第22講列方程解行程問題

教學(xué)目標(biāo)

與學(xué)習(xí)列方程的思想;

手利用列方程的思想解決行程問題;

學(xué)通過學(xué)生解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇

于探索的意志品質(zhì)。

知識梳理

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一、列方程解行程問題

很多稍復(fù)雜的應(yīng)用題，運(yùn)用算術(shù)方法解答有一定困難，列方程解答就比較容易。

二、解題策略

列方程解答行程問題的優(yōu)點(diǎn)是可以使未知道的數(shù)直接參加運(yùn)算，列方程

時(shí)能充分利用我們熟悉的數(shù)量關(guān)系。因此，對r一些較復(fù)雜的行程問題，我

們可以用題中已知的條件和所設(shè)的未知數(shù)，根據(jù)自己最熟悉的等量關(guān)系列出

方程，方便解題。

典例分析

例1、A、B兩地相距259千米，甲車從A地開往B地，每小時(shí)行38千米；半小時(shí)后，乙車從B地開往A

地，每小時(shí)行42千米。乙車開出幾小時(shí)后和甲車相遇？

【解析】我們可以設(shè)乙車開出后1?小時(shí)和甲車相遇。相遇時(shí)，甲車共行了38x(x+0.5)千米，乙車共行

了42x千米，用兩車行的路程和是259千米來列出方程，最后求出解。

解：設(shè)乙車開出X小時(shí)和甲車相遇。

38x(x+0.5)+42x=259

解得x=3

即：乙車開出3小時(shí)后和用車相遇。

例2、甲、乙兩地相距658千米，客車從甲地開出，每小時(shí)行￡8千米01小時(shí)后，貨車從乙地開出，每小

時(shí)行62千米。貨車開出幾小時(shí)后與客車相遇？

【解析】設(shè)，貨車開出x小時(shí)兩車相遇

(58+62)x=658-58

x=5

即：貨車開出5個(gè)小時(shí)兩車相遇。

例3、一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行20千米。到乙地后又以每小時(shí)30千米的速度返回甲地，往

返一次共用7.5小時(shí)。求甲、乙兩地間的路程。

【解析】如果設(shè)汽車從甲地開往乙地時(shí)用了x小時(shí)，則返回時(shí)用了(7.5-X)小時(shí)，由于往、返的路程是

一樣的，我們可以通過這個(gè)等量關(guān)系列出方程，求出x值，就可以計(jì)算出甲、乙兩地間的路程。

解：設(shè)去時(shí)用X小時(shí)，則返回時(shí)用(7.5-X)小時(shí)。

20x=30(7.5-x)

解得x=4.5

20x4.5=90(千米)

即：甲、乙兩地間的路程是90千米。

例4、汽車從甲地開往乙地送貨。去時(shí)每小時(shí)行30千米，返回時(shí)每小時(shí)行40千米，往返一次共用8小時(shí)

45分。求甲、乙兩地間的路程。

【解析】設(shè)甲乙兩地相距x千米

/30+x/40=8.75

4X/120+3X/120=8.75

7X/120=8.75

7x=120x875

x二150千米

例5、東、西兩地相距5400米，甲、乙二人從東地、丙從西地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每分鐘行55米，

乙每分鐘行60米，丙每分鐘行70米。多少分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點(diǎn)處？

【解析】設(shè)行了x分鐘，這時(shí)甲行50X米，乙行60X米，丙行70工米。甲和乙之間的距離可用60x-50X

表示，乙和丙之間的距離可用5400-70X-50x表示。由于這兩個(gè)距離相等，所以有60/-50x=5400-

70X-50X,求出此方程的解就得到所求問題。

解：設(shè)x分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點(diǎn)。

60x-50x=5400-70x-50x

解得x=40

即：40分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點(diǎn)。

例6、A、B、C三地在一條直線上，如圖所示：

ABC

A、B兩地相距2千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)向C地行走，甲每分鐘走35米，乙每分鐘走

45米。經(jīng)過幾分鐘B地在甲、乙兩人之間的中點(diǎn)處？

【解析】設(shè)經(jīng)過x分鐘B地在甲，乙兩人之間的中點(diǎn)

B地在甲，乙兩人之間的中點(diǎn)表示。

甲到B的距離二乙離B的距離

2000-35x=45x

解得x=25分鐘

例7、快、慢兩車同時(shí)從A地到B地，快車每小時(shí)行54千米，慢車每小時(shí)行48千米。途中快車因故停留

3小時(shí)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)B地。求A、B兩地間的距離。

【解析】我們可以設(shè)快車行駛了）小時(shí)，那么，慢車就行駛了"+3）小時(shí)，利用快、慢兩車所行的路程

相等這一關(guān)系，可以列出方程，通過解方程求出快車所行駛的時(shí)間，最后用“速度x時(shí)間二路程”這一關(guān)系

求出A、B兩地間的距離。

解：設(shè)快車行駛了X小時(shí)。

54X=48X（x+3）

解得x=24

54x24=1296（千米）

即：A、B兩地相距1296千米。

例8、甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米。二人同時(shí)從A地出發(fā)去B地，當(dāng)乙到達(dá)B地時(shí)，甲已在B地

停留了2分鐘。A地到B地的路程是多少米？

600+(300+120)x=1860

420x=1260

X=3

即小軍出發(fā)3+5=8分鐘后與小明相遇。

2、一架飛機(jī)所帶的燃料最多可用9小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，每小時(shí)可飛1500千米；返回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)可

飛1200千米。這架飛機(jī)最多飛多少千米就要往回飛？

【解析】設(shè)飛機(jī)最遠(yuǎn)可以飛行X/.\時(shí)，所以返回時(shí)可飛行9-X小時(shí)，因?yàn)橥档穆烦滔嗟?，因此有?/p>

1500X=1200(9-X)

解得X=4小時(shí)

所以飛機(jī)最多飛出1500x4=6000千米就需要返航。

3、東、西兩鎮(zhèn)相距60千米。甲騎車行完全程要4小時(shí)，乙騎車行完全程要5小時(shí)。現(xiàn)在兩人同時(shí)從東鎮(zhèn)

到西鎮(zhèn)去，經(jīng)過多少小時(shí)后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

【解析】設(shè)經(jīng)過X小時(shí)后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍

(60-60X/4)X4=60-60X/5

240-60X=60-12X

48X=180

X=3.75

即經(jīng)過3.75個(gè)小時(shí)后。

4、甲、乙二人同時(shí)從學(xué)校騎車出發(fā)去江邊，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行20千米。途中乙因修車停留

了24分鐘，結(jié)果二人同時(shí)到達(dá)江邊。從學(xué)校到江邊有多少千米？

【解析】假設(shè)甲走了x小時(shí)。

15x=(x-0.4)x20

15x=20x-8

X=1.6

即甲走了1.6小時(shí)。

5、小華在240米長的跑道上跑了一個(gè)來回，已知他前一半時(shí)間每秒跑6米，后一半時(shí)間每秒跑4米。求他

返回時(shí)用了多少秒。

【解析】因?yàn)殚_始速度快,所以在去時(shí)速度都為每秒跑6米，所以用了240+6=40(秒)

設(shè)返回用了X秒.則共用了40+X秒一半時(shí)間為(40+X)+2秒.

(40+X)-2x(6+4)=480

解得X=56

返回時(shí)用了56秒.

＞課后反擊

1、甲、乙兩地相距446千米，快、慢兩車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，快車每小時(shí)行68千米，慢車每小

時(shí)行35千米。中途慢車因修車停留半小時(shí)，求共經(jīng)過幾小時(shí)兩車在途中相遇。

【解析】假設(shè)共經(jīng)過x小時(shí)。

68x+35(x-0.5)=446-34

68x+35x-17.5=446

x=4.5

即共經(jīng)過4.5個(gè)小時(shí)。

2、師徒二人加工一批零件。師傅每小時(shí)加工35個(gè)，徒弟每小時(shí)加工28個(gè)。師傅先加工了這批零件的一半

后，剩下的由徒弟去加工。二人共用18小時(shí)完成了加工任務(wù)。這批零件共有多少個(gè)？

【解析】假設(shè)共有x個(gè)，則師傅完成x/2,徒弟完成x/2,

則師傅用時(shí)間為x/70,徒弟用時(shí)為x/56.

X/70+X/56=18

得K=560

即共有560個(gè)。

3、老師今年32歲，學(xué)生今年8歲。再過幾年老師的年齡是學(xué)生的3倍？

【解析】設(shè)再過x年

(32+x)/(8+x)=3

解得x=4

4、兄弟二人同時(shí)從家往學(xué)校走，哥哥每分鐘走90米，弟弟每分鐘走70米。出發(fā)1分鐘后，哥哥發(fā)現(xiàn)少帶

鉛篤盒，就原路返回，取后立即出發(fā)，結(jié)果與弟弟同時(shí)到達(dá)學(xué)校。他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

【解析】解:設(shè)他們家離學(xué)校X米

X/90=(X-70x2)/60

60X=90X-12600

30X=12600.

X=420

即他們離家420米。

5、甲、乙兩地相距205千米，小王開汽車從甲地出發(fā)，計(jì)