?期末）下列式子從左到右變形一定正確的是（）

xX2a1+\a

A.B.

yy2從+1一%

X_Xa2_a

c.D.

_y_zz+歹ab2b

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確

【分析】本題考查分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：/、±=空，原選項(xiàng)不成立，不符合題意;

yy

B、『彳巴，原選項(xiàng)不成立，不符合題意；

b2+lb

。、-----=------，原選項(xiàng)成立，符合題意；

-y-zz+y

2

D、=，原選項(xiàng)不成立，不符合題意；

abb

故選C.

4.（24-25八年級(jí)上?海南三亞?期末）下列分式的約分正確的是（）

21

A.-----=------DR.-------—

x+2x+1x+2x

22

x+y,c1~y

C.--=-iD.--------=x-y

x-yx+y

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，對(duì)

選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】解：/、分式中沒(méi)有公因式，不能約分，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

8、分式中沒(méi)有公因式，不能約分，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C、分式中沒(méi)有公因式，不能約分，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

12

D、匚匕=（x+，）（i）=—y,故此選項(xiàng)正確，符合題意.

x+yx+y

故選：D.

題型四利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

例題：（24-25八年級(jí)上?北京朝陽(yáng)?期末）如果把分式^中的x,了都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.擴(kuò)大9倍B.擴(kuò)大3倍

C.縮小3倍D不變

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)已知條件將陽(yáng)》都擴(kuò)大3倍后化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)已知條件將xj都擴(kuò)大3倍后化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的結(jié)論與原分式比較即可得出結(jié)論.

【詳解】解：把分式上中x和了都擴(kuò)大3倍，

x+y

“3%3XX

即：4丁~77-,

3x+3y3（x+y）x+y

???分式的值不變.

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

V2

1.（24-25八年級(jí)上?四川廣元?期末）若分式——中，X、y都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則該分式的值（）

x+y

A.擴(kuò)大到原來(lái)的3倍B.縮小到原來(lái)的1

C.擴(kuò)大到原來(lái)的9倍D.不變

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，把分式」‘中的x、y分別用3x,3y替換，求出替換后的結(jié)果即

x+y

可得到答案.

【詳解】解：把分式上中的X、y分別用3x,3y替換后得到的分式為?1==

x+y3x+3y3x+3yx+y

V2

???分式上」中，X、y都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則該分式的值擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，

x+y

故選：A.

13

x

2.（24-25八年級(jí)上?四川廣安?期末）如果將分式中的X和〉都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值

x+y

（）

不變B.擴(kuò)大到原來(lái)的3倍

C.縮小到原來(lái)的1D.縮小到原來(lái)的，

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類(lèi)題首先把字母變

化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，即可解題.

【詳解】解：如果將分式上中的x和了都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，

x+y

3x3xx

貝【J2Q?\=~~，

3x+3y3（x+力x+y

，分式的值不變,

故選：A.

3.（24-25八年級(jí)上?湖北荊門(mén)?期末）如果分式丁?中的x、了都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值（）

3x-2y

A.不變B.擴(kuò)大到原來(lái)的2倍

C.擴(kuò)大為到原來(lái)的3倍D.擴(kuò)大到原來(lái)的4倍

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)；解此類(lèi)題首先把字母

變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論.根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

3xx3y3孫=3乂中

【詳解】

3x3x-2x3y3x-2y3x-2y

???X、y的值都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么分式的值擴(kuò)大到原來(lái)的3倍.

故選：C

4.（2025八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如果把分式一一中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

x+y

力.擴(kuò)大3倍B.縮小:C.縮小!D.不變

36

【答案】D

14

【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【分析】本題考查分式的基本性質(zhì).將x,y用3x,3〉代入化簡(jiǎn)，與原式比較即可.

2x3x2x

【詳解】解：將X,y用3x,3y代入得~—=-

3x+3yx+y

故分式的值不變.

故選：D.

題型五最簡(jiǎn)分式

例題：（24-25八年級(jí)上?河北滄州?期末）下列分式中，為最簡(jiǎn)分式的是（）

3〃。+22aa2-ab

5a3b2a2+2a2+3aa1-b2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的識(shí)別，與最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的意義類(lèi)似，當(dāng)一個(gè)分式的分子與分母，除去1以外沒(méi)

有其它的公因式時(shí)，這樣的分式叫做最簡(jiǎn)分式.根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：A.金7故不是最簡(jiǎn)分式；

5ab-5ab-

與N，是最簡(jiǎn)分式；

B.

a+2

2。2a2

C.2,a_/工力_故不是取間分式；

a+3a磯Q+3)Q+3

a2—aba(a—b\a

D.2,2~（I"'人，故不是最簡(jiǎn)分式；

a-b+a+b

故選民

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）

4%B.ZC.3D工

5xx-yx8x

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式，分式的分子和分母除1以外，沒(méi)有其它的公因式，這樣的分式叫最簡(jiǎn)分式,

據(jù)此逐個(gè)判斷即可求解，掌握最簡(jiǎn)分式的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、分子分母含公因式5x,該分式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；

15

B、士J（x+y）（x-y）,分子分母含公因式x一九該分式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意;

x-yx-y

c、分子分母不含公因式，該分式是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

D、分子分母含公因數(shù)2,該分式不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；

故選：C.

2.（24-25八年級(jí)上?湖南永州?期末）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）

xy4xx-2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式、約分

【分析】本題考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)分式，掌握一個(gè)分式的分子與分

母沒(méi)有公因式，進(jìn)行解答，即可.

V2

【詳解】解：4—=x,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

Y+1

B、是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

y

21

c、丁=7-不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

4x2x

D、==一①少=_1不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意.

x—2x—2

故選：B.

3.（24-25八年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?期末）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（）

X龍2-13x

A.B.

x29-lx-12xy

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最

簡(jiǎn)分式即可判斷.

【詳解】4二三，分母--l=（x+l）（x-l）,分子x與分母沒(méi)有公因式，不能再約分，所以它是最簡(jiǎn)分式,

X-1

故本選項(xiàng)符合題意；

B.J.=（x+D（xT）=x+l,不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；

X—1X—1

C.==±*=-1，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；

x-1x-1

16

3x3

D.—,不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意.

2中2y

故選：A.

4.（24-25八年級(jí)上?甘肅慶陽(yáng)?期末）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（）

,1-xx-1~2x4

A.-----B.-5C.-；D.—

x—1x—1x+12x

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義“一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有非零次的公因式時(shí)（即分子與分母互素）叫最簡(jiǎn)

分式”，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

本題考查了最簡(jiǎn)分式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：/、￡4=-^4=-i,故選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

x-1x-1

x—1x—11

B、丁7=7-kTTTF，故選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

X—1IX—AIIX?1IX-rL

C、三是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

x+1

42

D、f-=-,故選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

2xx

故選：C.

題型六最簡(jiǎn)公分母

例題：（24-25八年級(jí)上?廣東東莞?期末）分式上，忌的最簡(jiǎn)公分母是（）

3x"\2xy

A.Ux2yB.I2x3yC.3xD.12刈

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母，理解最簡(jiǎn)公分母的定義是解題關(guān)鍵.最簡(jiǎn)公分母：取各分母系數(shù)的

最小公倍數(shù)與字母因式的最高次塞的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：分式上，搟的最簡(jiǎn)公分母是12/歹.

3x12xy

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

23

1.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）分式的最簡(jiǎn)公分母是（）

2x-42x

17

A.2xB.2x(2x-4)C.2x-4D.2x(x-2)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次嘉的積作公分母，

這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

先變形得到2x-4=2(x-2),然后根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解："x—nZa-Z),

的最簡(jiǎn)公分母為2X(X-2),

2x-42x

故選：D.

13

2.(24-25八年級(jí)上?湖南婁底?期末)分式藥與后的最簡(jiǎn)公分母是.

【答案】4x3y

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解題的關(guān)鍵.

取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，即可求解.

【詳解】解：分式而與總的最簡(jiǎn)公分母是4尤夕，

故答案為：4》3外

3.(24-25八年級(jí)上?云南昭通?期末)分式,?與二町7的最簡(jiǎn)公分母是

2ab+2ba-b

【答案】2b(a+b\a-b)

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【分析】本題主要考查最簡(jiǎn)公分母的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解決本題的關(guān)鍵.觀察兩個(gè)分式

的分母，利用公因式即可求解.

【詳解】解：?的分母為2仍+2b°=2b(a+b),

2abJ+2”b,

-AT的分母為/-b2=(a+b)(a-b),

兩個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母為冽。+6)(0-6),

故答案為：2b(a+b)(a-b).

4.(24-25八年級(jí)上?福建廈門(mén)?階段練習(xí))分式小與馬^的最簡(jiǎn)公分母是.

18

【答案】6a262c

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【分析】本題考查最簡(jiǎn)公分母的求法，掌握確定最簡(jiǎn)公分母的方法是解答的關(guān)鍵.

取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，這個(gè)公分母叫做最簡(jiǎn)公分母，據(jù)此求解

即可.

11

【詳解】解：對(duì)于分式K和7亡，3和6的最小公倍數(shù)是6,字母a,b,c的最高次嘉的積為//c,

3ab~6crbc

因此分式占和二一的最簡(jiǎn)公分母是6a%2c.

3ab26a2bc

故答案為：6a2b2c.

題型七已知分式恒等式，確定分子或分母

例題：春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若包三+刊，則/=

（20234=,B=

x-3x-33-x

【答案】21

【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同可得答案.

【詳解】解：主學(xué)=2+”

x-3x-33-x

5x3x-l

x—3x—3

2x+l

x-3

??/=2,8=1

故答案為：2,1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則.

鞏固訓(xùn)練

/B3x—4

I.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知口+口'貝|3/+2