代數(shù)拓?fù)淙嚎荚囶}及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.群\(G\)中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)滿足（）A.\(aa^{-1}=e\)B.\(aa^{-1}=a\)C.\(aa^{-1}=0\)2.整數(shù)加群\(\mathbb{Z}\)的單位元是（）A.1B.0C.-13.群\(G\)的子群\(H\)，若\(|G|=10\)，\(|H|=2\)，則\(H\)在\(G\)中的指數(shù)為（）A.2B.5C.84.交換群又稱為（）A.循環(huán)群B.阿貝爾群C.自由群5.有限群\(G\)的元素個(gè)數(shù)稱為\(G\)的（）A.階B.秩C.度6.若\(a,b\)是群\(G\)中元素，則\((ab)^{-1}\)等于（）A.\(a^{-1}b^{-1}\)B.\(b^{-1}a^{-1}\)C.\(ab\)7.群同態(tài)\(\varphi:G\toH\)，\(\ker(\varphi)\)是\(G\)的（）A.子群B.正規(guī)子群C.商群8.循環(huán)群\(G=\langlea\rangle\)，若\(|G|=n\)，則\(a^n\)等于（）A.\(a\)B.\(e\)C.\(a^{-1}\)9.模\(n\)剩余類加群\(\mathbb{Z}_n\)中，生成元的個(gè)數(shù)為（）A.\(\varphi(n)\)（歐拉函數(shù)）B.\(n\)C.\(n-1\)10.群\(G\)中，若\(a^m=e\)，\(a^n=e\)，則\(a^ceakoi2\)（\(d=\gcd(m,n)\)）等于（）A.\(e\)B.\(a\)C.\(a^{-1}\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是群的性質(zhì)（）A.封閉性B.結(jié)合律C.存在單位元D.每個(gè)元素有逆元2.下列哪些群是阿貝爾群（）A.整數(shù)加群\(\mathbb{Z}\)B.有理數(shù)加群\(\mathbb{Q}\)C.\(n\)次對(duì)稱群\(S_n\)（\(n\geq3\)）D.實(shí)數(shù)加群\(\mathbb{R}\)3.群\(G\)的子群\(H\)的判定條件有（）A.\(H\)非空B.若\(a,b\inH\)，則\(ab\inH\)C.若\(a\inH\)，則\(a^{-1}\inH\)D.\(|H|\leq|G|\)4.關(guān)于群同態(tài)\(\varphi:G\toH\)，正確的是（）A.\(\varphi(e_G)=e_H\)B.\(\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}\)C.\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)D.\(\varphi\)是雙射5.有限循環(huán)群\(G=\langlea\rangle\)，\(|G|=n\)，其生成元有（）A.\(a\)B.\(a^k\)（\(\gcd(k,n)=1\)）C.\(a^n\)D.\(a^{-1}\)6.群\(G\)中正規(guī)子群\(N\)的性質(zhì)有（）A.對(duì)任意\(g\inG\)，\(gN=Ng\)B.商群\(G/N\)存在C.\(N\)是\(G\)的子群D.若\(a\inN\)，\(b\inG\)，則\(aba^{-1}\inN\)7.下列哪些是群的同構(gòu)定理（）A.第一同構(gòu)定理B.第二同構(gòu)定理C.第三同構(gòu)定理D.第四同構(gòu)定理8.若\(G\)是群，\(H,K\)是\(G\)的子群，則（）A.\(HK\)是\(G\)的子群（當(dāng)\(HK=KH\)時(shí)）B.\(H\capK\)是\(G\)的子群C.\(H\cupK\)是\(G\)的子群D.\(|HK|=\frac{|H||K|}{|H\capK|}\)9.對(duì)于群\(G\)中元素\(a\)，其階\(o(a)\)的性質(zhì)有（）A.\(a^{o(a)}=e\)B.若\(a^m=e\)，則\(o(a)\midm\)C.\(o(a^{-1})=o(a)\)D.\(o(a^k)=\frac{o(a)}{\gcd(k,o(a))}\)10.以下哪些群是有限群（）A.\(\mathbb{Z}_5\)B.正整數(shù)乘法群C.\(S_3\)D.非零有理數(shù)乘法群判斷題（每題2分，共10題）1.群中單位元唯一。（）2.群\(G\)中任意兩個(gè)元素\(a,b\)，都有\(zhòng)(ab=ba\)。（）3.子群\(H\)的單位元與群\(G\)的單位元相同。（）4.群同態(tài)一定是雙射。（）5.循環(huán)群一定是阿貝爾群。（）6.若\(G\)是群，\(N\)是\(G\)的子群，且對(duì)任意\(g\inG\)，\(gN=Ng\)，則\(N\)是\(G\)的正規(guī)子群。（）7.有限群\(G\)中，元素\(a\)的階一定整除\(|G|\)。（）8.群\(G\)與商群\(G/N\)同構(gòu)（\(N\)是\(G\)的正規(guī)子群）。（）9.兩個(gè)同階的有限循環(huán)群一定同構(gòu)。（）10.群\(G\)中，若\(a^2=e\)，則\(a=e\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述群的定義群是一個(gè)非空集合\(G\)，連同定義在\(G\)上的二元運(yùn)算\(\cdot\)，滿足封閉性、結(jié)合律、存在單位元、每個(gè)元素有逆元這四條性質(zhì)。2.說(shuō)明子群判定定理非空子集\(H\)是群\(G\)的子群，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意\(a,b\inH\)，有\(zhòng)(ab^{-1}\inH\)。3.簡(jiǎn)述群同態(tài)基本定理設(shè)\(\varphi:G\toH\)是群同態(tài)，則\(G/\ker(\varphi)\cong\text{Im}(\varphi)\)。4.求循環(huán)群\(\mathbb{Z}_{12}\)的所有生成元\(\mathbb{Z}_{12}\)的生成元是與12互質(zhì)的元素對(duì)應(yīng)的剩余類，即\([1],[5],[7],[11]\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論阿貝爾群在代數(shù)拓?fù)渲械膽?yīng)用阿貝爾群結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且性質(zhì)良好。在代數(shù)拓?fù)渲?，用于定義同調(diào)群，同調(diào)群是阿貝爾群，通過(guò)研究其性質(zhì)來(lái)分析拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)，如連通性、洞的數(shù)量等，為拓?fù)淇臻g分類提供依據(jù)。2.探討群同態(tài)與拓?fù)淇臻g連續(xù)映射的聯(lián)系群同態(tài)保持群運(yùn)算，拓?fù)淇臻g連續(xù)映射保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在代數(shù)拓?fù)渲校B續(xù)映射可誘導(dǎo)基本群或同調(diào)群的同態(tài)，從而能用群論工具研究拓?fù)淇臻g間的連續(xù)關(guān)系，兩者相互關(guān)聯(lián)促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。3.分析有限群的結(jié)構(gòu)對(duì)代數(shù)拓?fù)溲芯康囊饬x有限群結(jié)構(gòu)明確，其階、子群等性質(zhì)可對(duì)應(yīng)到拓?fù)淇臻g的某些離散結(jié)構(gòu)。在研究如有限單純復(fù)形等拓?fù)鋵?duì)象時(shí)，有限群的知識(shí)有助于計(jì)算同調(diào)群等不變量，理解拓?fù)淇臻g的局部和整體特征。4.論述正規(guī)子群在代數(shù)拓?fù)淙合嚓P(guān)理論中的作用正規(guī)子群是構(gòu)建商群的基礎(chǔ)。在代數(shù)拓?fù)渲?，通過(guò)商群構(gòu)造來(lái)研究拓?fù)淇臻g的商空間，商群的性質(zhì)反映商空間拓?fù)湫再|(zhì)。且正規(guī)子群在同態(tài)、同構(gòu)定理中起關(guān)鍵作用，便于不同