第12講傾斜角與斜率5種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V-------

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的

直線斜率的計(jì)算公式.

||磨基礎(chǔ)知識1

------------------IIIIII1III1IIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點(diǎn)1直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

當(dāng)直線I與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線I向上的方向之間所成的角a

叫做直線/的傾斜角.如圖所示，直線/的傾斜角是NAPx,直線的傾,斜角

是NBPx.7A

。X-

2.傾斜角的范圍

直線的傾斜角a的取值范圍是0°<?<180°,并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角

為0°.

注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角

②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線

知識點(diǎn)2直線的斜率

1.斜率的定義

一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示，即Qtana

(aw90°).

2.斜率公式

經(jīng)過兩點(diǎn)尸1(%1,y1),尸2(]2,p2)(%1#X2)的直線的斜率公式為％=含2^?當(dāng)％1=%2時，直線

P1P2沒有斜率.

注：①若直線/經(jīng)過點(diǎn)P1Q1,V）,尸2（X2,”）（X#X2）,則直線P1P2的方向向量下k的坐標(biāo)為

（X2-xi,yi-y\）,也可表示為（1,k）,其中左=；_；.

②傾斜角。不是90。的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)斗=々時，直

線與x軸垂直，直線的傾斜角0=90。，斜率不存在；當(dāng)％=為時，斜率左=0，直線的傾

斜角。=0。，直線與x軸重合或者平行

③斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換

知識點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系

傾斜角a

。=0°0°<a<90°。=90°90°<?<180°

（范圍）

斜率k

k=0k>0人不存在k<Q

（范圍）

j豳解題策略

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIII-----------------------

1'求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意

⑴方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

⑵兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時，傾斜角為

90°.

②注意直線傾斜角的取值范圍是0°<?<180°.

2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)

⑴運(yùn)用公式的前提條件是“X1WX2”，即直線不與X軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與X軸垂直時，斜率

是不存在的；

⑵斜率公式與兩點(diǎn)P,P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的XI與X2,V與V可以同時交換

位置.

3、在0°^a<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.

傾斜角a0°30°4560°120°135150°

OO

斜率左01-1—近

一事3

4、斜率與傾斜角的關(guān)系

（1）由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍）利用定義式上=tana（aW90°）解決.

（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式左=”一義（%12初）求解.

X2—X1

Q考點(diǎn)剖析

--------------llllllllllllllllllllilllllllllllllllllill-----------------------

考點(diǎn)一：求直線的傾斜角

亡]例1.（2023秋?江西九江?高二校考階段練習(xí)）直線的傾斜角a的取值范圍是（

)

A.（0,K）B.[0,?t）C.（0,7t]D.[0,7t]

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若夕是直線/的傾斜角，則0。＜。＜180。；

②若直線傾斜角為a,則它斜率左=tana；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一

直線都有斜率，但不一定有傾斜角.其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2023春?上海黃浦?高二格致中學(xué)校考期中）若直線/的一個方向向量為卜1,6）,則它

的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線乙的傾斜角4=15。，直線4與4的交點(diǎn)為A,直

線4和4向上的方向所成的角為120。，如圖，則直線4的傾斜角為.

變式4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）如圖，直線/的傾斜角為（)

A.60°B.120°

C.30°D.150°

變式5.【多選】（2023秋?高二課時練習(xí)）若直線I與x軸交于點(diǎn)A,其傾斜角為a,直線

/繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45。后得直線4,則直線4的傾斜角可能為（）

A.tz+45。B.a+135。C.a-45°D.1350-a

變式6.（2023?高二課時練習(xí)）直線x+l=0與直線無+y-5=0的夾角為.

考點(diǎn)二：求直線的斜率

,例2.

（2023秋?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是則此直線的斜率是

()

A.3B.-V3C.6D.±g

2

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其

斜率.

(1)4(2,3),3(4,5)；

(2)C(-2,3),D(2,-1);

(3)P(-3,l),g(-3,10).

變式2.（2023秋?天津南開?高二崇化中學(xué)?？计谀┮阎本€/的一個方向向量為注-1,而,

則直線/的斜率為（）

A.1B.60，乎D--V3

變式3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，已知直線4,4,4的斜率分別為左&，%,則（）

A.kx<k2<k3B.k3<k{<k2

C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

變式4.（2023秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜

率為3,則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為,.

變式5.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊

所在直線與x軸的交點(diǎn)分別為（0,0）,（L0）,（2,0）,（4,0）,則正方形A3CD四邊所在直線中過點(diǎn)（0,0）

的直線的斜率可以是（）

331

A.2B.-C.-D.-

244

考點(diǎn)三：斜率與傾斜角的關(guān)系

（一）由傾斜角求斜率值（范圍）

］例3.【多選】（2023春?湖南衡陽?高二衡陽市一中校考階段練習(xí)）已知經(jīng)過點(diǎn)4（5即）和

*2,8）的直線的傾斜角。e1,3,則實(shí)數(shù)機(jī)的可能取值有（）

A.11B.12C.13D.14

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過不重合的帝+2,加一3）,8（3—〃-療,2旭）兩點(diǎn)的直線/的

傾斜角為45°,則機(jī)的取值為.

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過兩點(diǎn)A（5,y）,3（3,—1）的直線的傾斜角是135。，則y等

于.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點(diǎn)尸和Q（2〃,3）的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)

數(shù)”的取值范圍是.

變式4.（2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)A（3,4）,Q（6,3a）的直線的傾斜角為銳

角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

4444

A.a<—B.a4—C.a>—D.a2—

3333

（二）由斜率求傾斜角的值（范圍）

注1例4.（2023春?上海普陀?高二上海市宜川中學(xué)校考期末）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)

A（3,若）、B4,l）.直線/的傾斜角是.

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）若直線/的斜率上的取值范圍是［。，君），則該直線的傾斜角。

的取值范圍是.

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角。滿足。<tana〈百，則a的取值范圍是

（r百）

變式3.（2023秋?高二課時練習(xí)）直線/的斜率為左，且左e,則直線/的傾斜角的取

值范圍是_________..

變式5.（2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）將直線MN繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。得到直線若

直線的斜率為1,則直線的傾斜角是（）

A.105°B.165。C.15。或75°D.105°或165°

考點(diǎn)四：斜率公式的應(yīng)用（一）利用直線斜率處理共線問題

△1例5.（2023秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上：

（l）A（-3,l）,B（2,-4）,C（3,0）；

（2）L>（5,-l）,E（-l,2）,F（-5,4）.

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知三點(diǎn)A（3,1）,3（-2㈤,C（8,11）共線，貝必的值為.

變式2.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/經(jīng)過三點(diǎn)4（5,-3）,3（4,y）,C（T9）,則直線/的斜

率k=,y=.

變式3.（2023春?上海松江?高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c(diǎn)4（0,-8）,8（2,-2）,C（4,m）,

若線段A3,AC,8C不能構(gòu)成三角形，則機(jī)的值是.

（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用

、1例6.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/過點(diǎn)引1,3）,且不過第四象限，則直線/的斜

率%的最大值是..

變式1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、>滿足、=-尤+3,-1<X<1,則代數(shù)式的

x+2

取值范圍為_____.

變式2.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)/（4%）在函數(shù)y=e，的圖象上，當(dāng)

則??可能等于（）

A.-1B.—2C.—3D.0

變式3.（2023秋?廣東深圳?高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)4（-2,-1）,5（3,0）,若點(diǎn)M（x,y）在

線段A3上，則上|的取值范圍（）

A.口艮+⑹B.一；,3

C.S，T]U[3,+?）D.[-1,3]

考點(diǎn)五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍

例7.（2023秋?廣東佛山?高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)

三點(diǎn)A（-L1）,B（l,1）,C（2,石+1）.

（1）求直線BC,AC的斜率和傾斜角；

⑵若。為AASC的邊A3上一動點(diǎn)，求直線CD的斜率和傾斜角a的取值范圍.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)4-3,4）,3（3,2）,過點(diǎn)尸（1,0）的直線/與線段有

公共點(diǎn).

⑴求直線/的斜率k的取值范圍；

⑵求直線/的傾斜角a的取值范圍.

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知A（3,3）,3（y2）,C（0,-2）.

⑴求直線A3和AC的斜率；

⑵若點(diǎn)。在線段（包括端點(diǎn)）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍.

變式3.（2023秋?江西撫州?高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（-M）,磯1」）,C（2,6+l）,D

為AABC的邊AC上一動點(diǎn)，則直線3。斜率上的變化范圍是（）

B.,+co]

A.4

C.

變式4.（2023秋?安徽滁州?高二校考期中）已知點(diǎn)A（T2）,5（2-2）,C（0,3）,若點(diǎn)"（a⑼是

線段A8上的一點(diǎn)（。片。），則直線CM的斜率的取值范圍是（）

1

A.4B.-|oJU(o,i]

C.D.o[l,+co)

變式5.（2023秋?安徽蕪湖?高二安徽省無為襄安中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)打。,1）作直線/,

若直線/與連接42,3）,川-1,2）的線段總有公共點(diǎn),則直線/的斜率的取值范圍是

變式6.（2023秋?江蘇連云港?高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)4（-2,3）,3（3,2）,若直線依+y+2=0

與線段48沒有交點(diǎn)，則。的取值范圍是（)

54

A.—00,----U--—,+00B.

23

_54'(45

C.D.—00,------—,+00

;32

真題演練

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1.直線y=2與直線x+y-2=。的夾角是（)

A.兀C.兀D

42-T

2.圖中的直線的斜率分別為勺&，%,則有（)

h

X

A.kx<k2<k3B.k1>k2>k3

C.k1<k3<k2D.k3<kx<k2

3.若三點(diǎn)A（2,2）,B（a,O）,C（O,b）,（而wO）共線，則：的值等于___________.

ab

l］號過關(guān)檢測門I

-------------------llllllllllllllilllllillllllllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.（2023秋?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期末）以下四個命題，正確的是（）

A.若直線/的斜率為1,則其傾斜角為45?；?35。

B.經(jīng)過A。，。），3（T,3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角

C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)

D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)

2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩41,2）,8（凡3）,且傾斜角為135。，則。的值

為（）

A.-6B.-4

C.0D.6

3.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）已知直線.則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)（2,6）在直線/上B.直線/的傾斜角為］

C.直線/在y軸上的截距為8D.直線/的一個方向向量為爐=（1,-1）

4.（2023秋?山西臨汾?高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)4（2,-3）,3（4,3）,C（5㈤在同一直線上，則實(shí)數(shù)6等

于（）

A.-12B.-6C.6D.12

5.（2023春?山東濱州?高一校考階段練習(xí)）過點(diǎn)尸02,m）,Q（m,4）的直線的斜率為1,那么

m的值為（）

A.1或4B.4C.1或3D.1

6.（2023春?河南安陽?高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)A（2,3）,3（-l,x）,直線A3的傾斜

角為手，則x=（）

A.3-373B.3+—C.3+3括D.6

3

7.（2023秋?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）若直線/的斜率為3且公=3,則直線/的傾斜角為

（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.90?；?80。

8.（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)4（0,2）,3（-1,0）的直線的斜率為（）

A.—2B.—C.JD.2

22

9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若直線/經(jīng)過點(diǎn)M（2,3）,N（4,3）,則直線/的傾斜角為（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

10.（2023秋?四川宜賓?高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線/的斜率為3且

-拒Mk<l,則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

A.。臥mB.聞唁,兀）

—兀5兀1一「八兀|「5兀）

C.D.o,-U

[46）L4；L6）

U.（2023秋?江蘇連云港?高二?？计谀┙?jīng)過兩點(diǎn)4（1,加），*m-1,3）的直線的傾斜角是銳角，

則實(shí)數(shù)機(jī)的范圍是（）

A.（f-3）u（-2,y）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（-8,2）u（3,+8）

12.（2023春?上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c(diǎn)A（2「l）,B（-5,-3）,直線

/過點(diǎn)（U）,若直線/與線段相交，則直線/的斜率取值范圍是（）

「2、「2一

A.（-co,-2]U-,+0°IB.-2,j

C.D.^-co,--U[2,+oo）

13.（2023秋?江蘇連云港?高二校考期末）經(jīng)過點(diǎn)P（0,-l）作直線/,且直線/與連接點(diǎn)A（L-2）,

/2,1）的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角。的取值范圍是（）

A.]B.[0,-]u[—,7T）

4444

C.[0,衿呼㈤D.吟]

二、多選題

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列四個命題中，錯誤的有（）

A.若直線的傾斜角為，，則sin?>0

B.直線的傾斜角。的取值范圍為04?！慈f

C.若一條直線的傾斜角為，，則此直線的斜率為tan。

D.若一條直線的斜率為tan。，則此直線的傾斜角為。

15.（2023秋?廣西柳州?高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（）

A.直線的傾斜角a取值范圍是0Wa<7i

B.若直線的斜率為tane,則該直線的傾斜角為。

C.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

D.直線的傾斜角越大，其斜率就越大

16.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）下列各組點(diǎn)中，共線的是（