專題03平行線的性質(zhì)（九大題型）

題型歸納__________________________________________

【題型1利用平行線性質(zhì)求角度】

【題型2利用平行線性質(zhì)解決三角板問(wèn)題】

【題型3利用平行線性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】

【題型4平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【題型5利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合】

【題型6命題的判定】

【題型7真假命題的判斷】

【題型8命題的改寫(xiě)】

【題型9寫(xiě)出命題的逆命題】

型專練

【題型1利用平行線性質(zhì)求角度】

A.70°B.80°C.100°D.110°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握:

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和對(duì)頂角相等解答.

【詳解】解：??21=70。，

Z3=70°,

-：AB||ED,

Z2=180°-z3=180°-70°=110°,

故選：D.

2.（24-25八年級(jí)上?甘肅蘭州?期末）如圖，已知41=42,43=118。，則N4=（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的判定以及性質(zhì)，由N1=N2,得出allb,進(jìn)而得出

44=45,由43=118。，即可求出答案.

【詳解】解：；N1=N2,

a||b,

???z4=z5,

???z3=118°,

z4=Z5=180°-z3=180°-118°=62°.

故選：D.

3.（24-25七年級(jí)上?海南?？?期末）小明觀察"抖空竹"時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽

象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，己知4BIICD,ABAE=88°,ADCE=122°,則NE的度數(shù)是（）

A.28°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì).首先過(guò)點(diǎn)C作FMIME,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

可得：4ECF=4E,根據(jù)兩直線平行同位角相等可得：NBMC=NB4E=88。，

NDCF=NBME=88。，根據(jù)角之間的關(guān)系可得：Z.ECF=ADCE-ADCF=34°,等量代換

可得：NE=34。.

【詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)C作尸MII4E,

:.乙ECF=LE,^BMC=ABAE=88°,

???AB\\CD,

；.4DCF=4BME=88°,

又-.?乙DCE=122°,

.-.Z.ECF=ADCE-/.DCF=122°-88°=34°

.?/￡?=34°.

故選：D.

4.（24-25九年級(jí)上?重慶,階段練習(xí)）如圖，CD是4ECB的平分線，且CD||4B,NB=50。,

則NECD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了平分線的定義、平行線的性質(zhì).首先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等,

可得ADCB=NB=50°,再根據(jù)角平分線的定義可知NECD=乙DCB=50°.

【詳解】解：如下圖所示,

D

B

???CDWAB,

.-.Z.DCB=ZB=50°,

???CD平分乙ECB,

AECD=乙DCB=zB=50°.

故選：C.

5.（18-19七年級(jí)上?湖北十堰,期末）如圖，ABWDE,58=50。,40=110。，則NC的度數(shù)

為（）

A.120°B.115°C.110°D.100°

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行公理的推論，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)

角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)C作CFII4B,由平行公理的推論可得ABIIDEIICF,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得

乙BCF=4B,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得ND+ADCF=180。，結(jié)合已知條件

ZB=50°,40=110。，進(jìn)而可得NBCF=50。，zDCF=180°-zD=70°,然后根據(jù)

乙BCD=ABCF+NDCF即可得出答案.

【詳解】解:如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFII2B,

ce.........F

DE.ABWDE,

???ABWDEWCF,

/-BCF=ZB,ZD+ZDCF=18O°,

???/8=50。，ZD=110°,

??""=50。，zDCF=180°-z￡）=70o,

工乙BCD=乙BCF+乙DCF=50°+70°=120°,

故選：A.

6.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，直線。||瓦/1=50。/2=/3,則N2的度數(shù)

A.50°B.60°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角度，根據(jù)allb得到zl=N4=50°,再根據(jù)平角定

義結(jié)合N2=43進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，

::

/\a\\b

zl=z4=50°,

vZ2=Z3,z2+z3+z.4=180°,

1

N2=z.3=2（180°-Z4）=65°,

故選：C.

7.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）如圖,4B||CD,AD1AC,484。=35。，貝1」乙4。。=

A.35°B.45°C.55°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，根據(jù)垂線的定義得到NC4D=90。，進(jìn)

而求出NC4B=125。，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答.

【詳解】解：MOI/C,

.-.^CAD=90°,

?"AD=35。,

：.￡.CAB=Z.CAD+乙BAD=90°+35°=125°,

-AB||CD,

：./-ACD+Z.CAB=180°,

.??乙4CD=55°,

故選：C.

8.（24-25七年級(jí)上?河南南陽(yáng),期末）如圖，AB||CD,^BEF=60°f貝比1,乙2與43之間的

關(guān)系是（）

A.z2+Z3-Z1=60°B.zl+Z3-Z2=60°

C.zl+Z2-Z3=90°D.z2+z3-zl=90°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加平行線是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)E作EGIIZB,過(guò)

點(diǎn)尸作F”II根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得，ZA=CBEG,乙GEF=^EFH,所以

Z1+ZEFH=6O°,再證明43—乙2=4月尸”，即可代入得到答案.

【詳解】過(guò)點(diǎn)E作EG||48,過(guò)點(diǎn)廠作FHIIA8,

???EG||FH,

zl=^LBEG,乙GEF=^EFH,

N1+乙EFH=乙BEG+乙GEF=乙BEF=60°,

???AB||CD,

：.FH||CD,

ZHFC=Z2,

???Z3-Z2=乙EFH+ZHFC-Z2=乙EFH,

：.Z1+N3—N2=Z.1+乙EFH=60°.

故選：B.

【題型2利用平行線性質(zhì)解決三角板問(wèn)題】

9.（海南省三亞市2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）已知ZB||CD,現(xiàn)將一

個(gè)含30。角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)尸、G分別落在直線48,CD上,

GE交AB于點(diǎn)H,若NE”B=45。，貝此AFG的度數(shù)為（）

A

C

A.120°B.115°C.110°D.105°

【答案】D

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角

相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.由ABIICD可得NEGD=NEHB=45。,

結(jié)合乙尸69=60°可得出496。的度數(shù)，再由A8IICD得出乙4FG=NFGD,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??4BIICD,

/.AEGD=/.EHB=45°,

由含30。角的直角三角尺EFG可得，NFGE=60。，

AFGD=4FGE+乙EGD=60°+45°=105°,

■■■AB\\CD,

.-.Z.AFG=/.FGD=105°.

故選：D.

10.（24-25七年級(jí)上,海南?？?期末）將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含45。角的

三角板的一條直角邊與含30。角的三角板的斜邊垂直，則a的度數(shù)為（）

a

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】D

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計(jì)算，先證明。尸1148,得至IJ

ZB+Z￡）FB=18O0,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意，得：zl=45°ZB=60°fFD1DEfDE1AB,

：.DF||AB,

.-.Z5+ZDFB=180°,

"DFB=180°-60°=120°,

.?.a=乙DFB—乙1=120°-45°=75°；

故選D.

11.（24-25七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）在同一平面內(nèi)，將直尺、含45。角的三角尺和木工角

尺（DE1DF）按如圖方式擺放.若ZBIIDF,則41的大小為（）

A.30°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出以。尸=4BC.由

平行線的性質(zhì)推出NBDF=NABC=45。，由垂直的定義得到乙項(xiàng)加=90。，由平角定義

即可求出的度數(shù).

【詳解】解：如圖：

?

?.AB\\DFf

/.ZBDF=Z^C=45°,

DE1DF

ZEDF=9O°,

???Z1=180°-90°-45°=45°.

故選：B.

12.（24-25七年級(jí)上?河南南陽(yáng)?期末）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的

短直角邊和含45。角的三角板的一條直角邊對(duì)齊，則N1的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的判定與性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)E作EFII4B,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

乙BEF=AB=30。，再根據(jù)平行線的判定可得48||CD,根據(jù)平行公理推論可得

CD||EF,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ADEF=AD=45°,由此即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFIMB,

由題意得：^BAC=2LACD=90°,ZB=30°,ND=45。,

：.ABEF=Z.B=30°,ABAC+/.ACD=180°,

：.AB||CD,

：.CD||EF,

...匕DEF=/D=45。,

.?21=乙BEF+乙DEF=75°,

故選：D.

13.（24-25八年級(jí)上?貴州黔東南?階段練習(xí)）如圖，將一塊含有30。角的直角三角板的頂點(diǎn)

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)直尺的兩條對(duì)邊平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出43的度

數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角，求出42的度數(shù)即可.

【詳解】解：???直尺的兩條對(duì)邊平行，41=43。，

.?23=41+30°=43°+30°=73°,

.??42=180°-73°=107°；

故選B.

14.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線3七，分別與直線/交于點(diǎn)4B,把一塊含30。

角的三角板按如圖所示的位置擺放.若41=47。，則乙2的度數(shù)是（）

A.77°B.103°C.113°D.137°

【答案】B

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)以及平角的定義，理解并掌握平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

如下圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得43=Nl=47。，由題意知N4=30。，再根據(jù)平角的定

義即可求解.

【詳解】解：如圖，

z3=zl=47°,

由題意知乙4=30。，

Z2=180°-^3-Z4=180°-47°-30°=103°,

故選：B.

【題型3利用平行線性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】

15.（21-22七年級(jí)下,湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形紙片4BCD,點(diǎn)E,F分別在邊力B,

4D上.將長(zhǎng)方形紙片沿著EF折疊，點(diǎn)月落在點(diǎn)G處，EG交CD于點(diǎn)H.若比N4EF

的4倍多6。，貝IUCHG的大小是（）

A.132°B.127?！鉉.124°D.122°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)及平角等于180?？?/p>

求出的度數(shù)，由48||CD,利用"兩直線平行，同位角相等"可求出NCHG的度數(shù).

【詳解】由折疊的性質(zhì)，可知：4AEF=LFEH.

而=4^AEF+6°,^AEF+Z.FEH+乙BEH=180°,

1

Z,AEF=-x（180°—6°）=29°,Z-BEH=4Z-AEF+6°=122°,

-AB||CD,

???乙CHG=^BEH=122。,

故選:D.

16.（23-24七年級(jí)下,黑龍江雞西?階段練習(xí)）手工課上小亮將一張長(zhǎng)方形紙片48CD沿EF折

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、翻折變換等知識(shí)，如圖，設(shè)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為K.由&DII

BC,推出N4EF+NBFE=180。，求出NBFE即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖設(shè)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為K.

?；4BFE=AEFK,zl=40°,

；/BFK=180°-40°=140°,

；/BFE=7Q°,

■■-ADWBC,

.-.^AEF+乙BFE=180°,

：.^AEF=110°,

故選：A.

17.（23-24七年級(jí)下廣東廣州?期中）如圖，把長(zhǎng)方形4BCD沿EF折疊后，點(diǎn)。，C分別落

在D',C'的位置，若41=50。，貝|NFGD'=

【答案】130

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEGF=41=50。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得NFG。

=180。一NEGF,即可求出NFG。的度數(shù).

本題主要考查了平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???4。II8C,

:.乙EGF=N1=50°,

.-.Z.FGD'=180°-z￡GF=180°-50°=130°.

故答案為：130.

18.（23-24七年級(jí)下,云南昆明?期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABC。沿EF折疊，點(diǎn)D,C分

別落在點(diǎn)D',C'處，若41=54。，貝此BFC'的度數(shù)為.

【答案】54。/54度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)折疊性質(zhì)得出NDEO=2NDEF,根據(jù)41的度

數(shù)求出ZDE。，即可得出NDEF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：乙DED'=2乙DEF,

???zl=54°,

z￡)￡,D,=180o-zl=126o,

:.乙DEF=63°,

■■■AD||BC,

."DEF+/.EFC=180°,乙EFB=4DEF=63°,

■.AEFC=^EFC=117°.

：.ABFC=117°-63°=54°.

故答案為：54°.

19.（23-24九年級(jí)下?黑龍江?期中）把一張對(duì)邊平行的紙條（力DIIBC）按照如圖所示的方

式折疊，EF為折痕，ABEF=146。，則N4GE的度數(shù)為<

【答案】68。/68度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及翻折變換，由NBEF=146。，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得

42=34。，由折疊得N1=N2=34。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖,

■,-Z2+4BEF=180°,A.BEF=146°,

.-.Z2=34°,

由折疊可知Nl=Z.2=34°,

.-.ACEG=68°,

■-AD||BC,

：.AAGE=乙CEG=68°.

故答案為：68。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用，涉及翻折變換，解此題的關(guān)鍵是掌握平行線

的性質(zhì).

20.（23-24七年級(jí)下?廣東茂名?期中）如圖a,已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD,將紙帶沿EF折疊后,

點(diǎn)C、。分別落在“、G的位置，再沿BC折疊成圖上若ADEF=70。，則

乙GMN='

【答案】80

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得到角相等是解題關(guān)

鍵.先根據(jù)NDEF=70。求出MFC的度數(shù),進(jìn)可得出NEF8和MFH的度數(shù),根據(jù)NH=90°

和三角形的內(nèi)角和可得的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得NGMN的度數(shù).

【詳解】"AD||CB,

“EFC+乙DEF=180°,乙EFB=乙DEF,

即NEFC=Z.EFH=180°-70°=110°,Z.EFB=70°,

.-.ZBF//=110°-70°=40°.

??-ZH=ZD=90°,

:ZHMF=180°-90°-40°=50°.

由折疊可得：上NMF=4HMF=50°,

:ZGMN=180°-^NMF-^HMF=180°-50°-50°=80°.

故答案為：80.

【題型4平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

21.（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水

中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是

平行的.如圖，41=122。，則42的度數(shù)為（）

A.32°B.58°D.78°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〃和"兩直線平行,

同位角相等"即可得到結(jié)論.

Z3=180°-zl=180°-122°=58°.

???水中的兩條光線平行，

N2=N3=58°.

故選：B.

22.（23-24七年級(jí)下?廣西百色?期末）如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來(lái)的方向相同.如

果第一次的拐角乙4=135。，則第二次的拐角48度數(shù)是（）

A.45°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).根據(jù)

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可知=進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

???一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來(lái)的方向相同，

：.AC\\BD,

3=ZX=135°,

故選：C.

23.（22-23七年級(jí)下?江蘇?階段練習(xí)）一學(xué)員在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē)，兩次拐彎后，行駛

的方向與原來(lái)的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向左拐50。，第二次向左拐50°

B.第一次向右拐50。，第二次向左拐130。

C.第一次向左拐50。，第二次向左拐130。

D.第一次向左拐130。，第二次向右拐130。

【答案】D

【分析】首先根據(jù)作出圖形，利用平行線的判定性質(zhì)求出答案，注意排除法在選擇題中

的應(yīng)用.

【詳解】解：A、第一次向左拐50。，第二次向左拐50。，如圖所示：

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

B、第一次向右拐50。，第二次向左拐130。，如圖所示,

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C、第一次向左拐50。，第二次向左拐130。，如圖所示:

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、第一次向左拐130。，第二次向右拐130。，如圖所示:

故本選項(xiàng)正確，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，難度不大，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵.

24.（23-24七年級(jí)下?山東濰坊?期中）某小區(qū)地下停車(chē)場(chǎng)的限高欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬

起到最大高度時(shí)Z4BC=12O。，若此時(shí)CD平行地面4E,貝此BCD=度.

【答案】150

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)8作BF||CD,可得乙48尸=90。，進(jìn)而得到ZFBC=120?！?0。=30。，由

乙BCD+乙FBC=180。即可得出答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)8作BFIICD,如圖，

??,CD平行地面4E,

：.BF\\AE,

■-AB1AE,

：./.ABF=90°

?■-ZXBC=120°,

NFBC=120°—90°=30°,

???BFWCD,

：.ABCD+乙FBC=180°,

；/BCD=180°-30°=150°,

故答案為：150.

25.（22-23七年級(jí)下?吉林松原?期中）如圖1,為響應(yīng)國(guó)家新能源建設(shè)，公交站亭裝上了太

陽(yáng)能電池板.當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽(yáng)光（平行光線），如圖2,電池板4B與最大夾角時(shí)刻

的太陽(yáng)光線相垂直，要使4BIICD,需將電池板CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，

a=?（0<a<90）

（圖1）

【答案】20

【分析】先根據(jù)4B與太陽(yáng)光線互相垂直，得出NFEB=28。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

當(dāng)ABIICD時(shí)，4GFD=4FEB,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：*MB與太陽(yáng)光線互相垂直，

:/FEB=90°-62°=28°,

當(dāng)月BIICD時(shí)，乙GFD=4FEB=28°,

???需將電池板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)48。-28。=20°,

故答案為：20.

（圖2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

26.（23-24八年級(jí)上?山東濰坊?期末）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向

另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射.如圖，水面48與水杯下沿CD平行，光線變成尸叢點(diǎn)G在射

線EF上，4FED=45°/HFB=20°,貝！UGF”=°.

【答案】25

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)知NGF8=NFED=45。，結(jié)合圖形求得NGFH的度數(shù).

【詳解】解：--ABWCD,

???ZGFB=/.FED=45°.

???AHFB=20°,

???/.GFH=乙GFB—乙HFB=45°-20°=25°.

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決本類題

的關(guān)鍵.

27.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期中）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過(guò)，在

B,C三處經(jīng)過(guò)三次拐彎，此時(shí)道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即4EIICD）,

【答案】120°/120度

【分析】首先過(guò)B作8FII2B根據(jù)2EIICD,可得2E||BF||C￡?,進(jìn)而得到乙4=UBF,

NFBC+NC=180。，然后可求出NC的度數(shù).

【詳解】解：如圖所示，過(guò)B作8FIIAE,

F.D

E“=100°,

.-.AABF=AA=100°,

X---zXBC=160°,

o

???zFSC=160°-100=60°）

?-AEWCD,

■■FBWCD,

???ZC=180°-zFBC=180°-60°=120°,

故答案為：120°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

【題型5利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合】

28.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期中）如圖，CD是△4BC的高，點(diǎn)G在BC上，F(xiàn)G1AB,

垂足是點(diǎn)F,點(diǎn)E在2C上，連接，若N1=N2.求證：DEWBC

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)成為解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)CD14B,FGLAB^^CDWFG,禾U用平行線的性質(zhì)可知N2=N8CD,再結(jié)合

N1=N2,運(yùn)用等量代換得＜L=ABCD即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：?.￡￡＞是△ABC的高，

.-.CD1AB,

■.-FGLAB,

：.CD\\FG.

/.z2=Z-BCD.

又??21=Z2,

.*.zl=Z-BCD.

.'.DEWBC.

29.(24-25七年級(jí)上?海南?？?期末)如圖，四邊形ZBCD中，/為CD上一點(diǎn)，連接力F并

延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.若乙B=^DCE,zl=z2,z.3=z4.

⑴試說(shuō)明AB||CD；

解：(1).:乙B=￡DCE,(已知)

：.AB||CD.()

(2)4。與8C的位置關(guān)系如何？為什么？

解：4。與BC的位置關(guān)系是：AD||BC,理由如下：

■：AB||CD,(已知)

.?24=Z.()

,.23=44,(已知)

?,.z3=z.()

,?,zl=z2,(已知)

.,.Z1+/-CAF-z2+/.CAF,

即N=Z,

.?.43=4.(等量代換)

.-.AD||BC.()

⑶N4CD與NE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(工)同位角相等，兩直線平行

(2)ZBX￡；兩直線平行，同位角相等；/.BAE-,等量代換；N82E；^CAD-/.CAD-內(nèi)錯(cuò)

角相等，兩直線平行

⑶相等，見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).

（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行即可判定48||CD.

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求解即可.

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：?2B=NDCE,（己知）

■-AB||CD.（同位角相等，兩直線平行）

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

（2）解：4。與BC的位置關(guān)系是：AD||BC,理由如下：

-：AB||CD,（已知）

.-.Z4=/.BAE.（兩直線平行，同位角相等）

??-Z3=Z4,（已知）

.-.Z3=^BAE.（等量代換）

,■,zl=Z2,（已知）

.?.Z.1+/-CAF—z2+Z.CAF.

即=

.?/3=皿。，（等量代換）

.■.AD||BC.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

故答案為：4BAE；兩直線平行，同位角相等；Z.BAE-,等量代換；4BAE；^CAD；

^CAD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

（3）解：4ACD=a,理由如下：

-：AB||CD,

.?.Zl=/-ACD.

-：AD||BC,

.?.z2=zE.

???zl=z2,

.?./-ACD=Z-E.

30.（24-25八年級(jí)上?陜西榆林?期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△4BC的邊BC、CA,4B上

的點(diǎn)，連接。E,DF,S.DFWAC,Nl+N2=180°.

⑴證明：DE\\AB；

(2)若41=100。，DF平分心BDE,求NC的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)80°

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握兩直線平行，同位角

相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵.

(1)由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到41+乙4=180。，進(jìn)而得出乙4=42,即可

證明結(jié)論；

(2)由平行線的性質(zhì)，得至UNEDF=80°,結(jié)合角平分線的定義，得出NBDF=80。，即

可得出NC的度數(shù).

【詳解】(1)證明：???C/M4C,

Z.1+乙4=180°,

zl+Z2=180°,

???Z-A=z2,

DE\\AB

(2)解：vDE\\AB,Z1=100°,

/.ZEDF=80°,

???乙BDF=4EDF=80。,

???DF\\AC,

ZC=Z5DF=8O°.

31.(24-25七年級(jí)上,吉林長(zhǎng)春?期末)已知：如圖，EF||CD,41+42=180。.

￡G

AFDB

(1)判斷GD與ca的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若。G平分NCDB,若乙4CD=40。，求乙4的度數(shù).

【答案】(1)GD||C4理由見(jiàn)解析

(2)40°

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義；

(1)根據(jù)EFIIC?？傻?1+N2CD=180。，從而證明乙4CD=N2,根據(jù)平行線的判定

即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：GDWCA.

理由：||CD,

.-.Z1+AACD=180°,

X-.-zl+z_2=180°,

：.Z.ACD=z.2,

：.GD||CA；

(2)解：-GD||CA,

.2=^ACD=40°,

???DG平分"DB,

."OG=N2=40。，

-GD||CA,

??ZA=/BOG=40。.

32.(24-25七年級(jí)上?河南南陽(yáng)?期末)如圖，AD||BC,AC=^BAD,AE1CD,交CD的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

AB

(1)求證：AB||CD.

⑵若4瓦4。=30。，求乙8的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)120°

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，垂線的定義，熟練掌握平行線的判定定理和性

質(zhì)定定理是解題關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)可證=結(jié)合題意得出=再由平行線的判

定定理證明即可；

(2)根據(jù)垂線的定義得出乙4EC=90。，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得出NBAE=90。，結(jié)合題

意可求出N&4D=60°,最后再次利用平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：AD||BC,

Z.C=Z.ADE.

vZ-C=Z-BAD,

Z.ADE=乙BAD,

???AB||CD；

(2)解:vAELCD,

???乙4EC=90。.

???AB||CD,

/.A.BAE=18O°-Z?1EC=90°.

???乙BAD=^BAE-Z.EAD=90°-30°=60°.

-AD\\BC,

???乙B=180°-zBX￡)=120°.

33.(2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，MNIIBC,BD1DC,Z1=z2=60°,DC是乙NDE

的平分線.

MD

------------E-----------、C

(1)4B與DE平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵試說(shuō)明=

(3)求N4BD的度數(shù).

【答案】(1)平行，見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)30°

【分析】本題考查的是角平分線的定義，垂直的定義，平行線的性質(zhì)；

(1)先證明乙48。=/1=60。，結(jié)合41=42,可得N2BC=N2,從而可得結(jié)論；

(2)先求解4NDE=180。-42=120°,結(jié)合角平分線可得

乙EDC=KNDC=2乙NDE=60°.結(jié)合MN||BC,可得NC=NNDC=60。，從而可得結(jié)論;

(3)先求解入4DC=180-MDC=120。，結(jié)合NBDC=90。，可得

^ADB=ZXDC-ZBDC=30°.證明NDBC=NADB=30°,再進(jìn)一步可得答案.

【詳解】(1)解：ABWDE.

理由如下：???MNIIBC,41=60。，

??ZBC=41=60°.

又zl=z2,

??ZBC=N2=60°,

：.AB\\DE.

(2)證明：:MMIBC,

：./.NDE+/.2=180°,而42=60。，

：.ANDE=180°-z2=180°-60°=120°.

???DC是NNDE的角平分線，

???AEDC=乙NDC=2乙NDE=60°.

■■-MNWBC,

■.AC=ANDC=60°,

??ZBC=z_C=60°.

解：乙。,

(3)v2LADC+A.NDC=180°fNDC=6U

???乙ADC=180°-^NDC=180°-60°=120°.

BD1DC,

???4BDC=90。,

2LADB=乙ADC-乙BDC=120°-90°=30°.

-MN\\BCf

/.ADBC=^ADB=30°.

???zXBC=zC=60°,

^ABD=(ABC-cDBC=30°.

【題型6命題的判定】

34.（24-25八年級(jí)上?湖南邵陽(yáng)?期中）下列語(yǔ)句不是命題的有（）

①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；②過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線；③對(duì)頂角不相等；④內(nèi)

錯(cuò)角相等嗎？⑤同角的余角相等

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查命題的定義：判斷一件事情的語(yǔ)句稱為命題，據(jù)此逐個(gè)判斷即可解答.

【詳解】解：①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，是命題；

②過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線，不是命題；

③對(duì)頂角不相等，是命題；；

④內(nèi)錯(cuò)角相等嗎？不是命題；

⑤同角的余角相等，是命題；

綜上，不是命題的是②④，共2個(gè).

故選：B

35.（23-24七年級(jí)下?湖南湘西?期末）下列語(yǔ)句，不是命題的是（）

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交

C.連接/,8兩點(diǎn)D.對(duì)頂角相等

【答案】C

【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯(cuò)

誤的命題稱為假命題.命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的.根據(jù)命題的定義對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.兩點(diǎn)之間線段最短，是命題；

B.在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交，是命題；

C.連接力,2兩點(diǎn)，為描述性語(yǔ)言，不是命題；

D.對(duì)頂角相等，是命題.

故選：C.

36.（23-24八年級(jí)下?廣東湛江?期中）下列語(yǔ)句是命題的是（）

A.兩直線被第三條直線所截B.過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線

C.百家爭(zhēng)鳴思想活躍D.內(nèi)錯(cuò)角相等

【答案】D

【分析】本題考查了命題的概念，根據(jù)命題是能具有判定的語(yǔ)句，由題設(shè)和結(jié)論組成進(jìn)

行判定即可，掌握命題的概念是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、兩直線被第三條直線所截是陳述句，不是命題，不符合題意；

B、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線是陳述句，不是命題，不符合題意；

C、百家爭(zhēng)鳴思想活躍是陳述句，不是命題，不符合題意；

D、內(nèi)錯(cuò)角相等，題設(shè)是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論是相等，是命題，符合題意；

故選：D.

37.（23-24七年級(jí)下?福建龍巖?期中）下列句子中，是命題的是（）

A.對(duì)頂角相等B.a,6兩條直線平行嗎

C.畫(huà)一個(gè)角等于已知角D.過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線

【答案】A

【分析】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,

可以判斷真假的陳述句叫做命題.分析是否是命題，需要分別分析各選項(xiàng)是否是用語(yǔ)言、

符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句即可.

【詳解】解：A、對(duì)頂角相等，符合命題的概念，故本選項(xiàng)符合題意；

B、a,6兩條直線平行嗎，是問(wèn)句，未做判斷，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、畫(huà)一個(gè)角等于已知角，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意，

D、過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選A.

【題型7真假命題的判斷】

38.（24-25八年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）下面命題中：

①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②對(duì)于所有自然數(shù)的值都是質(zhì)數(shù)；

+n+11

③同位角相等，兩直線平行；

④如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命

題.分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答

案.

【詳解】解：①過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以①為假命題；

②當(dāng)n=10時(shí)，層+n+11="I=不是質(zhì)數(shù)，所以②為假命題；

③同位角相等，兩直線平行，所以③為真命題.

④一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，所以④為

假命題.

綜上所述，真命題有1個(gè)，

故選：A.

39.（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期中）下列命題中，真命題是（）

A.若2x=-1,貝！|x=-2

B.任何一個(gè)角都比它的余角小

C.一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角的和等于一個(gè)平角

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行

【答案】D

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題,

判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

根據(jù)一元一次方程的解法、余角、角的和差、平行線的判定逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.若2久=一1,則萬(wàn)=一，故選項(xiàng)是假命題；

B.任何一個(gè)角不一定都比它的余角小，故選項(xiàng)是假命題；

C.一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角的和不一定等于一個(gè)平角，故選項(xiàng)是假命題；

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故選項(xiàng)是真命題；

故選：D.

40.（24-25八年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

B.同角的余角相等

C.兩個(gè)銳角的和是銳角

D.如果a6>0,則a+6>0

【答案】B

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命

題.根據(jù)平行公理的推論、同角的余角相等、角的概念等判斷即可.

【詳解】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題,

不符合題意；

B、同角的余角相等，故本選項(xiàng)說(shuō)法是真命題，符合題意；

C、兩個(gè)銳角的和可能是銳角，也可能是鈍角，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，不符合題意；

D、如果ab>0,則a、b異號(hào)，則a+6>0或a+6<0,故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，不符

合題意；

故選：B.

41.（24-25八年級(jí)上?福建泉州?期中）下列命題中，是假命題的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.同位角相等

【答案】D

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，對(duì)頂角的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，垂線的

定義，平行線的性質(zhì)等等，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，垂線的定義，平

行線的性質(zhì)逐一判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、對(duì)頂角相等，原命題是真命題，不符合題意；

B、兩點(diǎn)之間，線段最短，原命題是真命題，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是真命題，不符

合題意；

D、兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題，符合題意；

故選：D.

【題型8命題的改寫(xiě)】

42.（24-25八年級(jí)上?四川宜賓?期中）命題"對(duì)頂角相等"的逆命題是—命題（填"真"或

"假"）.

【答案】假

【分析】本題主要考查命題與定理，對(duì)頂角的定義，先根據(jù)原命題的題設(shè)得到逆命題,

然后根據(jù)對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：命題"對(duì)頂角相等〃的逆命題是相等的角為對(duì)頂角，

此逆命題為假命題.

故答案為：假.

43.（24-25八年級(jí)上?貴州黔東南?階段練習(xí)）把命題"三角形的內(nèi)角和等于180。"改寫(xiě)成"如

果…那么…”的形式：如果,那么.

【答案】三個(gè)角是三角形的內(nèi)角它們的和等于180。

【分析】本題考查了命題，根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論寫(xiě)出即可，找出命題的題設(shè)和結(jié)論是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把命題"三角形的內(nèi)角和等于180。"改寫(xiě)成"如果…那么…”的形式：如果三

個(gè)角是三角形的內(nèi)角，那么它們的和等于180。，

故答案為：三個(gè)角是三角形的內(nèi)角，它們的和等于180。.

44.（24-25八年級(jí)上?河北邯鄲?期中）將命題"對(duì)頂角相等"用"如果…那么..."的形式可以改

寫(xiě)為.

【答案】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等

【分析】本題考查命題的擴(kuò)充改寫(xiě)，先要明確命題中的已知條件和結(jié)論，然后將已知和

結(jié)論的描述語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)充即可.

【詳解】解：命題"對(duì)頂角相等"改寫(xiě)為"如果…，那么「