第45講數(shù)列的綜合運用

1、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊

性.

數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

2、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識

去解決.

1.數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型

(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差;

(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就

是公比；

(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮是第〃

項。”與第"+1項an+\的遞推關(guān)系還是前n項和S”與前"+1項和Sn+i之間的遞推關(guān)系.

1、(2023?北京)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就出現(xiàn)了類似于祛碼的用來測量物體質(zhì)量的

“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列的前3項成等差數(shù)

歹U,后7項成等比數(shù)列，且弓=1,%=12,%=192,則％=，數(shù)列｛an｝的所有項的和為.

【答案】48；384.

【解析】?數(shù)列｛q｝的后7項成等比數(shù)列，an>0,

%=J。5a9=，12x192=48,

又該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，

數(shù)歹U｛%｝的所有項的和為軻；"3)+6x￡「)=3x(1+3)+378=384.

故答案為：48；384.

2、(2023?新高考II)已知m｝為等差數(shù)列,bn=卜”-數(shù)，記S,,Tn為｛g｝,?｝的前"項和，Sa=32,

|2a”,〃為偶數(shù)

看=16?

(1)求他」的通項公式；

(2)證明：當”>5時，Tn>Sn.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛《｝的公差為d,

Sn,7；為｛%｝電｝的前〃項和，=32,n=16,

4(4-1)

則\a\+。2+%+“4=3244+八一1=32曰ciy—5

12，解得

1q—6+2%+%—6=16d=2

氏=7

故=5+2(〃-1)=2〃+3；

2"-3,〃為奇數(shù)

(2)證明：由(1)可知，b=

n4〃+6,”為偶數(shù)

c(5+2附+3)〃

S"=----------=(〃+4)〃，

當〃為偶數(shù)時，〃>5,

(=一1+3H-----F2(〃—1)-3+14+22H-----F4〃+6

nnw

_[_l+2(?-l)-3]-(14+4n+6)-(14+6n)“西+為

—I——J

2222

Tn-Sn=^-^>0,

當〃為奇數(shù)時，n>5,北=a+〃=("T)(3〃+4)+2〃_3=3〃2+5“-10,

"n_|n22

丁。n2-3n-1025-15-10

4—3〃=--------------->----------------=0n，

〃〃22

故原式得證.

3、(2022?新高考I)記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，己知q=l,｛義4是公差為！的等差數(shù)歹！J.

%3

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)證明：—+—+—<2.

【解析】(1)己知%=1,{±4是公差為1的等差數(shù)列，

a?3

q11?1?

所以一=]=+整理得s=_%+—〃，①,

an333〃3〃3〃

12

+a9

故當〃..2時,Sn_!=-(n-l)tzn_1^n-i②，

①一②得:$]叫~~^nan-\，

故(〃-1)4=(〃+1)%，

化簡得.4—=+1〃〃_1_幾/_3^2__，.

an_xn-1an_2n-2a22ali

所以％=〃(〃+l),

q2

故見=范且(首項符合通項).

所以

證明：(2)由于%=號辿，

所以'=^^=2/--—),

c1nn(n+1)nn+\

r*LtxI111—.11111、一1.—

所以一+—+...+一=2(1——+----+...+--------)=2x(1-----)<2.

a,a223nn+1n+1

4、（2021?乙卷（文））設(shè)｛風｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿足"=岸，已知4,3g,9%成等差

數(shù)列.

（1）求｛%｝和｛〃｝的通項公式；

q

（2）記3和7；分別為｛2｝和電｝的前〃項和.證明：Tn〈彳.

【解析】（1）%,3%，9%成等差數(shù)列，6%=%+9%,

｛4｝是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為外

貝lj6q=l+9q2,...g=；,

=M=（9"—,

（2）證明：由（1）知％=（；）"—,bn=n-（1）",

31

-----------X

22

2

7；=1x(1)'+2x(1)+...+M.(1)",①

.1g7；=1x(1)2+2x(g)3+…+〃.(g)田，②

①-②得，初=?1一(!"]一尺嚴，

-1

…?T〃=24_A4x((3Ay-—2(―3v,

.TS31z1\n-l〃/I”「31^/1、〃T1/八

n]<0,

??式一萬二一丁卬一5勺一[小§)

:.T<2.

〃2

pfflBfll?-----------------------------------------------------------------------

1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2H7,以后每分鐘比前1分

鐘多走1切，乙每分鐘走5%甲、乙開始運動后，相遇的時間為分鐘.

A.3B.7C.11D.14

【答案】：B

Y!(n—1)

【解析工設(shè)〃分鐘后第1次相遇，依題意得2〃+—A——+5n=70,整理得/+13〃-140=0,解得

w=7或〃=一20(舍去).

ab,、a,8

2、(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模)定義°[=ad-6c,已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且的=1,；%=0,

則%二()

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】C

【詳解】依題意得64=4q=d，

又名>0,所以%=8.

故選：C.

3、對于每一個正整數(shù)九，設(shè)曲線>=^+1在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為超,令an=lgxn,則

+〃2+…+〃99=?

【答案】：-2

【解析】：利用導數(shù)求得曲線y=/+i在點(1,1)處的切線方程為y=(〃+l)(x—1)+1,

即丁=(幾+1)元一幾，它與x軸交于點(x〃，0),則有(〃+1)%一九=0%=后子**.an=lgxn=Ign

—/g("+1),。1+。2+...+。99=(值1—Zg2)+(/g2—/g3)+...+(/g99—/glOO)=/gl—/glOO=—2.

4、（2022?江蘇南京市二十九中學高三10月月考）（多選題）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法-商功》

中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有

6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列則（）

A.4=12B.4+1=4+〃+1C.%00=5050D.2an+i=an-an+1

【答案】BC

幾(幾+1)

【解析】由題意知：%=La2=3,4=6,...,aH=an_x+n,故4=、？,，

二刊+憶此故A錯誤；

2

4+i=?！?〃+1，故B正確;

100x(100+1)市

Goo=-----------------=5050,故C正確；

2an+l=n(n+l),…二="〃+嗎/(”+9,顯然2。用/4”“+2，故D錯誤;

故選：BC

pQQQQl-------------------------------------------

考向一數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應(yīng)用

例1、（1）（2023?安徽黃山?統(tǒng)考三模）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗"疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn)保護項目，至今已有500多年的歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪

目，好看又壯觀.小明同學在研究數(shù)列｛%｝時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式4+2=4+】+4，（〃eN*）就可以利用“疊羅漢"

〃3~

的思想來處理，即&,如果該數(shù)列｛4｝的前兩項分別為％=1,g=2,其前〃項和

%=%+〃3=4+。2+。2+〃3

記為S.，若〃2023=根，則§2021=（）

2m—1

A.2mB.-----C.m+2D.m-2

2

【答案】D

【詳解】解：由4+2=4+1+%，（"?N*）得，%=4+2eN*）

所以§2021=〃2021+〃2020+〃2019++/+〃2+01

=（%023—“2022）+（2022—%021）+（%021-%020）+

+（%—。4）+（。4—%）+（%一%），

="2023〃2二2.

故選：D.

（2）（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）"埃拉托塞尼篩法"是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.這種方法

是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后

面的一個數(shù)3不動，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處理；......，

依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數(shù).在利用"埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數(shù)過程

中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.130B.132C.134D.141

【答案】B

【詳解】由題可知，2至I]20的全部整數(shù)和為1=19x（2+20）=209,

2

2至IJ20的全部素數(shù)和為邑=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為209-77=132.

故選：B.

（3）（2023?吉林?統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳"大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋

中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，

是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,

40,50,則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（）

A.22B.24C.25D.26

【答案】B

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛%｝,

[2—[C2_i72-1

當〃為奇數(shù)時，q=---=0,%=~-—=4,%=---=12,%=---=24,■

所以〃為奇數(shù)；

?2,4z"2Q2

當〃為偶數(shù)時，a2=—=2,a4=—=S,a6=—=18,<28=—=32,

九2

所以為=g,”為偶數(shù)數(shù)；

.252-1242?

所cc以r出5-a24=-----=24'

故選:B.

變式1、（1）（2022?青島期初考試）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，在這部著作中，許多數(shù)學問題都是

以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，

共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為

A.8B.11C.14D.16

【答案】B

【解析】由題意可知，這位公公9個兒子的年齡從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則可設(shè)年齡最小的兒子年齡為對，

則公差為d=3,由題意，59=9%+”一義I=9q+36*3=207,求得內(nèi)=11,即這位公公最年幼的兒子的

歲數(shù)為11,故答案選B.

（1）、（2022?湖北華中師大附中等六校開學考試聯(lián)考）《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學和數(shù)學著作，其書中

記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣號長損益相同（號是按照日影測定時刻的儀器，號長即為所測影子

的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其號長依次成等

差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這九個節(jié)氣的所有辱長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個節(jié)氣辱長之和為10.5

尺，則立秋的號長為（）

A.1.5尺B,2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為卬，公差為％根據(jù)題意列出方程組求解即可.

【詳解】?.?夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個節(jié)氣，其號長依次成

Sg=49.59al+36d=49.5=1.5

等差數(shù)列｛%｝,設(shè)其首項為對，公差為d,根據(jù)題意<

q+%+%=10.53q+6d=10.5d=1

，立秋的號長為%=L5+3=4.5.

故選：D

(3)、(2020屆山東實驗中學高三上期中)古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下的問題:"今有女子善織，日自

倍，五日織五尺，問日織幾何?"意思是:"一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織

布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要

()

A.6天B.7天C.8天D.9天

【答案】C

【解析】設(shè)該女子第一天織布X尺，

則x(l-25)=5,

1-2

解得x=9，

31

.??前九天織布的尺數(shù)為:媒(2"T)，

由1(2”-1)..30,得2"..187,

解得九的最小值為8.

故選：C.

考向二數(shù)列中的含參問題

例2、(2023?黑龍江?黑龍江實驗中學?？家荒?已知數(shù)列｛%｝前"項和S“=/,數(shù)列他,｝滿足

b”=---,neN,n>1;T.為數(shù)列也｝的前〃項和.若對任意的“eN,〃21,不等式建,<〃+9.(-1)”恒成立,

an'an+l

則實數(shù)幾的取值范圍為.

【答案】(-8,-24)

22

【解析】當〃=1時，4=E=1；當〃>2時，an=Sn-Sn_1=n-(n-l)=2n-l,將〃=1代入上式，可得

2xl-l=l=%,貝ljq=2〃一1,(〃￡N*)；

1

b=_______lp__u

n=

an-an+i(2M—l)(2n+l)2(2〃-12〃+l/

T111T1111)〃

〃2(3352n-l2n+lJ2(2n+l)2n+l

HOYI-I-1

代入不等式陽＜"+9-(-l)”,可得乎~-＜n+9-(-l)\整理可得彳＜(2〃+l)+9-(-l)"—^—,

2n+ln

2n+l9

當〃為偶數(shù)時，不等式為丸＜2〃+l+9--------=2〃+—+19,

nn

令仆)=2無+319,f，R_29_2上9_(缶一＞0x+3),

V7222

%xx、x

當xe殍,+co時，/^x)>0,則“同在,+8上單調(diào)遞增,

77

由于"4)=29.25＞27.5=〃2),故〃彳L=〃2)=27.5,此時九＜27.5；

2n+l9

當〃為奇數(shù)時，不等式為丸＜2〃+1—9--------=2n---17,

nn

尤一，一為奇數(shù)且無易知在(。,+⑹單調(diào)遞增，貝此時

令g(x)=217,(xeN*),g(x)Ug(xL=g6=—24,

九＜-24,

綜上所述,A＜-24.

故答案為：(F,-24)

變式1、(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測)已知等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差d>0,其前w項和S“滿足

S2s3=18.

(1)求公差d-

(2)是否存在正整數(shù)加，上使得。"+。”"2+冊+4++a,?+2k=30.

【解析】(1)因為S2s3=18,4=1,所以(2%+d)x33+d)=18,

所以(2+d)(l+d)=6,即相+3〃一4=0,解得：d=l^d=-4.

因為">0,所以d=l.

(2)法一：由(1)得，an^al+(n-l)d=n,

冊+聯(lián)+.+限L"聯(lián)3="產(chǎn)組=(m)(…)=3。,

攵=1時m=14；

左=2時〃2=8；

左=4時〃2=2；

左=5時機=0(舍)，

當％26時，m<0,不合題意；

?二滿足條件的左，根有三組.

法二：由(1)得，4=4+(〃-1)1=〃，

故「限++限廣&*域-包%3L(E)(i)=3。,

30

所以加+左=---GN*,且加+左之左+1,

k+1

fk=lfk=2[k=4-

所以左+1=2,3,5,所以i,。，,

[m=14[m=Q[m=2

存在滿足條件的匕羽有三組.

變式2、(2023?江蘇泰州?泰州中學?？家荒?已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4=1,且％,出，。5T成等比數(shù)

列.給定左eN*,記集合｛"kW4W2",〃eN*｝的元素個數(shù)為4.

⑴求4,。的值;

(2)求最小自然數(shù)w的值，使得伉+外+…+%>2022.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由外,出，4T成等比數(shù)列，得％(%T)=蠟，

lx(l+4d-l)=(l+d)2,解得d=l,所以。“="，

%=1時，集合｛九|14〃42,〃€?4*｝中元素個數(shù)為4=2,

左=2時，集合｛〃|2V〃V4,〃wN*｝中元素個數(shù)為為=3；

(2)由(1)知4=2'—4+1,

,,,,，/2(1-2-)〃(〃+1),…八n2,n

h+仇+…+仇=----------------\-n=2(2—1)-------1—，

12"1-2222

rjY)HH

”=10時，2(2"-1)——+-=2001<2022,鞏=11時，2(2"-1)——+—=4039>2022,

2222

記4=么+么++bn,顯然數(shù)列｛￡｝是遞增數(shù)列，

所以所求〃的最小值是H.

考向三數(shù)列中的“定義型問題”

例3、(2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模)定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列｛4｝,如果Q+i(i=l,2,3,…)為完全

平方數(shù)，則稱數(shù)列｛〃“｝具有"尸性質(zhì)"；不論數(shù)列｛4｝是否具有“尸性質(zhì)”，如果存在數(shù)列｛4｝與｛%｝不是同一

數(shù)列，且也｝滿足下面兩個條件：

(1)4,1也，…，〃是4,%，生，…，％的一個排列;

(2)數(shù)列也,｝具有"P性質(zhì)"，則稱數(shù)列｛4｝具有"變換尸性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：

①數(shù)歹U｛g｝的前〃項和s,=^(n2-l)；

②數(shù)列電｝:1,2,3,4,5；

③數(shù)列｛%｝：1,2,3,4,5,6.

具有"尸性質(zhì)”的為;具有"變換尸性質(zhì)"的為.

【答案】①②

2

【詳解】解：對于①，當”..2時,an=Sn-Sn_｝=n-n

1

%=0,an-n—n

2

?z.+z=z(f=1,2,3,…)為完全平方數(shù)

數(shù)列｛%｝具有“產(chǎn)性質(zhì)”；

對于②，數(shù)列1,2,3,4,5,具有“變換尸性質(zhì)”，數(shù)列｛〃』為3,2,1,5,4,具有“尸性質(zhì)”，.?.數(shù)

列｛%｝具有“變換尸性質(zhì)”；

對于③，6,1都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，,1,2,3,4,5,6,不具有“變換P性質(zhì)”.

故答案為：①；②.

變式1、(2022?江蘇如皋中學高三10月月考)己知數(shù)列滿足：4+i+4=2"+7(〃'N),且4=4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

[l,n=1,7

(2)已知數(shù)列也｝滿足：包=[oga,nN2,neN*'定義使4也也…%(丘N*)為整數(shù)k叫做“幸

、(n+2)n，

福數(shù)”，求區(qū)間[1,2021]內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.

【答案】⑴%=〃+3；(2)1349.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得為+1-。自=2,n>2,進而分奇、偶數(shù)項求通項公式，再合并即可得答案；

⑵根據(jù)題意得4也也…4=log/k+3),故設(shè)log/左+3)=w，meN*，則左=4'"—3，再解不等

式3<2021即可得區(qū)間［1,2021］內(nèi)的“幸福數(shù)”，再求和即可得答案.

【詳解】⑴14+i+a,=2〃+7①，，心2,an+an_1=2n+5@

當〃之2時，①-②得?！?1-a”T=2,

???｛4｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，且公差均為2,%=4,%=5

/.。2”-1=q+2（/-l）=2〃+2=2〃-l+3=>a“="+3（/2為奇數(shù)）

?2?=?2+2（〃-1）=2"+3=>q="+3（"為偶數(shù)）

an=n+3

1,n-\

⑵‘log（“+2）（〃+3）,n>2,neN"

bib2b3■■-bk=log45log56…log（it+2）（攵+3）=log4（^+3）

設(shè)log/左+3）=m,m^N*，.?.左=4.—3，

令3<2021nl<相<5，/.m=l,2,3,4,5

區(qū)間［1,2021］內(nèi)的“幸福數(shù)”為41—3，42—3，…，45-3

.??所有“幸福數(shù)”的和為.（1-4、_3x5=1349?

1-4

變式2、（2022?江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測）若數(shù)列｛詼｝中不超過向w）的項數(shù)恰為歷"（mGN*）,

則稱數(shù)列｛狐｝是數(shù)列｛斯｝的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)八力）是數(shù)列｛斯｝生成｛a｝的控制函數(shù).己知％=2”，且

數(shù)列｛歷,｝的前他項和S”，若330,則根的值為（）

A.9B.11C.12D.14

【答案】B

rvjm—1

【解析】由題意可知，當根為偶數(shù)時，可得2后出則bm=^；當根為奇數(shù)時，可得2危相一1,則配=丁，

1（.為奇數(shù)）］［22

所以a=j根，則當根為偶數(shù)時，Sm=bi+b2-\------Fa=］（1+2H-----^加）—1X，=詈，則詈=

［翔t為偶數(shù)）

（m+1）2m+1m2-l

因為M￡N*,所以無解；當相為奇數(shù)時，

30,Sm=bi+b2+-+bm=Sm+i-bm+i424

加2—1

所以1-=30,因為wGN*,所以，〃=11,故答案選B.

考向四數(shù)列與不等式等知識點的結(jié)合

例4（2023,安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列｛%｝中，4=1,凡是數(shù)列｛%｝的前〃項和，數(shù)列是公差

為1的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

111c

(2)證明：—+—++—<2

,1

【答案】（1）%=〃

（2）證明見解析

【詳解】（1）因為數(shù)列是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,

2S

所以r=2+("1>1="+1,則25“=(九+1)%,得2s“T="a,i("22),

a1tn

兩式相減得：2A?=(n+l)<7?-na為,一1，則口=-7

an-l幾7

a,,=2.噠..曰2?

[1=〃(n>2),

an_ian_2qn—1n—2

又4=1適合上式，故為=〃.

另解：由2q二(九+1)%―Mn_i得一^=〃-:(n>2),

nn-1

故｛組｝為常數(shù)列,

n

則組=?=1,故%=〃.

n1

+21_J_<2

n〃+l2H

變式1、（2023?江蘇蘇州?蘇州中學?？寄M預測）已知各項為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，若

4S“=a；+2a“+L

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

2o

⑵設(shè)a=——，且數(shù)列也J的前〃項和為（，求證：

anan+i3

【解析】（1）當年=1時,4%+2%+1,解得％=1；

當2時,由4S〃=a；+2%+l,得4s=a；i+2%+l,

兩式相減可得4〃〃=2+Q"_J,又a〃>0,

???瑪-2,即｛4｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

因此，｛2｝的通項公式為%=2〃-1；

/、7211

⑵證明：由⑴可知—，所以么=（2-1）（2〃+1）=罰一罰，

Tn=4+4++Z?=1-----1---------FH-------------------=1----------

3352n-l2n+l2n+l

因為；J>0恒成立，所以1<1,

2n+l

27

又因為卻聲而E]>。，所以｛1,｝單調(diào)遞增，所以（27；=4=；

2

綜上可得§<7；<1.

1、（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測）傳說國際象棋發(fā)明于古印度，為了獎賞發(fā)明者，古印度國王讓發(fā)明者自

己提出要求，發(fā)明者希望國王讓人在他發(fā)明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個格子放一粒，第

二個格子放兩粒，第三個格子放四粒，第四個格子放八粒……依此規(guī)律，放滿棋盤的64個格子所需小麥的

總重量大約為（）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）

A.105B.107C.1012D.1015

【答案】C

【解析】64個格子放滿麥粒共需匕之=？64-1,

1-2

1kg麥子大約20000粒，1噸麥子大約2x107粒，

,64-1,64,63,63

~~~-------=^,^—^=^263-1107=631g2-7=63x0.3-7=11.9,

2xl072xl07107107§

Q63

故選：c.

2、（2023?江蘇泰州?泰州中學?？家荒＃┬±钤?022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值。元

的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款

（2022年12月1日最后一次還款），月利率為按復利計算，則小李每個月應(yīng)還（）

蟲1+尸

A.AVI~~7兒B.

(1+r)-1(l+r)12-l

C〃(l+r)uD.a(l+r)”

n11

【答案】A

【解析】設(shè)每月還尤元，按復利計算，則有

x[l+（l+廠）+（1+AJ++（1+“。]=4（1+廠）”

tzr(l+r)H

解之得X=

"—一I

故選：A

3、（2023?湖南長沙?長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶?shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載："三

百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)則此人在第六天行走的路程是

__________里（用數(shù)字作答）.

【答案】6

【解析】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列｛凡｝,

?eN-,n<6,其公比q=g,令數(shù)列｛凡｝的前〃項和為凡,

貝K=378,而巢="“『）=嚕,

1一”

2

因此黑=378,解得q=192,

所以此人在第六天行走的路程&=qx5=6（里）.

故答案為：6

4、（2023?云南玉溪?統(tǒng)考一模）在①4=〃，②gM=4這兩個條件中選擇一個補充在下面的問題中，然后求解.

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d（deN*）,前"項和為S",等比數(shù)列也,｝的公比為q.已知

打=2,.%=100（說明：只需選擇一個條件填入求解，如果兩個都選擇并求解的，只按選

擇的第一種情形評分）

（1）請寫出你的選擇，并求數(shù)列｛4｝和也J的通項公式;

⑵若數(shù)列｛1｝滿足設(shè)&｝的前〃項和為1,求證：Tn<6.

,?(?-!),

【解析】（1）由題意知，a,=q+（wT）d,b'二姐『',S=naT--------u,

nl2

選①，由題意知，deN*,

b=q

x〃1=1

如=2?

2q+9d=204=1

<q=dnv

ci]d—2d=2'

10x9

10q+-^d=100q=2

nA=2-1,BP：=2/7-1,b=T-1

所以4=〃i+(〃-l)d=2〃-1,bn=bxqn

選②，由題意知，Jeb

a=%

〃1=1

bxq=2?2q+9d=20

4cn4仿=1

<qd=4?=>?

a,—2d=2'

1二

10x9,d[=2

10^+^—J=100

ni

所以％=%+(〃-l)d=2〃-1,bn=biq=2「即：an=2n-l,bn=2"-'

2〃一1

(2)證明：由(1)得c,二”,

.丁，35792n-l_

“"+友十寸+^rW，

1135792n-l

2n-2+27+2?+2?+2?++②，

T

J.11

----^x—

12n-l.9n22n-l2〃+3

①一②得：g(=2+g+J+.A-----_2上乙2~2

2〃-2=3

T一2〃T

1--

2

?T一62a+3

,,Tn-°一-?

又???對V〃eN*,^^>0恒成立,

:工<6.

5、（2023?云南?統(tǒng)考一模）記數(shù)列｛a/的前〃項和為7.，且％=1,?！?7；1（心2）.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

12n

(2)設(shè)機為整數(shù)，且對任意〃EN*,rn>—+—+-+—,求相的最小值.

【解析】(1)因為4=1，/=(T("N2),所以%=%=1,

當“22時，<2?+1=Tn=Tn_x+an=2an,故%=4-2"一？=2"一2(〃