等和線的應(yīng)用如圖，平面內(nèi)一組基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R）.若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于AB的直線上，且k＝｜OP｜｜OF｜＝｜OB1｜｜OB｜＝｜OA1｜｜OA（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；（2）當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈（0，1）；（3）當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈（1，＋∞）；（4）當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0.【例】（2024·武漢一模）給定兩個(gè)長度為3的平面向量OA和OB，它們的夾角為2π3，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是答案：2解析：如圖所示，設(shè)x＋y＝k，則直線AB為k＝1的等和線，所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心O最遠(yuǎn)，即此時(shí)k取得最大值，易知OE⊥AB，∵OA＝3，∠AOB＝2π3，∴OE＝32，則k＝｜CO｜｜OE｜＝33點(diǎn)評利用等和線求基底系數(shù)和的步驟：①確定值為1的等和線；②平移該線，作出滿足條件的等和線；③從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算滿足條件的等和線的值.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且｜OA｜＝｜OB｜＝1，｜OC｜＝23.若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），則λ＋μ＝.答案：6解析：如圖，根據(jù)等和線定理可得｜OC｜｜OD｜＝k＝λ＋μ，k＝｜OC｜｜OD｜＝1.如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是（）A.AP＝13AB B.AQC.BP＝－23AB D.AQ解析：D由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯(cuò)誤.2.給出下列命題其中正確的為（）A.向量AB的長度與向量BA的長度相等B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C.｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜?a與b方向相反D.若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同解析：A對于A，向量AB與向量BA的長度相等，方向相反，命題成立；對于B，當(dāng)a＝0時(shí)，不成立；對于C，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，不成立；對于D，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＋b的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同.3.已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在線段AB上 B.點(diǎn)P在線段BC上C.點(diǎn)P在線段AC上 D.點(diǎn)P在△ABC外部解析：C由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故點(diǎn)P在線段AC上.4.（2024·重慶一模）在△ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且AM＝12MC，N是BM上一點(diǎn)，若AN＝19AC＋mBC，則實(shí)數(shù)mA.－13 B.－1C.16 D.解析：D由AM＝12MC，得出AC＝3AM，由AN＝19AC＋mBC得AN＝19AC＋m（AC－AB）＝（19＋m）AC－mAB＝（13＋3m）AM－mAB，因?yàn)锽，N，M三點(diǎn)共線，所以（13＋3m）＋（－m）＝5.（多選）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（）A.AB＋AD＝ACB.AB＋CD＋DO＝OAC.AB＋AD＋CD＝ADD.AC＋BA＋DA＝0解析：ACD對于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則AB＋AD＝AC，故A正確；對于B，在平行四邊形ABCD中，CD＝－AB，則AB＋CD＋DO＝DO≠OA，故B錯(cuò)誤；對于C，AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD，故C正確；對于D，在平行四邊形ABCD中，CD＝BA，AC＋BA＋DA＝DA＋AC＋BA＝DC＋BA＝0，故D正確.故選A、C、D.6.（多選）已知4AB－3AD＝AC，則下列結(jié)論中正確的有（）A.A，B，C，D四點(diǎn)共線 B.C，B，D三點(diǎn)共線C.｜AC｜＝｜DB｜ D.｜BC｜＝3｜DB｜解析：BD因?yàn)?AB－3AD＝AC，所以3AB－3AD＝AC－AB，所以3DB＝BC，因?yàn)镈B，BC有公共端點(diǎn)B，所以C，B，D三點(diǎn)共線，且｜BC｜＝3｜DB｜，所以B、D正確，A錯(cuò)誤；由4AB－3AD＝AC，得AC＝3AB－3AD＋AB＝3DB＋AB，所以｜AC｜≠｜DB｜，所以C錯(cuò)誤.7.設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝.答案：1解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則λ＝μ，1=2μ，解得8.若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，則｜AB＋AC｜＝.答案：23解析：因?yàn)椋麬B｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以｜AB＋AC｜為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以｜AB＋AC｜＝23.9.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若BC＝a，BA＝b，BE＝3EF，則BF＝（）A.1225a＋925b B.1625aC.45a＋35b D.35a解析：B由題得BF＝BC＋CF＝BC＋34EA＝BC＋34（EB＋BA）＝BC＋34（－34BF＋BA），解得BF＝1625BC＋1225BA，即10.（2024·西安模擬）如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)AP＝λAF＋μAB（λ，μ∈R），則λ＋μ的取值范圍是（）A.［32，4］ B.[3，4C.［32，52］ D.［3解析：B直線BF為k＝1的等和線，當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的等和線，過D點(diǎn)的等和線是最遠(yuǎn)的，所以λ＋μ∈［ANAM，ADAM］.設(shè)正六邊形的邊長為2，則AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4].11.（多選）點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，則△ABC可能是（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解析：BC因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，所以｜CB｜－｜（PB－PA）＋（PC－PA）｜＝0，即｜CB｜＝｜AB＋AC｜，所以｜AB－AC｜＝｜AC＋AB｜，等式兩邊平方并化簡得AC·AB＝0，所以AC⊥AB，A＝90°，則△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形.12.（多選）設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)B.若AM＝2AB－AC，則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C.若AM＝－BM－CM，則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△MBC的面積是△ABC面積的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，則點(diǎn)M在邊CB的延長線上，故B錯(cuò)誤；若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，設(shè)AN＝2AM，則AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可得B，N，C三點(diǎn)共線.又M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的113.直線l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，O是直線l外一點(diǎn)，對于向量OA＝（1－cosα）OB＋sinαOC（α是銳角）總成立，則α＝.答案：45°解析：因?yàn)橹本€l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得BA＝λBC，所以O(shè)A－OB＝λ（OC－OB），即OA＝（1－λ）OB＋λOC，所以1－λ=1－cosα，λ＝sinα，所以sinα14.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是.答案：［0，12解析：由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因?yàn)锳E＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因?yàn)?≤λ≤1，