高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章綜合檢測(cè)卷(基礎(chǔ)A卷)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

1.已知。=(1,2,y),b=(x,l,2),且(Z+2-)〃(2力),則孫的值為().

11

A.—B.2C.—D.—1

32

【答案】B

【分析】由(a+26)//(2a-6),可得存在實(shí)數(shù)上使得。+2》=左(2a-b),利用向量相等即可得出.

【詳解】a+2b=(l+2x,4,4+y),

2a-b=(2-xf3,2y-2),

(a+2/7)//(2q—A),

???存在實(shí)數(shù)k使得a+2b=k(2a-b),

l+2x=k(2-x)

.「4=3左，解得x=；,y=4.

4+y=k(2y-2)~~

.\xy=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、空間向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.如圖，在平行六面體ABC。-A內(nèi)G"中，E是G2的中點(diǎn)，則()

A.^AB+AD+AA1

B.AB+—AD+yL4j

一—1一

C.AB+AD+-AA^D.AB+AD+A4t

【答案】A

【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】AE=AD+DDl+DlE=AD+AAi+^AB.

故選：A.

3.如圖，在三棱錐A—3CD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且O3=DC=3,4)=4,E為2C的中點(diǎn)，則

AE-B。等于()

【答案】D

【分析】以｛ZM,D2,OC｝為基底向量，利用向量的三角形法則將AE,BC用基底向量表示，根據(jù)向量數(shù)量積

的運(yùn)算律結(jié)合垂直和長(zhǎng)度關(guān)系即可得到結(jié)果.

【詳解】以｛OA,D2,DC｝為基底向量，則ZMQB=DAQC=￡>B.Z)C=O，

0AE=1(AB+AC)=i(r>B-DA+DC-DA)=1(DB-2r)A+r)C),BC=r)C-￡)B,

則AE-2C=g(03-2ZM+DC)?(DC-02)

1121211212

=-DBDC——DB-DADC+DADB+-DC——DCDB=-DC——DB,

222222

又團(tuán)DB=DC,即DC2=OB2,

S1AEBC=O.

故選：D.

4.若直線/的一個(gè)方向向量為。=(1,0,2),平面a的一個(gè)法向量為〃=(_2,0,T),則()

A.IllaB.ILa

C.luaD./與a斜交

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得〃〃“，進(jìn)而可得

【詳解】團(tuán)。=(1,0,2),〃=(-2,0,Y),可得”=-2a，

?nila,可得/_La

故選：B.

5.在正四棱錐中，AB=(L-l,4),AP=(3,-2,20)，則該四棱錐的體積為()

A.21B.24C.6不D.3同

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合空間向量模的坐標(biāo)公式、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示，在正四棱錐P—ABC。中，設(shè)頂點(diǎn)尸在底面的射影為0,

。為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

網(wǎng)=Jl+1+16=3應(yīng)，網(wǎng)=的+4+12=5,

所以40=；AC=:J(3碼2+(3可=3,

PO=y/PA2-AO2=725-9=4,

所以該四棱錐的體積為gx卜收丁x4=24,

6.已知在平行六面體A8CO-A]B]G。中，向量AB，AD，朋兩兩的夾角均為60。，且|陰=1,，￡)|=2,

|M|=3,則|阿=()

A.5B.6C.4D.8

【答案】A

【分析】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】如圖，平行六面體ABCO-4月￡2中，

向量AB、AD＞朋兩兩的夾角均為60,

且圍=1,,4=2,|懼卜3,

-e-AC]-ALB+BC+CC]

AC：=(AB+BC+CCJ

?2.2-2_

—AB+BC+CC、+2AS.3C+2AB?CC]+23c?CG

=l+4+9+2xlx2xcos60+2xlx3xcos60+2x2x3xcos60

=25.

.?.Ml=5,

故選：A.

7.設(shè)。，夕是不重合的兩個(gè)平面，。，口的法向量分別為4,乙，/和機(jī)是不重合的兩條直線，/,加的

方向向量分別為耳，%那么a〃方的一個(gè)充分條件是（）

A.Iua,mu(3,且q，4,e,_Ln,B.Iua,mu。，且與“e?

C.ex%,e21n,,S.el//e2D.qJ-%,e2Vn^,5.e1//e2

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關(guān)系及充分條件的定義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,/ua,mu尸，且e2ln2,則a與夕相交或平行，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,/ua,mu0,且q〃e；,則a與/相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,q%,e2|巧，且G〃e2，得4〃%,則a〃刀，故C正確；

對(duì)于D,e2In；,,且與〃02，則a與夕相交或平行，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.如圖，在三棱錐S—ABC中，&4,底面ABC,ABJ.AC,SA=AC=2,AB=\,。為棱&4的中點(diǎn)，則

異面直線S3與。C所成角的余弦值為()

32

L?--------D.-

5555

【答案】D

【分析】建系,利用空間向量解決異面直線夾角的問(wèn)題.

【詳解】如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則5(0,0,2),5(1,0,0),0(0,0,1),C(0,2,0),

uuuum

LU1UUULSBDC22

0SB=(1,0,-2),DC=(0,2,-1),則|UlT||UtPg|=—f=~7==—,

|SB||DC|45X455

2

團(tuán)異面直線SB與DC所成角的余弦值為j.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量2=(2,-1,2),6=(2,x,l),c=(y,2,3),且忖明,a±c,則()

A.x=2B.y=-2

C.。.人=4或8D.向量b，c共面

【答案】BC

【分析】A選項(xiàng)代入向量模長(zhǎng)公式，即可求得；B選項(xiàng)，根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0,即可求得；C選項(xiàng),

根據(jù)W=W，可得x的值，再用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可；D選項(xiàng)，求出尤,V的值，若三個(gè)向量共線,

貝Ija代入坐標(biāo)計(jì)算即可.

【詳解】明=1|,EI^22+（-l）2+22=^22+x2+i2,解x=回A錯(cuò)誤；

Ela,c=（2,—1,2）,（y,2,3）=2y—2+6=0,解得V=-2,故B正確；

6=（2,2,1）或b=（2,-2,1）,a=（2,-1,2）,

當(dāng)6=（2,2,1）時(shí)，°g=（2,—1,2>（2,2,1）=4—2+2=4；

當(dāng)辦=（2,—2,1）時(shí)，a力=（2,—1,2>（2,—2,1）=4+2+2=8；故C正確；

22—2〃=2

當(dāng)6=（2,2,1）時(shí)，令a=2》+〃c,則（2,—L2）=Q（2,2,l）+〃（—2,2,3）,得2彳+2〃=-1,無(wú)解；

2+3〃=2

24-2〃=2

當(dāng)1=（2,—2,1）時(shí),令￡="+則（2,—1,2）=；1（2,—2,1）+〃（一2,2,3）,得一22+2〃=一1,無(wú)解；

4+3/7=2

回向量a，b，c不共面.故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.若a,6,c是空間任意三個(gè)向量，下列關(guān)系中，不感文的是（）

A.\a+b\=\b-a\B.（〃+人）?c=〃?（Z?+c）

C.+Z?）=Act+AbD.b=Act

【答案】ABD

【解析】根據(jù)空間向量加法法則、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量數(shù)乘法則和共線向量定理分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，只有。_Lb,即°力=0時(shí)，都有|。+切=屹-。|,A不成立；

由數(shù)量積的運(yùn)算律有（a+6>c=a-c+Z>?c,a-（b+c）-a-b+a-c,與萬(wàn).<?不一定相等，B不成立；

向量數(shù)乘法則，C一定成立；

只有a/共線且；w力時(shí)，才存在2,使得6=2a，D這成立.

故選：ABD.

11.如圖，在三棱柱ABC-A^G中，分別是4民4G上的點(diǎn)，且BA/=2&W，GN=24N股

AB^a,AC=b,AAl^c,若/BAC=908AA=/。四=60,A8=AC=9=1,則下列說(shuō)法中正確的是

11,2,.J5

A.MN=-a+-b+-cB.\MN\=—

3333

C.A3"GD.COS<AB,BC>=-

116

【答案】BD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理、空間向量模的公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)槊?=24/，中I=2B、N,

所以AM=gA2=g(A2_M)

,AXN=AXB{+BXN=AB+-BXCX=AB+-^AC-AB^=-AB+-AC,

21

所以腦V=AN_AM=gA3+gAC--(AB-AAA=-AB+-AC+-AA=-a+-b+-c,^K^^

3、7333333

171

因?yàn)閃=W=H=1，a-b=0a'c=b'C=—,

2

.--21/.\21/2_2-2V15

所以MN=§(〃+Z?+c)=§(〃+b+c+2〃?。+2。?c+2Z??c)=—(3+2)=—,

/99

所以MN=4,故B正確；

因?yàn)?=a-c,AlC1：=b,

所以AR4G=(Q_c)?6=Q?b-b^c=0-lxlx-=--^0,故C錯(cuò)誤；

22

因?yàn)锳Bl=AB+A41=a+c,BC；—BC+BB]—AC-AB+=Z?+c-a,

、..........2.21

所以A5.BCX=(Q-c)?僅+C-4)=Q?Z?+Z7?C—4+C=一

'2

LI、1-2/-\2/-2-2

因?yàn)?(a+c)=[a+c+2(2,cj—3,

所以=2C：=(F+6+C)2=(J+『+c-2Q,b-2Q?c+2b?c)—3,

所以卜q=g,

1

所以cos(AB,2C)=7^=L故口正確.

'/d6

故選：BD.

jr1

12.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PA_L平面A5CD,ABCD,ZABC=-,AB=PA=-CD=2,BC=2日

M為尸。的中點(diǎn)，則()

A.直線CM與所成角的余弦值為JB.|BM|=2A/3

o

C.BMA.PCD.點(diǎn)M到直線8c的距離為加

【答案】ABD

【分析】過(guò)A作AELCD,垂足為E,以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判

斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】過(guò)A作AEJ_CD,垂足為E,則OE=2,

以A為原點(diǎn)，分別以AE,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,2,0),C(2在2,0),￡>(20,-2,0),尸(0,0,2),M(點(diǎn),一1,1),

BM=(@-3,1),CM=(-應(yīng)，一3,1),尸C=(20,2,-2),BC=(26,0,0),

BP=(0,-2,2),AD=(20,-2,0),

CATAD(-0)x2應(yīng)+(-3)>(-2)

因?yàn)閏os〈CM,AD)1

\CM\\AD\~2A/3X2V36

所以直線CM與A。所成角的余弦值為J,故A正確;

6

因?yàn)閘&M|=J2+9+1=2百,所以B正確;

因?yàn)锽M-PC=^x2>/^+(-3)x2+lx(-2)=-4wO,

所以與PC不垂直，故C不正確;

設(shè)點(diǎn)M到直線BC的距離為d,則d=J|瀏小MB。=如,

V\BC\

即點(diǎn)M到直線BC的距離為M，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知空間向量。=(2x+l,3x,0),6=(1,y,y—3),(其中x、yeR),如果存在實(shí)數(shù)4,使得°=勸成立,

貝1x+y=.

【答案】2

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出關(guān)于x、y、幾的方程組，解出即可得出的值.

2x+1=2x=-\

【詳解】?=(2x+l,3x,0),fe=(l,y,y-3),且a=勸,所以，3x=2y,解得■y=3

0=2(j-3)2=-1

因此，x+y=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程組求解是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.若a=(2,-1,4),b=(TJ,-2),若a與6的夾角是銳角，則f的值的取值范圍為.

【答案】(…,一10)

【分析】根據(jù)空間向量）與方的夾角是銳角可得eb>0且a與6不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即

可求解.

【詳解】因?yàn)閍與b的夾角是銳角，所以。.6>0，

即-2—f—8>0,解得/<-10,

若a與b的夾角為0°,則存在力,使a=2b，

2=—2

即（2,—1,4）=4（-1/—2）,所以一1=加，解得/=；.

4=-22—

故f的取值范圍是（-叫-1。）.

故答案為：（e,T0）.

15.如圖：正三棱錐A3CD中，區(qū)/分別在棱48、的上，AE:EB=AF:FD=1:2,且CE-防=0,則/BAC

的余弦值為.

【答案】|3

【分析】設(shè)NBAC=/由AE:E3=AF:ED=1:2可得AE=gA&A尸=(4￡>,又CEBF=Q，得

3

(CA+AE)-(BA+AF)=O,利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得cos6=亍.

【詳解】正三棱錐ABCD中，設(shè)且側(cè)棱長(zhǎng)相等，

因?yàn)锳E:E3=AF:FD=1:2,

所以AE=；AB,AF=；AD,又CE-B戶=0,

所以(CA+AE>(BA+AF)=O,

:.CABA+CAAF+AEBA+AEAF=O

.-.|CA|x|BA|cos6>+|CA|x||AD|cos(7r-61)-||AB|x|BA|+||AB|x||AD|cos6?=0

即cosO-gcosO-；+gcose=0,

33

解得8s即/胡0的余弦值為亍

3

故答案為：—

16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體58-A4GA中，E為線段A4的中點(diǎn)，則點(diǎn)。到平面AEC1的距離等于

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則41,0,1),即；，°)，G(。』，。)，C(O,1,1),

AE=(0,；,—11,AG=(-l,l,-l),設(shè)平面AEG的一個(gè)法向量為〃=O,y,z),

rf1

AE-n=0—y—z=0

*，SPp-,取”=(1,2,1),XAC=(-1,1,0),

〔AC「"=0\_x+y_z=Q

所以點(diǎn)C到面AEG的距離d==4=*,

\n\，66

故答案為：￡

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知在長(zhǎng)方體ABCO—A/B/C/Q中，AB=AAi^2,AO=4,E為側(cè)面AS的中心，尸為A/D的中點(diǎn),

試計(jì)算:

D

WBCEDi

(2)BF-ABi

【答案】(1)16；(2)0

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)公式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)

算可得所求向量的數(shù)量積.

【詳解】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A5為x軸，AD為丁軸，A4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0),5(2,0,0),C(2,4,0),B,(2,0,2),￡(1,0,1),Q(0,4,2),F(0,2,2)

BCED,=(0,4,0)(-1,4,1)=16

(2)BF-AB,=(-2,2,2).(2,0,2)=0.

18.如圖所示，已知斜三棱柱ABC-ABG,點(diǎn)A/、N分別在AC］和BC上，且滿足九卷=發(fā)/］,

BN^kBC(0<k<l\

(1)用向量凝和R表示向量而；

(2)向量力而是否與向量第j,44］共面?

【答案】（1）疝=（1-k）/一左耳；（2）是.

【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算得出G=（1-k）6+%就和癡=4］京+，進(jìn)而由癡=局,

得到向量而與向量石和AA,的關(guān)系；

(2)由(1)結(jié)合共面向量基本定理，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：^\AN=AB+BN=AB+k\AC-AB\=(l-k)AB+kAC,

AM=kAC,=k^AA,+AC^,

^MN=AN-AM=(l-k)AB+kAC-kAA-kAC=(l-k)AB-kAAl-

(2)解：由(1)可知，MN=(\-k)AB-kA\)

回向量癡與向量凝，A41共面.

19.已知空間向量G與。夾角的余弦值為,且同=^/^,網(wǎng)=6，令fh=G—b，"=a+2b.

⑴求a,力為鄰邊的平行四邊形的面積s；

⑵求相，〃夾角的余弦值.

【答案】（1）君；（2）-亞

6

【分析】（1）利用S=|d,W?sin（a,?算出答案即可;

(2)分別求出機(jī).幾、帆、W的值即可.

【詳解】(1)根據(jù)條件，cos?=￡~,回sin(〃,Z?)；

團(tuán)S=0x百=如；

(2)機(jī)?〃=(Q—b)?(a+2Z?)

=a2+a-b—2b2=2+A/2Xjx—2x3=—3;

6

|m|=J(a—=yja2—2a-b+b2=52-2+3=^/3，

|T=J(Q+2Z?Y=V2+4+12=3A/2;

/、m?n-3=任

[?]cos(m,n)=-r-n-7~

I制同73x3726

20.如圖，在多面體ABCZ）所中，四邊形ADEF是梯形，四邊形ABC。為矩形，DE上面ABC。，AF//DE,

AF=AD=\DE=\,AB=亞.

（2）點(diǎn)G為線段CO的中點(diǎn)，求證AGL面D3E.

【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系。-孫z,由線面垂直的判定定理可證，面即C,可知D4為面匹C的法

向量，又防.防=0,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)果;

,,UUIUUUULULUUUUU1一，,1，，、

（2）由（工）可知DE-AG=0，DBAG=0＞可證。E_LAG,DBLAG,再根據(jù)線面垂直的判定定理即

可證明結(jié)果.

【詳解】（1）證明：如圖，建立空間坐標(biāo)系。一孫z,則4（1,0,。）,E（0,0,2）,B=（1,72,0）,“1,0,1）,

UUU-

BF=(0,72,1)，

￡>E_L面ABCD,:.DE±AD,且AT>_LOC,

又。EcOC=O,

UUU

.-.AD±?EDC,.-.DA=(1,0,0)為面EDC的法向量,

UUUULU1UUUUUU

QDA.BF=0，DA±BF>

又平面CDE,

X

、umn、UUU

（2）證明：由（1）可知,0,AG=,。，。石=(0,0,2),=(1,0,0)，

7[-47

ULUUUUWLUUIUUUUL

;.DE-AG=。，DB-AG=0-

:.DELAG,DB±AG

又BDcDE=D,

:.AGL\^DBE.

21.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是菱形，底面ABC。，PD=DA,M為A。的中點(diǎn)，且

平面PBA/_L平面PD4.

（1）證明：BM±AD；

（2）求二面角M-PB-C的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵宵

［分析X1）過(guò)。做DE_L尸河，由面面垂直性質(zhì)定理可得DE1平面PBM，即DE工硼/，由PD_L底面ABCD,

可得PD_LRW,再根據(jù)線面垂直判定定理可得8M2平面PDA,進(jìn)而得8M_LA￡）；

（2）由（1）結(jié)論建立合適的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)A〃=l,根據(jù)長(zhǎng)度角度關(guān)系，找出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分

別求得平面MP3和平面CPB的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角大小的余弦值的絕對(duì)

值，進(jìn)而求出其正弦值即可.

【詳解】（1）解：因?yàn)榈酌鍭BC。，所以「

在平面PZM內(nèi)過(guò)。做,垂足為E,如圖所示:

因?yàn)槠矫媸善矫媸?M,交線為PM,

且有DEu平面尸/M,所以DEI平面PBAf,

因?yàn)锽A/u平面P3M,從而DE/BM,

因?yàn)镻DIDE=D,P￡>u平面尸/M,￡>Eu平面P/M,

所以即11平面PZM,于是5M_LA￡）；

（2）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，M8為y軸正方向,

在平面尸/M中，過(guò)M做平行于的直線為2軸，記1MAi=1,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)榈酌鍭5c。是菱形，且M為AD的中點(diǎn)，所以AB=AO=2AM=2,

由（1）知5M_LA￡>,所以NMBA=30,所以朋8=后，

又有PD=DA=2,故可得M（。,。,。），P（-l,0,2）,川0,6,0）,

C（-2,^,0）,于是癡=（0,后