-9-使用拉格朗日插值法求解平面圖形面積案例分析目錄TOC\o"1-3"\h\u30905使用拉格朗日插值法求解平面圖形面積案例分析 1191301.1關(guān)于平面圖形的面積問題 18631.2關(guān)于立體圖形的體積問題 51.1關(guān)于平面圖形的面積問題作為規(guī)則圖形的代表，長(zhǎng)方形，三角形這些標(biāo)準(zhǔn)的圖形都有對(duì)應(yīng)的面積計(jì)算公式，所以咱們不必利用拉格朗日插值公式來求，即使可以求出來，也會(huì)有些舍近求遠(yuǎn)的意味，況且拉格朗日的適用情形本就是求大致的數(shù)值，規(guī)則圖形的面積我們都是可以求出精確的值的，所以也不必去求近似解。所以對(duì)于一個(gè)規(guī)則的平面圖形，我們的研究意義并不大，但是假如是一個(gè)特殊的平面圖形呢？假如我在一面白墻上隨手畫一個(gè)圖形，那么它的面積是多少呢？對(duì)于不規(guī)則的平面圖形的面積問題，我們是否可以通過拉格朗日插值公式進(jìn)行解決。整體的思路并不難：我們先求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行積分即可，以此方法我們可以求出很多平面圖形的面積。當(dāng)然，一樣只能求出它的近似解，但是也是令人振奮的。第一個(gè)困難是我們需要足夠多的數(shù)據(jù)，除了，還要有與之對(duì)應(yīng)的。在實(shí)際生活中哪有那么明顯的數(shù)值給你去測(cè)量呢？微積分的證明過程啟發(fā)了我，我們一樣可以將這個(gè)圖形分成很多小的矩形，如果把它的長(zhǎng)設(shè)為，寬設(shè)為的話。不難求出它的面積應(yīng)該為（4-1）緊接著便是第二個(gè)困難：如何計(jì)算這個(gè)圖形每一個(gè)位置的具體長(zhǎng)度？因?yàn)橹挥杏辛恕伴L(zhǎng)”，我們才能求出這個(gè)矩形的“寬”，進(jìn)而求出它的面積。數(shù)形結(jié)合的典范是平面直角坐標(biāo)系，如果能夠?qū)⒋藞D形完整的“放”進(jìn)平面直角坐標(biāo)系中，我們就可以求出每一個(gè)位置對(duì)應(yīng)的“長(zhǎng)”，這個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值我在后文中稱作“水平長(zhǎng)度”。假設(shè)這個(gè)圖形在區(qū)間上，我在選擇個(gè)點(diǎn)來求它們所對(duì)應(yīng)的“長(zhǎng)”，進(jìn)而求出它們所對(duì)應(yīng)的“寬”，在積分之后我們就可以很輕松的將圖形的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式求出來，進(jìn)而求出它的近似解。即：（4-2）這個(gè)思路對(duì)規(guī)則圖形也同樣使用，例，對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，我們?nèi)绾卫美窭嗜詹逯倒角笃涿娣e這個(gè)圖形計(jì)算起來的好處在于，它每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的“長(zhǎng)”和“寬”都相等，所以對(duì)于表示“寬”的函數(shù)就是一個(gè)定值，即（4-3）再在上求積分，得到面積，（4-4）符合長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。為了增強(qiáng)說服力，我們?cè)倥e一個(gè)規(guī)則圖形的例子，對(duì)于一個(gè)平行四邊形，我們假定它的底為，高為，并且其中一個(gè)夾角為45度，求解其面積。我們用面積公司算出的S為：S=5*3=15接下來再用拉格朗日插值公式去計(jì)算：在取得部分?jǐn)?shù)據(jù)之后我們填入表內(nèi)，如下表所示表4-1平行四邊形取點(diǎn)（3個(gè)）坐標(biāo)048垂直長(zhǎng)度030基函數(shù)為（4-5）QUOTEl2=x-0x-8(4QUOTEl3=(x-0)(x-4)(8-0)(8-4)=132x2-1的函數(shù)關(guān)系式為（4-8）然后再進(jìn)行積分，可得面積的大小為（4-9）之所以會(huì)有偏差，可能是取得數(shù)據(jù)還不夠多，所以精度會(huì)比較低，我們接下來試一下取5個(gè)點(diǎn)求出的面積表4-2平行四邊形取點(diǎn)（5個(gè)）X02468QUOTEYiYi02320計(jì)算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-10）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-11）這說明數(shù)據(jù)取得越多，我們解出的近似值會(huì)越接近準(zhǔn)確的值我們?cè)囈幌氯【艂€(gè)點(diǎn)的情況，數(shù)據(jù)填入下表表4-3平行四邊形取點(diǎn)（9個(gè)）X012345678QUOTEYiYi012333210計(jì)算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-12）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-13）為什么此時(shí)的精度反而降低了呢？說明之前取的9個(gè)點(diǎn)中有些點(diǎn)的數(shù)據(jù)過于離散，必須要取特定范圍內(nèi)的點(diǎn)才能保證求出的近似值和準(zhǔn)確值比較接近，我們第一次發(fā)現(xiàn)了拉格朗日插值法的缺點(diǎn)：并不是數(shù)據(jù)越多，求出的值就越接近準(zhǔn)確值。帶著這樣的疑問，我翻閱了很多學(xué)者的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)他們也遇到了同樣的情況：對(duì)于高次函數(shù)而言，并不是數(shù)據(jù)越多，精度越高。但是我也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)普遍的規(guī)律，取點(diǎn)的個(gè)數(shù)只要穩(wěn)定在6-10之間，得到的結(jié)果通常都是比較靠近準(zhǔn)確值的。接下來我們講講如何用拉格朗日插值法求不規(guī)則平面圖形的面積假定一個(gè)平面圖形，我們不知道它的形狀，只知道它的水平長(zhǎng)度為20。測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示。表4平面圖形的取點(diǎn)數(shù)據(jù)X02468101214161820QUOTEYiYi101381711131416101415計(jì)算方法和上文一致計(jì)算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-14）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-15）上述計(jì)算過程說明了，拉格朗日插值公式不僅對(duì)規(guī)則圖形成立，一樣也適用于求不規(guī)則圖形的面積。我們知道，無論是規(guī)則還是不規(guī)則，都還是屬于平面圖形的范疇，那能否用拉格朗日插值公式去計(jì)算曲面圖形的面積呢？我在嘗試之后發(fā)現(xiàn)在這個(gè)領(lǐng)域它的表現(xiàn)并沒有它在前兩個(gè)領(lǐng)域表現(xiàn)的那么突出，求出的面積的精準(zhǔn)度非常低，有些甚至差別特別大。對(duì)于這方面的文獻(xiàn)也比較少，期待之后能夠有人涉足這一部分的內(nèi)容。但總的來說這個(gè)方法在解決平面圖形的面積這個(gè)問題上還是有很大優(yōu)勢(shì)的。1.2關(guān)于立體圖形的體積問題上一節(jié)詳細(xì)說明了拉格朗日插值公式在求平面圖形的面積時(shí)的表現(xiàn)，作為補(bǔ)充，我會(huì)在本節(jié)中探討它在求立體圖形的體積時(shí)是否也依然有不錯(cuò)的表現(xiàn)。其實(shí)如果讀者仔細(xì)閱讀了文章就會(huì)發(fā)現(xiàn)，咱們之前就求過立體圖形的體積，在上文中處理儲(chǔ)水問題的時(shí)候，我們就已經(jīng)用拉格朗日插值公式去求過立體圖形的體積了。原理和之前一樣，我們只需要取得足夠多的數(shù)據(jù)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行積分，就可以求出相應(yīng)立體圖形的體積了。計(jì)算可以參考以下步驟：先測(cè)出此立體圖形的豎直高度再在一定范圍內(nèi)任意取點(diǎn)，得到與之對(duì)應(yīng)的平面面積取6-10個(gè)點(diǎn)之后，建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型函數(shù)關(guān)系式為，（4-16）其中QUOTElili基函數(shù)，關(guān)于此立體圖形的數(shù)值高度，QUOTEyiyi為特定高度所對(duì)應(yīng)的平面面積最后進(jìn)行積分（4-17）然后就可以求出此立體圖形的體積了，當(dāng)然，一樣也是近似值。本節(jié)重點(diǎn)探討了拉格朗日插值法在求圖形面積或者體積方面的表現(xiàn)，得出的結(jié)論是：拉格朗日插值