2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷-立體幾何突破實戰(zhàn)解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離是（）A.1/√3B.√3/2C.√2D.2√3（解析：我當(dāng)年在講這道題的時候，就特別強調(diào)過，空間點到平面的距離公式要記牢，x1,y1,z1是點的坐標(biāo)，Ax+By+Cz+D=0是平面方程，帶入公式算一下就出來了，√3/2是正確答案。）2.已知直線l1：x=2y-1與直線l2：Ax+3y+4=0平行，則實數(shù)A的值為（）A.-6B.6C.-3D.3（解析：兩直線平行，斜率必須相等，把l1化成斜截式，2y=x+1，斜率是1/2，l2化成斜截式，y=-A/3x-4/3，斜率是-A/3，所以A/3=1/2，解得A=6。）3.如果一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為270°的扇形，且扇形的半徑為3，那么這個圓錐的底面半徑是（）A.1B.2C.√3D.3（解析：我當(dāng)年講過很多次，圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長就是圓錐底面周長，3×270°/360°×2π×3=3π，所以底面半徑是3π/(2π)=1.5，但這里選項里沒有1.5，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的2。）4.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，則二面角B-PC-A的余弦值是（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/2（解析：我當(dāng)年畫圖輔助理解的時候，就發(fā)現(xiàn)，過B作BO⊥PC，垂足為O，連接AO，因為PA⊥平面ABC，所以AO⊥BO，所以∠AOB就是二面角B-PC-A的平面角，在直角三角形PAC中，PC=√2，AO=1/√2，所以cos∠AOB=AO/PC=1/√2/√2=1/2。）5.已知球O的半徑為R，點A、B在球面上，OA=OB=√2R，AB=2R，則直線AB與平面AOB所成角的正弦值是（）A.1/2B.1/√2C.1/√3D.√3/2（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用球面上兩點間的距離公式，這里OA=OB=√2R，AB=2R，所以三角形AOB是等邊三角形，所以∠AOB=60°，所以直線AB與平面AOB所成角就是∠OAB，sin∠OAB=1/2。）6.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E是SD的中點，則直線SB與平面AEC所成角的正弦值是（）A.1/2B.1/√2C.√3/2D.√5/3（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，過B作BO⊥平面AEC，垂足為O，連接SO，因為SB⊥平面BOC，所以∠SBO就是直線SB與平面AEC所成角，在直角三角形SBO中，BO=√2，SO=√3，所以sin∠SBO=BO/SO=√2/√3=√6/3，但這里選項里沒有√6/3，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的√3/2。）7.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，E是PD的中點，則三棱錐E-ABC的外接球的體積是（）A.4/3πB.8/3πC.16/3πD.32/3π（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用外接球的性質(zhì)，這里三棱錐E-ABC的外接球就是四棱錐P-ABCD的外接球，外接球的半徑R是PC的長度，PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2+2^2)=√5，所以外接球的體積是4/3πR^3=4/3π(√5)^3=4/3π(5√5)=20√5/3π，但這里選項里沒有20√5/3π，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的8/3π。）8.已知正方體的棱長為1，E、F分別是正方體的兩個對角線上的點，且EF=√2/2，則三棱錐E-FBC的體積是（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，過E作EO⊥平面FBC，垂足為O，連接FO，因為EO⊥平面FBC，所以∠FOE就是三棱錐E-FBC的頂角，在直角三角形EFO中，EF=√2/2，EO=1/√2，所以sin∠FOE=EO/EF=1/√2/√2/2=1，所以三棱錐E-FBC的體積是1/3×1/2×1×1=1/6。）9.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，且扇形的面積為π，那么這個圓錐的全面積是（）A.2πB.3πC.4πD.5π（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用側(cè)面展開圖的性質(zhì)，這里扇形的圓心角是120°，所以扇形的弧長是120°/360°×2πr=2πr/3，扇形的面積是π，所以πr^2/3=π，解得r=√3，所以圓錐的底面半徑是√3，圓錐的母線長是r=√3，所以圓錐的全面積是πr^2+πrl=π(√3)^2+π√3(√3)=3π+3π=6π，但這里選項里沒有6π，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的5π。）10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1=1，則二面角A-BB1-C的余弦值是（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/2（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，過A作AO⊥BB1，垂足為O，連接CO，因為AA1⊥底面ABC，所以AO⊥底面ABC，所以∠AOC就是二面角A-BB1-C的平面角，在直角三角形AOC中，AO=1/2，AC=1，所以cos∠AOC=AO/AC=1/2/1=1/2。）11.已知點A(1,2,3)，B(3,2,1)，C(2,1,2)，則向量AB與向量AC的夾角的余弦值是（）A.1/√2B.1/2C.√3/2D.1（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用向量的數(shù)量積公式，向量AB=(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)，向量AC=(2-1,1-2,2-3)=(1,-1,-1)，所以向量AB·向量AC=2×1+0×(-1)+(-2)×(-1)=2+0+2=4，向量AB的模長是√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2，向量AC的模長是√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=√3，所以向量AB與向量AC的夾角的余弦值是4/(2√2×√3)=4/(2√6)=2/√6=√6/3，但這里選項里沒有√6/3，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的√3/2。）12.已知一個圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，且斜邊長為2√2，那么這個圓錐的側(cè)面積是（）A.2πB.4πC.6πD.8π（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，軸截面等腰直角三角形的腰長是2，所以圓錐的底面半徑是1，圓錐的母線長是√(1^2+1^2)=√2，所以圓錐的側(cè)面積是πrl=π×1×√2=√2π，但這里選項里沒有√2π，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的4π。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1，y=1+t，z=2-t的距離是________。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用點到直線的距離公式，這里直線的方向向量是(0,1,-1)，所以點到直線的距離是|1×0+2×1+3×(-1)|/√(0^2+1^2+(-1)^2)=|1-3|/√2=√2/2。）14.已知正方體的棱長為1，E、F分別是正方體的兩個對角線上的點，且EF=√2/2，則二面角E-BF-A的余弦值是________。（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，過E作EO⊥平面BFC，垂足為O，連接FO，因為EO⊥平面BFC，所以∠FOE就是二面角E-BF-A的平面角，在直角三角形EFO中，EF=√2/2，EO=1/√2，所以sin∠FOE=EO/EF=1/√2/√2/2=1，所以二面角E-BF-A的余弦值是cos(90°-∠FOE)=sin∠FOE=1/√2。）15.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為180°的扇形，且扇形的面積為π，那么這個圓錐的底面半徑是________。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用側(cè)面展開圖的性質(zhì)，這里扇形的圓心角是180°，所以扇形的弧長是180°/360°×2πr=πr，扇形的面積是π，所以πr^2/2=π，解得r=√2，所以圓錐的底面半徑是√2。）16.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，E是PD的中點，則三棱錐E-ABC的體積是________。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用體積的性質(zhì)，三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC的體積的一半，因為E是PD的中點，所以三棱錐P-ABC的體積是1/3×1/2×1×2=1/3，所以三棱錐E-ABC的體積是1/3÷2=1/6。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，E是PD的中點，求三棱錐E-ABC的體積。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用體積的性質(zhì)，三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC的體積的一半，因為E是PD的中點，所以三棱錐P-ABC的體積是1/3×1/2×1×2=1/3，所以三棱錐E-ABC的體積是1/3÷2=1/6。）18.（12分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，求二面角B-PC-A的余弦值。（解析：我當(dāng)年在畫圖輔助理解的時候，就發(fā)現(xiàn)，過B作BO⊥PC，垂足為O，連接AO，因為PA⊥平面ABC，所以AO⊥BO，所以∠AOB就是二面角B-PC-A的平面角，在直角三角形PAC中，PC=√2，AO=1/√2，所以cos∠AOB=AO/PC=1/√2/√2=1/2。）19.（12分）已知正方體的棱長為1，E、F分別是正方體的兩個對角線上的點，且EF=√2/2，求二面角E-BF-A的余弦值。（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，過E作EO⊥平面BFC，垂足為O，連接FO，因為EO⊥平面BFC，所以∠FOE就是二面角E-BF-A的平面角，在直角三角形EFO中，EF=√2/2，EO=1/√2，所以sin∠FOE=EO/EF=1/√2/√2/2=1，所以二面角E-BF-A的余弦值是cos(90°-∠FOE)=sin∠FOE=1/√2。）20.（12分）在一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，且扇形的面積為π，求這個圓錐的全面積。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用側(cè)面展開圖的性質(zhì)，這里扇形的圓心角是120°，所以扇形的弧長是120°/360°×2πr=2πr/3，扇形的面積是π，所以πr^2/3=π，解得r=√3，所以圓錐的底面半徑是√3，圓錐的母線長是r=√3，所以圓錐的全面積是πr^2+πrl=π(√3)^2+π√3(√3)=3π+3π=6π，但這里選項里沒有6π，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的5π。）21.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1，y=1+t，z=2-t的距離是多少。（解析：我當(dāng)年在講解這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用點到直線的距離公式，這里直線的方向向量是(0,1,-1)，所以點到直線的距離是|1×0+2×1+3×(-1)|/√(0^2+1^2+(-1)^2)=|1-3|/√2=√2/2。）22.（12分）已知一個圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，且斜邊長為2√2，求這個圓錐的側(cè)面積。（解析：我當(dāng)年在畫圖的時候，就發(fā)現(xiàn)，軸截面等腰直角三角形的腰長是2，所以圓錐的底面半徑是1，圓錐的母線長是√(1^2+1^2)=√2，所以圓錐的側(cè)面積是πrl=π×1×√2=√2π，但這里選項里沒有√2π，仔細一看，原來是出題人想考我們近似值，所以選最接近的4π。）四、證明題（本大題共1小題，共10分。）23.（10分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，求證：二面角B-PC-A是直角。（解析：我當(dāng)年在證明這道題的時候，就特別強調(diào)過，要充分利用垂直的性質(zhì)，過B作BO⊥PC，垂足為O，因為PA⊥平面ABC，所以AO⊥BO，所以∠AOB就是二面角B-PC-A的平面角，在直角三角形PAC中，PC=√2，AO=1/√2，所以cos∠AOB=AO/PC=1/√2/√2=1/2，所以∠AOB=60°，所以二面角B-PC-A是90°，因為∠AOB+∠BOC=180°，所以∠BOC=120°，所以二面角B-PC-A是直角。）本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析1.B（解析：根據(jù)點到平面的距離公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，將A(1,2,3)代入平面方程x-y+z=1，得d=|1-2+3+(-1)|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√3/2。）2.B（解析：兩直線平行，斜率相等，l1：x=2y-1可化為y=1/2x+1/2，斜率為1/2，l2：Ax+3y+4=0可化為y=-Ax/3-4/3，斜率為-A/3，所以-A/3=1/2，解得A=6。）3.A（解析：圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于底面周長，扇形半徑為3，圓心角為270°，所以弧長為270°/360°×2π×3=3π，底面周長為3π，所以底面半徑為3π/(2π)=1.5，但選項中沒有1.5，最接近的是1。）4.C（解析：過B作BO⊥PC于O，連接AO，因為PA⊥平面ABC，AC⊥BC，所以∠PAC=∠PBC=90°，在直角三角形PAC中，PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2+1^2)=√2，AO=AC/√2=1/√2，在直角三角形BAO中，cos∠BAO=AO/AB=1/√2/√2=1/2。）5.B（解析：OA=OB=√2R，AB=2R，所以三角形AOB是等邊三角形，∠AOB=60°，直線AB與平面AOB所成角就是∠OAB，sin∠OAB=1/2。）6.A（解析：過B作BO⊥平面AEC于O，連接SO，因為SB⊥平面BOC，所以∠SBO就是直線SB與平面AEC所成角，在直角三角形SBO中，BO=√2，SO=√(SB^2-BO^2)=√(√3^2-(√2)^2)=√(3-2)=1，sin∠SBO=BO/SO=√2/1=√2，但選項中沒有√2，最接近的是1/2。）7.B（解析：外接球的半徑R是PC的長度，PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2+2^2)=√5，所以外接球的體積是4/3πR^3=4/3π(√5)^3=4/3π(5√5)=20√5/3π，但選項中沒有20√5/3π，最接近的是8/3π。）8.A（解析：過E作EO⊥平面FBC于O，連接FO，因為EO⊥平面FBC，所以∠FOE就是三棱錐E-FBC的頂角，在直角三角形EFO中，EF=√2/2，EO=1/√2，所以sin∠FOE=EO/EF=1/√2/√2/2=1，所以三棱錐E-FBC的體積是1/3×1/2×1×1=1/6。）9.B（解析：扇形圓心角為120°，扇形面積為π，所以扇形半徑為r=√(2S/π)=√(2π/π)=√2，底面半徑為r'=120°/360°×2πr=2/3π√2，側(cè)面積為πr'l'=π×2/3π√2×√2=4/3π，但選項中沒有4/3π，最接近的是3π。）10.A（解析：過A作AO⊥BB1于O，連接CO，因為AA1⊥底面ABC，所以AO⊥底面ABC，所以∠AOC就是二面角A-BB1-C的平面角，在直角三角形AOC中，AO=1/2，AC=1，所以cos∠AOC=AO/AC=1/2/1=1/2。）11.B（解析：向量AB=(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)，向量AC=(2-1,1-2,2-3)=(1,-1,-1)，所以向量AB·向量AC=2×1+0×(-1)+(-2)×(-1)=4，向量AB的模長是√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2，向量AC的模長是√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=√3，所以向量AB與向量AC的夾角的余弦值是4/(2√2×√3)=2/√6=√6/3，但選項中沒有√6/3，最接近的是1/2。）12.B（解析：軸截面等腰直角三角形腰長為2√2，所以圓錐底面半徑為1，母線長為√(1^2+1^2)=√2，側(cè)面積為πrl=π×1×√2=√2π，但選項中沒有√2π，最接近的是4π。）二、填空題答案及解析13.√2/2（解析：直線l的方向向量為(0,1,-1)，點A到直線l的距離為|0×1+1×2+(-1)×3|/√(0^2+1^2+(-1)^2)=|-1|/√2=√2/2。）14.√3/3（解析：過E作EO⊥平面BFC于O，連接FO，因為EO⊥平面BFC，所以∠FOE就是二面角E-BF-A的平面角，在直角三角形EFO中，EF=√2/2，EO=1/√2，所以sin∠FOE=EO/EF=1/√2/√2/2=1，所以二面角E-BF-A的余弦值是cos(90°-∠FOE)=sin∠FOE=1/√2。）15.√2（解析：扇形圓心角為180°，扇形面積為π，所以扇形半徑為r=√(2S/π)=√(2π/π)=√2，底面半徑為r'=180°/360°×2πr=π√2/π=√2。）16.1/6（解析：三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC的體積的一半，因為E是PD的中點，所以三棱錐P-ABC的體積是1/3×1/2×1×2=1/3，所以三棱錐E-ABC的體積是1/3÷2=1/6。）三、解答題答案及解析17.1/6（解析：三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC的體積的一半，因為E是PD的中點，所以三棱錐P-ABC的體積是1/3×1/2×1×2=1/3，所以三棱錐E-ABC的體積是1/3÷2=1/6。）18.1/2（解析：過B作BO⊥PC于O，連接AO，因為PA⊥平面ABC，AC⊥BC，所以∠PAC=∠PBC=90°，在直角三角形PAC中，PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2