高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試

本試卷共4頁，19小題，滿分150分+2分（卷面分）?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.已知集合人={1,2,3,4,5},且=則集合2可以是（）

2r

A.{2,3,4}B.{x|x>1}C.{x|3>1}D.{x|log2(.x-l)<3}

2.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如右圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

3.已知隨機(jī)變量X?3（”,p）,若￡＞（2X）=2E（X）,則P=（）

4.小明新買的儲(chǔ)蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)字設(shè)置為儲(chǔ)蓄罐的

密碼,且密碼的第3位是偶數(shù)，已知“斐波那契數(shù)歹『’的前6項(xiàng)依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設(shè)置的

不同密碼個(gè)數(shù)為（）

A.144B.120C.84D.116

5.關(guān)于函數(shù)〃x）=x+cosx的說法中正確的是（）

A./（x）是周期函數(shù)B.在R上有最小值

C.在［0,句上有零點(diǎn)D."X）的圖象是中心對(duì)稱圖形

6.已知甲箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)

生先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出1個(gè)球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為

事件8,則尸（3）=（）

7

A.—B.-C.—D.

1471810

7.若S=0!+l!+2!+3!+…+100!,則S的個(gè)位數(shù)字是（）

A.0B.3C.4

8.如圖，直線>=區(qū)+機(jī)與曲線y=/（x）相切于兩點(diǎn)，

則函數(shù)gQ）=/（尤）-乙在（0,+s）上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.若小明坐公交上班的用時(shí)X（單位：分鐘）和騎自行車上班的用時(shí)￥（單位：分鐘）分別滿足

X~N（30,6）,y-N（34,22）,且同一坐標(biāo)系中X的密度曲線與V的密度曲線在7=38分鐘時(shí)相交，

則下列說法正確的是（）

A.P（X>38）<P（r>38）

B.P（24<X<36）=P（32<K<36）

c.若X的密度曲線與y的密度曲線相交所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)時(shí)間為「則=<30

D.若要在34分鐘內(nèi)上班不遲到，小明最好選擇坐公交

18

10.已知（%2一%+1）=/+2H-----i-a18x,則（）

189

A.a=-9B.%=45C.>,a,=131-3

xD-=-7-

Z=1

11.由函數(shù)y=e，-e+l與y=ln（x+e-l）的部分圖象可得一條封閉曲線r,則下列說法正確的是（）

A.r關(guān)于直線y=x對(duì)稱

B.「的弦長最大值大于3加

c.直線x+y=r被r截得弦長的最大值為夜（e-2）

D.1的面積小于2e（e-2）

試卷第2頁，共4頁

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知函數(shù)〃x)=eFn(2x),/'(x)為的導(dǎo)函數(shù)，則廣⑴的值為—.

13.電商平臺(tái)人工智能推薦系統(tǒng)是根據(jù)用戶的喜好為用戶推送商品的.某體育用品供應(yīng)商在甲電商平臺(tái)推

廣新品A和8,在乙電商平臺(tái)推廣新品C.已知甲平臺(tái)向一用戶推送A的概率為0.7,推送8的概率為0.5,

同時(shí)推送A和8的概率為0.3；乙平臺(tái)向該用戶推送C的概率為0.6,且甲平臺(tái)的推送結(jié)果與乙平臺(tái)的推送

結(jié)果互相不受影響.

(1)在甲平臺(tái)沒有向該用戶推送A的條件下，求它向該用戶推送8的概率為；

(2)這兩個(gè)平臺(tái)至少向該用戶推送A、B、C中的一種的概率為.

14.已知點(diǎn)A(X，a),3(尤2,4)(4＞。)分別是函數(shù)/(%)=疣、與8(%)=-也三圖象上的點(diǎn)，

則3的最大值為________

x2e

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

2b+c

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cosC==^—.

(1)求角A的大??；

⑵若A的角平分線交BC于。，且AD=3,求VABC面積的最小值.

16.已知函數(shù)〃力=￡-4,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(％,〃％))處的切線與X軸的交點(diǎn)為(當(dāng)M，0)(weN*),

且玉＞0.

⑴用q表示%+1;

14+2,、

(2)若%=3,記a“=ln」r，證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.

七-2

17.已知函數(shù)〃x)=a[gx2-q+(x-2)e，(aeR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑵若對(duì)Vxe[2,+8)J(x)NO恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為A區(qū)和8區(qū)，每一個(gè)球可以選擇在A區(qū)投籃也可以選擇在

B區(qū)投籃，在A區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒有投進(jìn)得。分；在8區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒有投進(jìn)得0分.

學(xué)生甲在A,8兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表：

甲A區(qū)8區(qū)

投籃次數(shù)3020

得分4030

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立.

⑴試分別估計(jì)甲在A區(qū)，B區(qū)投籃命中的概率；

⑵若甲在A區(qū)投3個(gè)球，在8區(qū)投2個(gè)球，

(i)記甲在A區(qū)投籃得分為X,求X的分布列及期望；

(ii)求甲在A區(qū)投籃得分高于在8區(qū)投籃得分的概率；

(3)若甲在A區(qū)，3區(qū)一共投籃5次，投籃得分的期望值不低于7分，求甲選擇在A區(qū)投籃的最多次數(shù).

19.在排列組合的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到一類涂色問題——“圓環(huán)涂色”問題(如圖一)：用機(jī)種顏色給有

個(gè)區(qū)域(不含最中間區(qū)域)的圓環(huán)涂色，且要求相鄰區(qū)域不同色，用與表示完成這一涂色的

(1)當(dāng)根=3時(shí)，求&；

(2)當(dāng)加=4時(shí)，找出見+1的關(guān)系，并求出％(“22)的通項(xiàng)公式.

⑶用5種顏色給圖二中10個(gè)區(qū)域(含最中間區(qū)域)涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，求方法總數(shù).

試卷第4頁，共4頁

2023級(jí)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試

參考答案

題號(hào)1234567891011

答案CADBDDCDBDABDACD

21

12.e(l+ln2)13.(1)-(2)0.9614.-

3e

4.【詳解】若選的數(shù)字只有一個(gè)1,此時(shí)有兩個(gè)偶數(shù)，則不同的排列方法有C；A：=48種;

若選的數(shù)字有兩個(gè)1,則不同的排列方法有2xA；+2x2xA；=72種.

故共有48+72=120種不同的設(shè)置方法.故選：B.

5.【詳解】=sinx,尸(x)20在R上恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

不可能是周期函數(shù)，且在R上無最值，故A,B錯(cuò)誤；

又.."(0)=1>0,〃％)="一1>0,..."x)在［0,句上無零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

'/=(^-X)+COS(7T-X)=^-X-COSX,

/(x)+f^7r—x)—x+cosx+7i:—x—cosx—7r,

的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確

6.【詳解】記“從甲箱中取出的球恰有i個(gè)紅球”為事件41=0,1,2),

根據(jù)題意可得「⑷春/月介詈=g，P(4)="=：，

P(84)=|，尸陽4)=1，尸(H4)=g，

所以尸(3)=尸(4)尸(H4)+尸⑷尸34)+尸⑷尸(用4)

3532117一

=——X—+-X—+——X—=——.故選：D.

1065310210

7.【詳解】0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,從5!開始一直到100!的個(gè)位數(shù)字都是0.

所以要求S的個(gè)位數(shù)字，則只要將前面五個(gè)數(shù)加起來，即1+1+2+6+24=34.

所以S的個(gè)位數(shù)字就是4.故選：C.

8.【分析】作出與直線>=履+〃?平行的函數(shù)的所有的切線，即可觀察得到((力與人的大小關(guān)系的不

同區(qū)間，進(jìn)而得出g'(x)=/'(x)-左的正負(fù)區(qū)間，得出g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而得到g(x)的極值情況，從而判

定各個(gè)選項(xiàng)的正確與否.

【詳解】由題，g(x)=/(x)—辰，貝！lg，(x)=f(x)-3

作出與直線>=區(qū)+，〃平行的函數(shù)/■(*)的所有切線，如圖，

各切線與函數(shù)f(尤)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為4,6,c,d,e,

則〃x)在。,6,c,d,e,處的導(dǎo)數(shù)都等于3

所以在(0,。),(瓦c),(d,e)上,尸(x)>左,g，(x)>0,g⑺單調(diào)遞增,

在(a,6),(c,d),(自+8)上，-(x)<上,g，。<0,g(x)單調(diào)遞減，

因此函數(shù)g(x)=/(x)有三個(gè)極大值點(diǎn)，有兩個(gè)極小值點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用每一個(gè)的切線斜率作為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，利用圖形中任意點(diǎn)的切線斜率與上比較,

就能結(jié)合圖象得出g'(x)=/'(x)-左的正負(fù)取值情況，從而可得極值點(diǎn)的情況.

9.【詳解】由題意易知坐公交的方差比騎自行車的方差大,

即X的密度曲線較矮胖，￥的密度曲線更瘦高，

則X的密度曲線在38分鐘后在y的密度曲線的上方，

可在同一坐標(biāo)系中作出密度曲線，

易知P(X>38)>尸。>38),故A錯(cuò)誤；

由3b原則可知P(30-6<X<30+6)=尸(34—2V丫434+2),故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，￥的密度曲線關(guān)于t=34對(duì)稱，因?yàn)閮擅芏惹€的右交點(diǎn)為38,所以結(jié)合圖象，左交點(diǎn)大于

1(工-30)’

30,故C錯(cuò)誤。還能具體計(jì)算判斷：根據(jù)條件可知兩種方式相應(yīng)密度函數(shù)分別為:小六E”

[(>34)一234)21(x-30)2(x-34)2(x-30)2

]

且⑺二礪一建立方程8―__e-K=3,

2A/2TI6岳

整理可得8/-552x+9x342-SO?=72In3,

552

則G+38=p=69n%=31>30,故C錯(cuò)誤；

易知尸(XV34)>0.5=P(y434),故D正確.故選:BD

10.【詳解】由題意，(X2-X+1)9=[1+(/_X)；

知q=C；(-l)=-9,4=C；+C；=45,故A,B正確;

分另lj令x=0,1和一1,得%=1,a0+ax+a2-\-----1-+tz18=1,

試卷第2頁，共8頁

%—%+〃2—〃3-----%6—%7+%8=3鄉(xiāng)，

所以4+。2+…+%8=0，2(%+/+…+%5+%7)=1—39,

1891_o9

即Z”,=。，所以c錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.

i=iz=i2

11.【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A:由、=1一6+1=>工=1!1(丁+6-1),

所以函數(shù)〉=e*-e+l的反函數(shù)為y=ln(x+e-l),

所以:T關(guān)于直線丁=彳對(duì)稱，故A正確；

fy=ex—e+1

對(duì)于B：有I=^>ex-x-e+l=O.

[y=x

設(shè)/z(x)=e，一%—e+1,貝!J"(x)=e，一1,

由/ir(x)<0=>x<0.

由/z'(x)>0=>x>0,

所以力⑺在(-”,0)上單調(diào)遞減，在(0,+")上單調(diào)遞增.

>/i(-2)=e-2-e+3>0,/i(-l)=e-1-e+2<0,所以存在不?—2,-1),使得可/)=0,另〃(1)=0.

所以曲線r與直線丁=元有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)的交點(diǎn)為A,左側(cè)的交點(diǎn)為3,

則4(1,1),3(%,X。),1e(-2,-1),所以|陰<30,

結(jié)合圖象可得，F(xiàn)的弦長最大值小于3a，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)橹本€%+，=/與直線丫=》垂直，

設(shè)，=彳+〃為曲線)=/-6+1的切線，由，=/=10彳=0,

所以切點(diǎn)為(0,2-e),所以切線方程為'=彳-6+2.

直線>=了與'=》一6+2的距離為號(hào)=孝仁一2).

所以直線x+y=/被:r截得弦長的最大值為2x*(e-2),即0(e-2).故C正確;

對(duì)于D：由x+e-l>0=%>l-e,所以B中工()>1一e.

過點(diǎn)片(0,2-。)做丁=/-e+1的切線，再做該切線關(guān)于丁=%對(duì)稱的直線,

過D(l-e,l-e)做切線的垂線，與兩切線分別交于瓦F,M,N,

如圖所示，構(gòu)成矩形跳幡/,

該矩形將圖形r包含在內(nèi)，所以r的面積小于矩形EFMN的面積.

又=7（l-e-l）2+（l-e-l）2=^2e,\EN\=yf2（e-2）,

所以矩形EMVW的面積為夜ex夜（e-2）=2e（e-2）.所以D正確.

故選：ACD.

13.【詳解】（1）解：設(shè)甲平臺(tái)向該用戶推送A為事件推送B為事件N,則甲平臺(tái)沒有向該用戶推送A

為事件而，由題設(shè)可知:

P（M）=0.7,P（N）=0.5,P（MN）=43,P（M）=l-P（M）=0.3,

又尸（N）=P（MN）+尸（而N）=0.5,所以P（MN）=0.2,

（2）設(shè)平臺(tái)向該用戶推送C為事件Q,

則這兩個(gè)平臺(tái)向該用戶至少推送A、B、C中的一種的概率為：P=1-P（MNQ）,

因?yàn)榧灼脚_(tái)的推送結(jié)果與乙平臺(tái)的推送結(jié)果互相不受影響，所以尸（而亞）=尸（而斗耳⑦,

因?yàn)镻（M）=尸何N）+尸（必討）=0.3,所以P（M2V）=0.1,

即P（M7V）-P（e）=0.lx0.4=0.04,

所以尸=1一P（而討0）=1-0.04=0.96.

14.【詳解】由題意可知，占戶=一生三=。，Bpex'=—In—=In-

X1In—e%

X2%X2

又9>0,-=〃>0,所以一In%>0,貝!JIn—>0

x2x2

設(shè)％（x）=xe，（x>0）,則/x）=（l+x）e，>0,所以/z（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增,

試卷第4頁，共8頁

所以玉=ln,，貝i]e"=’，所以即盧=1,則3=.

2flXlflfl

%Zx2ex2eee

設(shè)9(尤)=彳(％>0),貝1]〃(尤)=:^,

ee

當(dāng)0<x<l時(shí)，夕'(1)>0,當(dāng)犬>1時(shí)，0’(犬)<0,

所以°(x)在(。,1)上單調(diào)遞增，在0,”)上單調(diào)遞減，

則夕⑺而=。⑴=L所以的最大值為,

ee

15.(1)由余弦定理，得?+/-==必￡-----------2分

2ab2a

BPa2+b2—c2=2b2+be整理得b2+c2—a2=—be,

所以cosA=讓H=—L-----------------4分

2bc2

又0<A(兀，所以A=g27r.-----------------6分

I27r1Jr1IT

(2)因?yàn)楣ぴg=5〃csin3-=2b?人次皿^+萬。，ADsin]------------------9分

所以Z?c=3Z?+3c.

因?yàn)閆?c=3b+3c26y/bc，BPbc>36

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=6時(shí)等號(hào)成立(沒寫等號(hào)成立條件扣1分)

所以顯口0=￥加296?故VABC面積的最小值為9vL------------------13分

16.(1)因?yàn)椤▁)=f—4,所以1(x)=2x,-----------------1分

則曲線y=/(x)在點(diǎn)(%,/(%?))處的切線方程為y-(看-4)=2招Q-斗)，

將點(diǎn)(%+1，0)代入方程，得4+%=2尤/"+1，------------------5分

因?yàn)闉闉檎龑?shí)數(shù)，所以Z為正實(shí)數(shù)，%+1=9+工.------------6分

(2)因?yàn)?+1=++工，所以—+2=Z+Z+2=(X"+2)

2%2x.2%

由題意an+l=1”|+；=In，"，=21n±±|=2an,------------------11分

加-2(x?-2)xn-2

Q_i_7

又引=3,故｛凡｝是首項(xiàng)為q=ln巖=ln5,公比為2的等比數(shù)列.-----13分(首項(xiàng)和公比各1分)

3—2

得至此=2"，5.15分

17.(1)因?yàn)?'(x)="［；x2-x1+(x-2)e*(aeR),

則/'(x)=q(x-l)+(x-2+l)e*=(彳-1)仁工+q),------------2分

①當(dāng)a20時(shí)，ex+a>0,由尸(力>?？傻脁>l,由廣⑺<?？傻脁<l,

此時(shí)，函數(shù)〃x)的減區(qū)間為(一叫1),增區(qū)間為(1,+?);------------4分

②當(dāng)一e<a<0時(shí)，0<-a<e,則In(-a)<1,

由/'(x)>0可得x<ln(-a)或x>l,由/'(x)<?？傻肐n(—a)<x<1,

此時(shí)，函數(shù)〃x)的增區(qū)間為(一",In(-a)),(1,+⑹，減區(qū)間為(ln(-q),l)；-------------6分

③當(dāng)a=-e時(shí)，/,(x)=(x-l)(eA-e),

當(dāng)x<l時(shí)，e*<e,貝!J/'(x)=(xT)(e*-e)>0,

當(dāng)x>l時(shí)，e*>e,則尸(x)=(x-l)(e，-e)>0,

此時(shí)，函數(shù)/'(X)在R上單調(diào)遞增；-----------8分

④當(dāng)a<-e時(shí)，-0>e,貝

由/'(*)>0可得了<1或%>111(—4),由廣(%)<0可得1<彳<111(一4),

此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為(-℃』)，(in(-?),+(?),減區(qū)間為(1,In(-〃)).------------10分

⑵因?yàn)椋?、皿?2),、,/a、

“無)―Mx-2)e=(x-2“e+-xj

對(duì)任意的x22,有〃x)>。，所以xN2時(shí)，e'+^ax>0-------------12分

x

即〃之—工2e，------------13分

x

令g(x)=—^-,xN2,則/(%)=_2?(X1)<0,

xx

所以，函數(shù)g(%)在［2,物)上單調(diào)遞減,則且⑴厘二且已卜式?，故此—函,

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-。2,+8).-------------15分

2

18.(1)甲在A區(qū)投籃30次，投進(jìn)20次，所以估計(jì)甲在A區(qū)投籃進(jìn)球的概率為-----------1分

試卷第6頁，共8頁

甲在8區(qū)投籃30次，投進(jìn)15次，所以估計(jì)甲在8區(qū)投籃進(jìn)球的概率為白-----------2分

(2)據(jù)題意，甲在A區(qū)進(jìn)球的概率估計(jì)為,，在8區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計(jì)為J.

(i)X所有可能的取值為024,6

p（x=o）=dI

X的分布列為

X0246

1248

P

279927

------------------6分(每個(gè)概率1分)

174X

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x萬+2xj+4x—+6x^=4.------------------7分

(ii)設(shè)事件A為“甲在A區(qū)投籃得分高于在8區(qū)投籃得分”

甲在A區(qū)投3個(gè)球，得分可能是0,2,4,6,在B區(qū)投2個(gè)球，得分可能是。,3,6.

則甲在A區(qū)投籃得分高于在8區(qū)投籃得分的情況有：

A區(qū)2分5區(qū)。分,概率估計(jì)為

A區(qū)4分2區(qū)0分,概率估計(jì)為C；

2

2

A區(qū)4分2區(qū)3分,概率估計(jì)為C；X

3

A區(qū)6分8區(qū)。分，概率估計(jì)為國=三,

A區(qū)6分8區(qū)3分，概率估計(jì)為[2]xC'xixl=-,------------------12分(每種情況1分)

⑶2227

1122411

則甲在A區(qū)投籃得分高于在5區(qū)投籃得分的概率估計(jì)為■^+八+X+二+二二荷-----------13分

lo9927271o

2