第三章代數(shù)式

一、本節(jié)知識框架

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二、本節(jié)知識梳理

1、代數(shù)式

（1）定義：用運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成

的式子叫做o單獨(dú)的一個或一個__________也是代數(shù)式。

注意：

①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不含有“=、＞、＜、W”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號

兩邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式有意義，是實(shí)際問題的要符合實(shí)際問題的

意義。

2、代數(shù)式的書寫格式

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常不寫，如此

②數(shù)字與字母相乘時，，如4“；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成，如2-xa應(yīng)寫作,a；

33

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“X”號，即“X”號不省略；

4

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時，一般寫成分?jǐn)?shù)的形式，如4+Q-4）應(yīng)寫作——；注意:

a—4

分?jǐn)?shù)線具有“小”號和括號的雙重作用。

⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在

式子的后面，如標(biāo)-廿平方米。.

3、代數(shù)式的值

（1）整體思想：就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，把,把握它們之間的關(guān)

聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理.

（2）根據(jù)條件進(jìn)行求值時，我們可以根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，構(gòu)造出條件中含有

的模型，然后整體代入，從整體上把握解的方向和策略，從而使復(fù)雜問題簡單化..

三、本節(jié)知識精練

一、單選題

1.下列各式符合代數(shù)式書寫規(guī)范的是（）

A.—laB.2nC.2m—1個D.3：孫

2.用代數(shù)式表示〃與人差的平方，正確的是()

22222

A.a-bB.(a-&)C.a-bD.a-b

3.某種商品打六折后為加元，則原價可以表示為（）

、m一八m一

A.60%加元B.40%加元C.-----兀D.-------兀

40%60%

4.代數(shù)式7x的意義可以是（）

A.7與尤的和B.7與x的差

C.7與x的商D.7與x的積

5.用式子表示：a的平方與6的平方之和減去它們的積的2倍，正確的是（）

A.ci2+b"-2abB.(a+b)--2ab

C.(^a+by+2abD.2(/+/-2")

試卷第2頁，共4頁

6.當(dāng)x=-l時，代數(shù)式l-3x的值是()

A.-4B.-2C.2D.4

7.已知代數(shù)式3y2-2y+6的值是8,那么6y?-4y+l的值是()

A.2B.3C.4D.5

8.己知a、6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，貝i|a+6-3cd的值為()

A.0B.1C.-3D.3

9.如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開始輸入的x的值為2,結(jié)果輸出的是1,返回進(jìn)

行第二次運(yùn)算，則輸出的是則第2024次輸出的結(jié)果是()

A.-6B.-4C.-1D.-2

10.某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)。億元，假設(shè)二月、三月產(chǎn)值一直增長，設(shè)月平

均增長率是無，則第一季度的總產(chǎn)值是()億元.

A.a(l+x)2B.a(d+3x+3)

C.a(l+x)+a(l+x)2D.at(x+2)

二、填空題

11.已知a+6=3,ab=5,貝!+.

12.小敏上年收入。元，今年是去年收入的3倍還多20元，今年收入元.

13.判斷反比例關(guān)系：下列各組的兩個變量間成反比例關(guān)系的是(填序號).

①銷售單價一定時，銷售總價與銷售數(shù)量的關(guān)系；

②等腰三角形的周長一定時，它的底邊與腰長；

③三角形的面積一定時，它的一邊長與該邊上的高；

④圓的周長與它的半徑.

14.下列式子：①x+y；②q”；③一個2；④一g加2,其中格式書寫正確的是(填序

號).

15.已知多項(xiàng)式依5+加+8,若x=l時，該多項(xiàng)式的值為-2,則當(dāng)x=-l時該多項(xiàng)式的值

為_______

三、解答題

16.若。，6互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，機(jī)的絕對值為2.

⑴直接寫出a+6=_,cd=_,m=_；

(2)求m-cd+巴a的值.

m

17.如圖，在Rt^ABC中，?B90?,邊2c的長為8cm,AB的長為6cm，點(diǎn)。在邊BC上,

且的長為xcm,連接AD,AACD的面積記為y(單位：cm2).

⑴求AACD的面積y(單位：cm2)與尤之間的關(guān)系式；

⑵當(dāng)x=4時，AACD的面積為多少？

18.學(xué)校要開展羽毛球比賽，現(xiàn)決定要購買一批羽毛球拍和羽毛球，據(jù)了解商城有甲、乙兩

家文體批發(fā)店，批發(fā)某品牌羽毛球拍和羽毛球，已知兩家商店的定價一樣，羽毛球拍每副定

價300元，羽毛球每盒定價60元.雙十一促銷活動期間，甲、乙兩店批發(fā)均有優(yōu)惠：

甲店：羽毛球拍和羽毛球都按定價的九折付款.

乙店：購買一副羽毛球拍贈送一盒羽毛球，其余按原價銷售.

現(xiàn)學(xué)校派王老師去購買x(xNl)副羽毛球拍，且購買的羽毛球盒數(shù)比球拍數(shù)的4倍多5.

(1)若去甲店購買，需付款一元，若去乙店購買，需付款一元(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)若x=10且僅能在一家店購買，請通過計(jì)算說明到哪家店購買較為合算？

19.“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法,在多項(xiàng)式化簡與求值中應(yīng)用廣泛.

⑴把(尤看成一個整體，將2(尤-?-5(尤-?+合并的結(jié)果是

(2)已知/+q=1,貝I]2a2+2a+2020=;

o

(3)已知。2-lab=-5,ab+2〃=-3,求代數(shù)式3合一$+3廿的值.

試卷第4頁，共4頁

第三章代數(shù)式

1.B

【分析】本題考查整式的書寫規(guī)范，熟練掌握整式的書寫規(guī)范是解題的關(guān)鍵.根據(jù)代數(shù)式的

書寫規(guī)則逐一判斷各選項(xiàng)是否符合要求即可.

【詳解】解：A、選項(xiàng)-la中，數(shù)字與字母相乘時，系數(shù)為1或-1時應(yīng)省略1,正確寫法

為-a,故選項(xiàng)A錯誤，不符合題意；

B、選項(xiàng)2〃符合數(shù)字在前、字母在后的規(guī)范，且省略乘號，書寫正確，故選項(xiàng)B正確，符

合題意；

C、選項(xiàng)2加-1個中，代數(shù)式后接單位時需用括號括起，應(yīng)寫作(2m-1)個，故選項(xiàng)C錯誤，

不符合題意；

D、選項(xiàng)3：孫中，帶分?jǐn)?shù)應(yīng)化為假分?jǐn)?shù)g,正確寫法為為移，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題

故選：B.

2.B

【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；、與6差的平方”指先

求a減6的差，再將這個差整體平方，即

【詳解】解：A.4b3這是平方差公式的結(jié)果，表示。的平方減去6的平方，而非差的平

方，錯誤，不符合題意；

B.(fl-/;)2：表示先求差再平方，正確，符合題意；

C.a2-b：僅對。平方后減去6,未對差整體平方，錯誤，不符合題意；

D.a-b2：表示。減去6的平方，運(yùn)算順序錯誤，錯誤，不符合題意；

故選：B.

3.D

【分析】本題考查了列代數(shù)式.根據(jù)加元相當(dāng)于原價的60%,即可列式表達(dá)原價，解題的

關(guān)鍵是讀懂題意，列出代數(shù)式.

【詳解】解：???商品打六折后為加元，

二原價可以表示為考7元，

60%

故選：D.

答案第1頁，共8頁

4.D

【分析】本題考查代數(shù)式的基本意義.

根據(jù)代數(shù)式的書寫形式判斷其對應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系即可.

【詳解】解：代數(shù)式7x表示7與x相乘，即7與x的積，

故選：D.

5.A

【分析】此題考查了列代數(shù)式，區(qū)分清楚平方和與和的平方是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，將％的平方與b的平方之和減去它們的積的2倍”轉(zhuǎn)化為代數(shù)式即可.

【詳解】解：。的平方與b的平方之和減去它們的積的2倍用式子表示為/+/一2".

故選：A.

6.D

【分析】本題考查了代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算.如果給出的代數(shù)式

可以化簡，要先化簡再求值.把x=-l代入原式，然后利用乘方的意義進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：當(dāng)x=—l時，l—3x=l—3x(-L)=l-(-3)=4.

故選D.

7.D

【分析】該題考查了代數(shù)式求值，由已知代數(shù)式3V-2y+6=8,可求出3y?一2y的值，再

將其代入目標(biāo)代數(shù)式6y2一4y+1中計(jì)算即可.

【詳解】解：由已知條件3y2_2y+6=8,移項(xiàng)得：3/-2y=8-6=2,

代數(shù)式6/-4y+l可變形為：6/一4>+1=2(39—2y)+l,

將3y=2y=2代入,得：2x2+l=4+l=5,

因此，代數(shù)式6/一分+1的值為5,

故選：D.

8.C

【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，相反數(shù)和倒數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義，得

出。+匕=0,cd=1,代入代數(shù)式計(jì)算即可.

【詳解】解：6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，

答案第2頁，共8頁

??a+b=0,cd—1,

??a+b—3cd=0—3x1=—3.

故選：C.

9.B

【分析】本題主要考查了代數(shù)式的求值，理解程序中的框圖以及能找到輸出值的規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

把％=2代入程序中計(jì)算，以此類推得到一般性的規(guī)律，即可確定出第2024次輸出的結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)％=2時，

第1次的輸出結(jié)果為［x2=l,

第2次的輸出結(jié)果為1-5=T,

第3次的輸出結(jié)果為gx(_4)=_2,

第4次的輸出結(jié)果為:x(-2)=-l,

第5次的輸出結(jié)果為-1-5=-6,

第6次的輸出結(jié)果為gx(-6)=-3,

第7次的輸出結(jié)果為-3-5=-8,

第8次的輸出結(jié)果為白(-8)=-4,

.......f

??.從第二次的結(jié)果開始，每6次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)一次，

?1-(2024-1)+6=337...1,

???第2024次的結(jié)果與第2次的結(jié)果一樣，

.?.第2024次輸出的結(jié)果是-4.

故選B.

10.B

【分析】本題考查了列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)月平均增長率分別計(jì)算各月產(chǎn)值，再

求和得到第一季度總產(chǎn)值即可.

【詳解】解：?.?一月份產(chǎn)值為。億元，

，二月份產(chǎn)值為。(1+X)億元，三月份產(chǎn)值為。(1+%)2億元，

，第一季度總產(chǎn)值為:

答案第3頁，共8頁

a+a(l+x)+a(l+無)2

=a[1+(1+x)+(1+x)2]

=a(l+l+尤+l+2x+x~)

=a^x2+3x+3).

故選：B.

11.15

【分析】根據(jù)a%+仍2=必(。+3，代入求值即可.

本題考查了整體思想求代數(shù)式的值，熟練掌握代數(shù)式的值計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：a2b+ab2=ab[a+b^

a+b-3,ab=5,

a2b+ab2=ab(a+b)=3x5=15,

故答案為：15.

12.(3a+20)

【分析】此題考查了列代數(shù)式.小敏上年收入a元，今年是去年收入的3倍還多20元，據(jù)

此列出代數(shù)式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，今年收入為(3a+20)元，

故答案為：(3。+20)

13.③

【分析】本題考查反比例關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩個變量的乘積一定時，這兩個變量成反

比例關(guān)系；

根據(jù)成反比關(guān)系的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：銷售單價一定時，銷售總價與銷售數(shù)量成正比例關(guān)系，故①不符合題意；

等腰三角形的周長一定時，它的底邊與腰長不成反比例關(guān)系，故②不符合題意；

三角形的面積一定時，它的一邊長與該邊上的高成反比例關(guān)系，故③符合題意；

圓的周長與它的半徑成正比例關(guān)系，故④不符合題意；

故答案為：③.

答案第4頁，共8頁

14.③④/④③

【分析】本題考查了代數(shù)式的書寫要求，①在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號通常簡寫成“,”或省略不

寫；②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字要寫在字母的前面；③在代數(shù)式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按

照分?jǐn)?shù)的寫法來寫；④帶分?jǐn)?shù)要寫成假分?jǐn)?shù)的形式.

Y

【詳解】①x+y應(yīng)表示為一，故書寫錯誤；

y

14

②應(yīng)表示為1明故書寫錯誤；

③-孫二書寫正確；

@--ba2,書寫正確，

2

故答案為：③④.

15.18

【分析】本題考查了代數(shù)式的值，根據(jù)題意得至!ja+b+8=—2即a+b=-10,整體代入計(jì)算

即可.

【詳解】解：多項(xiàng)式G5+法3+8,當(dāng)》=1時，該多項(xiàng)式的值為一2；

***a+b+8=—2,

??a+b=—10,

x——1時，cve'++8——a—Z?+8=—(a+b)+8=18,

故答案為：18.

16.(1)0,1,±2

(2)1或-3

【分析】(1)根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0,互為倒數(shù)的積為1,絕對值的意義即可解

答；

(2)將(1)的相關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：???〃，人互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，加的絕對值為2,

/.a+〃=0,cd=Lm=±2,

故答案為：0,1,±2.

(2)當(dāng)a+b=0,cd=1,m=2時，7-cd+"+”=2-1+0=1,

m

當(dāng)a+b=0,cd=1,相=-2時，m-cd+a+^=-2-1+0=-3,

m

答案第5頁，共8頁

二根-4+叱的值為1或-3.

m

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、代數(shù)式求值等知識，掌握分類討論思想是解題

的關(guān)鍵.

17.⑴y=24—3x

（2）12cm2

【分析】本題主要考查列代數(shù)式和求代數(shù)式的值，理解題意是解答本題的關(guān)鍵.

（1）求出C。，根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（2）把x=4代入（1）中解析式求解即可.

【詳解】（1）解：因?yàn)?C=8cm,AB=6cm,BD=xcm,

所以CD==（8—x）cm,

所以LACO=g8.AB=g（8_;c）x6=24_3x,^\]y=24-3x,

所以AACD的面積y與x之間的關(guān)系式為y=24-3x.

（2）解：當(dāng)無=4時，得'=24-3x4=12,

所以當(dāng)x=4時，AACD的面積為12cm2.

18.（1）486%+270,480%+300；

（2）到乙店購買較為合算.

【分析】本題考查列代數(shù)式及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出去甲店購買和去乙

店購買付款的代數(shù)式.

（1）根據(jù)題意，分別列出去甲店購買和去乙店購買付款的代數(shù)式即可；

（2）將x=10代入計(jì)算、比較，即可得到答案.

【詳解】（1）解：購買x支羽毛球拍，購買的羽毛球盒數(shù)是羽毛球拍數(shù)的4倍多5,

購買的羽毛球盒數(shù)是4x+5,

去甲店購買，x支羽毛球拍（x'l）需付款300x2.