專題25橢圓目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、橢圓平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．二、橢圓的性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得焦半徑最大值，最小值常用結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.三、直線與橢圓1．直線與橢圓的位置判斷將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ>0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ<0.2．弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.常用結(jié)論已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)通徑的長(zhǎng)度為eq\f(2b2,a).(2)過(guò)左焦點(diǎn)的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則焦點(diǎn)弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；過(guò)右焦點(diǎn)弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則焦點(diǎn)弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e為橢圓的離心率)(3)A1，A2為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，則.(4)AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，O為原點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).(5)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).(6)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.橢圓是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中橢圓的方程、幾何性質(zhì)等常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)；直線與橢圓的綜合問(wèn)題如弦長(zhǎng)問(wèn)題等常常以解答題形式出現(xiàn)。Ⅰ、橢圓及其性質(zhì)題型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【答案】D【分析】利用基本不等式求出的范圍，根據(jù)橢圓的定義可得答案.【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓．綜上所述，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓或線段.故選：D.方法歸納：橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題．題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1定義法例2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26，則該橢圓方程為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且，又橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26，所以，即，所以，所以該橢圓方程為.故答案為：命題點(diǎn)2待定系數(shù)法例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則該橢圓的方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1解析設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)P1，P2兩點(diǎn)，所以點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.方法歸納：根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1離心率例4已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為【答案】/0.5【分析】根據(jù)題意利用勾股定理求出，再由橢圓定義求出即可得解.【解析】由題意知，所以，即，又，即，所以，故答案為：命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)例5已知橢圓的中心，右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為O，F(xiàn)，A，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程得出，所以，最后由得出最大值.【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以橢圓的右焦點(diǎn)Fc,0，右頂點(diǎn)為Aa,0，右準(zhǔn)線方程為，其中，由此可得，，所以，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：.Ⅱ、直線與橢圓題型一直線與橢圓的位置關(guān)系例1直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，只要在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上即可保證直線與橢圓總是有交點(diǎn)的.【解析】由于直線恒過(guò)點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則只要在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上即可，即，解可得且，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C．命題點(diǎn)1弦長(zhǎng)問(wèn)題例2已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線垂直于軸，則B．C．若，則直線的斜率為D．若，則【答案】B【分析】依題意設(shè)出直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式分別判斷ABC選項(xiàng)，再結(jié)合向量及焦半徑長(zhǎng)度公式可判斷D選項(xiàng).【解析】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)為，設(shè)，，對(duì)于A選項(xiàng)，軸，直線，由，得：，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由，消去并整理可得：，則，，，顯然，，于是得，由選項(xiàng)A知，當(dāng)軸時(shí)，，因此，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)B得，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，有，則，即，而，，同理，則有，即，于是得，因此，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.命題點(diǎn)2中點(diǎn)弦問(wèn)題例3已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，圓，圓，點(diǎn)，射線交圓，橢圓，圓分別于點(diǎn)，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，則的取值范圍是．【答案】【分析】由圓的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意畫(huà)出圖形，再點(diǎn)同時(shí)在橢圓與射線上，求出，最后令，利用導(dǎo)數(shù)分析取值范圍即可；【解析】由題意可得的半徑為，的半徑為，其位置關(guān)系如下：由圖可得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)同時(shí)在橢圓與射線上，所以，，解得，則，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，即，可得所以，設(shè)，，則，設(shè)此式等于，求導(dǎo)可得，因?yàn)?，所以?dǎo)數(shù)恒大于零，故在時(shí)為增函數(shù)，所以取值范圍為.故答案為：.方法歸納：解決圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的思路題型三直線與橢圓的綜合問(wèn)題例4已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若直線與相切，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及的關(guān)系式列出方程組，解之即得；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由推得，又由，寫(xiě)出直線的方程，與直線聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，將前式代入化簡(jiǎn)即得.【解析】（1）設(shè)Fc,0，依題意，解得故的方程為.（2）

如圖，依題意F1,0，聯(lián)立消去