專題10立體幾何平行歸類目錄TOC\o"11"\h\u【題型一】線線平行：中位線法 2【題型二】線線平行：平行四邊形法 4【題型三】“等分線法”證明線面平行 6【題型四】平行四邊形法證線面平行 8【題型五】無交線證明平行 11【題型六】存在型：線面平行 13【題型七】存在型：面面平行 15【題型八】翻折中的平行 16【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角 18培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 21培優(yōu)第二階——能力提升練 23培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 26結(jié)束 30綜述：一、平行關(guān)系的判定及性質(zhì)定理：(1)線∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．(簡記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b∴l(xiāng)∥b(2)面∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α∴α∥β性質(zhì)定理兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行(簡記為“面面平行?線線平行”)∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意直線與另一個平面平行，(簡記為“面面平行?線面平行”)二、平行構(gòu)造的常用方法： ①三角形中位線法； ②平行四邊形線法； ③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角； ②平行關(guān)系的判定.三、異面直線平行線法求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；【題型一】線線平行：中位線法【典例分析】【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)三角形中位線、平行線等分性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性分析證明,【詳解】∵E、H分別是AB、CD的中點，則，∴，故直線EH與直線FG平行．【變式訓(xùn)練】圖1

圖2【答案】證明見詳解.【解析】通過證明EF//GH，且EF=GF，即可證明.【答案】證明見解析【詳解】如圖，連接、并延長分別交、于、.【題型二】線線平行：平行四邊形法【典例分析】【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識可得證；（2）根據(jù)空間兩個角相等定理或三角形全等可得證.【變式訓(xùn)練】（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、E、F四點是否共面？為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）C，D，F(xiàn)，E四點共面；答案見解析．所以四邊形BCHG是平行四邊形．（2）由EF∥BG，結(jié)合（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，從而共面．【詳解】證明：（1）由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，（2）C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BEAF，G是FA的中點知，BEGA，即有BEGF，所以四邊形BEFG是平行四邊形，所以EF∥BG由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面．又點D在直線FH上所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．2.在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點，(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【答案】（1）見解析；（2）見解析【題型三】“等分線法”證明線面平行【典例分析】【變式訓(xùn)練】【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）【題型四】平行四邊形法證線面平行【典例分析】【詳解】（1）【變式訓(xùn)練】(1)求證：BC∥AD；(2)求證：CE∥平面PAB．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取PA的中點F，連接EF，BF，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明．【詳解】（1）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．（2）取PA的中點F，連接EF，BF，∵E是PD的中點，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴EC∥FB，∵EC?平面PAB，F(xiàn)B?平面PAB，∴EC∥平面PAB．【答案】(1)證明見解析(2)【題型五】無交線證明平行【典例分析】【答案】證明見解析.【變式訓(xùn)練】【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【題型六】存在型：線面平行【典例分析】【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為棱的中點【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直即可.（2）先假設(shè)存在.連接BD，由中位線證得線線平行，故而得到線面平行.（2）解：存在，點為棱的中點.連接，交于點，連接，如圖所示：【變式訓(xùn)練】(2)求證：F為的中點；（1）連接交于，連接，如下圖：【題型七】存在型：面面平行【典例分析】【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）利用構(gòu)造平行四邊形的方法證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，．【變式訓(xùn)練】【題型八】翻折中的平行【典例分析】此時，分別為和的中點.【變式訓(xùn)練】（2）分別取線段BD，AB的中點F，G，利用線線平行證明線面平行，進而證明面面平行，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中點為M，連接AM，（2）如圖，分別取線段BD，AB的中點F，G，【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角【典例分析】【答案】(1)證明見解析(2)【變式訓(xùn)練】(1)求異面直線CE與BD所成角的余弦值；(2)求證：FG平面ADC．【答案】(1)(2)見解析（1）因為E為棱AB的中點，即異面直線CE與BD所成角的余弦值為；（2）因為E，F(xiàn)分別為棱AB，棱BD的中點，又因為G是△BCE的重心，所以FG平面ADC．分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行和面面平行的判定，可得證明；（2）由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明．【詳解】（1）證明：因為M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點，底面ABCD為平行四邊形，所以MN∥PD，NQ∥AD，又MN?平面PAD，PD?平面PAD，則MN∥平面PAD，同理可得NQ∥平面PAD，所以平面MNQ∥平面PAD.（2）證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．(2)求證：為的中點．【答案】(1)證明見解析．(2)證明見解析．（2）由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而可證得結(jié)論成立．所以是中點．3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．(1)求證：QN∥平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析(2)l∥平面PBD，證明見解析【分析】（1）推導(dǎo)出QN∥AD，由此能證明QN∥平面PAD；（2）連接BD，則MN∥BD，從而MN∥平面ABCD，由線面平行的性質(zhì)得MN∥l，從而BD∥l，由此能證明l∥平面PBD．【詳解】（1）證明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，∵QN平面PAD，AD?平面PAD，∴QN∥平面PAD；（2）直線l與平面PBD平行，證明如下：∵M，N分別為PD，PB的中點，∴MN∥BD，∵BD?平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，∵平面CMN與底面ABCD的交線為l，∴由線面平行的性質(zhì)得MN∥l，∵MN∥BD，∴BD∥l，∴l(xiāng)∥平面PBD．培優(yōu)第二階——能力提升練【答案】(1)證明見解析(2)．（2）【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.【分析】（1）運用線線平行證明線面平行即可.【詳解】（1）如圖所示，證明：連接交于點G，連接DG，則G為的中點，又因為D為的中點，（2）如圖所示，證明：取AF的中點H，連接CH、MH，【分析】（1）根據(jù)棱柱的特征判斷即可；（2）利用三棱錐