第第頁(yè)專題3.3探索與表達(dá)規(guī)律（知識(shí)梳理+5個(gè)考點(diǎn)講練+中考真題演練+難度分層練共43題）TOC\o"1-2"\h\u知識(shí)梳理技巧點(diǎn)撥 1知識(shí)點(diǎn)梳理01：數(shù)字序列規(guī)律 1知識(shí)點(diǎn)梳理02：圖形/圖案規(guī)律 2知識(shí)點(diǎn)梳理03：日歷規(guī)律 2優(yōu)選題型考點(diǎn)講練 3考點(diǎn)1：數(shù)列類規(guī)律探究 3考點(diǎn)2：圖形排列類規(guī)律探究 4考點(diǎn)3：新定義運(yùn)算類規(guī)律探究 8考點(diǎn)4：日歷日期類規(guī)律探究 13考點(diǎn)5：表格類規(guī)律探究 16中考真題實(shí)戰(zhàn)演練 19難度分層拔尖沖刺 22基礎(chǔ)夯實(shí) 22培優(yōu)拔高 29知識(shí)點(diǎn)梳理01：數(shù)字序列規(guī)律概念：給出看似無規(guī)律或規(guī)律不明顯的數(shù)列，要求學(xué)生找出通項(xiàng)公式（第n項(xiàng)）。①核心方法觀察相鄰項(xiàng)關(guān)系：計(jì)算相鄰項(xiàng)的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有規(guī)律（如二級(jí)等差）。②拆項(xiàng)法將每一項(xiàng)拆分成幾部分（如符號(hào)、整數(shù)部分、分子分母）分別找規(guī)律。特別強(qiáng)調(diào)符號(hào)規(guī)律（正負(fù)交替）的處理。與序號(hào)n建立聯(lián)系：列出表格，寫出序號(hào)n和對(duì)應(yīng)項(xiàng)a?，尋找a?關(guān)于n的表達(dá)式（可能是n的一次式、二次式、乘方等）。這是最關(guān)鍵的一步。特殊值驗(yàn)證：將得到的代數(shù)式a?=f(n)代入n=1,2,3等小值，看結(jié)果是否與已知項(xiàng)匹配。知識(shí)點(diǎn)梳理02：圖形/圖案規(guī)律1、基本性質(zhì)點(diǎn)陣（小圓點(diǎn)、小正方形排列）、火柴棒拼搭圖形（搭三角形、正方形、小魚等）。核心問題：求第n個(gè)圖形中點(diǎn)的總數(shù)、火柴棒的根數(shù)、某種基本圖形的個(gè)數(shù)（如三角形的個(gè)數(shù)）。核心方法：數(shù)形結(jié)合&列表：畫出或想象前幾個(gè)圖形(n=1,2,3,4)，數(shù)出目標(biāo)量（如火柴棒數(shù)s?），列表記錄序號(hào)n和s?。2、分析增量觀察相鄰圖形之間目標(biāo)量的增加量是否有規(guī)律？增加量本身是否有規(guī)律？（例如，每次增加固定根數(shù)->等差數(shù)列；每次增加量遞增->可能與n有關(guān)）。3、分解圖形結(jié)構(gòu)將第n個(gè)圖形分解成不變的“底座”部分和隨n變化的“增長(zhǎng)”部分，或者分解成若干種基本單元。①（火柴棒三角形）：第n個(gè)三角形可以看作由n行組成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，則總根數(shù)s?=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。②（火柴棒正方形）：第n個(gè)正方形可能由nxn個(gè)小正方形組成，需要分析橫放和豎放火柴棒的數(shù)量規(guī)律。③（點(diǎn)陣）：點(diǎn)陣可能按矩形(nxm)、三角形、或者特定形狀排列，分析行數(shù)、列數(shù)與n的關(guān)系。尋找與序號(hào)n的關(guān)系：基于列表或結(jié)構(gòu)分析，嘗試將s?表達(dá)為n的代數(shù)式（一次、二次等）。知識(shí)點(diǎn)梳理03：日歷規(guī)律1、基本概念在給定的日歷表中（通常給出局部），探索方框圈定的若干數(shù)字（如3x3九宮格、2x2方塊、一行、一列、對(duì)角線）之間的關(guān)系。核心方法：設(shè)定中心/起點(diǎn)：用字母（如a）表示關(guān)鍵位置（如中心數(shù)、左上角數(shù)）。2、利用等差關(guān)系日歷中橫行相鄰數(shù)差1，豎列相鄰數(shù)差7（一周天數(shù)）。這是最核心的規(guī)律！代數(shù)表示其他位置：用含a的式子表示方框中其他位置的數(shù)。3、運(yùn)算與化簡(jiǎn)對(duì)方框內(nèi)所有數(shù)進(jìn)行求和、求積或比較特定位置數(shù)的差/和，將表達(dá)式化簡(jiǎn)，觀察結(jié)果（往往是常數(shù)或與a無關(guān)的簡(jiǎn)單式子）。得出結(jié)論：如“九宮格中9個(gè)數(shù)的和等于中心數(shù)的9倍”，“2x2方框中對(duì)角線和相等”?？键c(diǎn)1：數(shù)列類規(guī)律探究【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察一列數(shù)3，8，13，18，23，28，?，依此規(guī)律下去，猜想第n個(gè)數(shù)y=（用含n的式子表示），第2006個(gè)數(shù)是．【答案】5n?210028【思路引導(dǎo)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，代數(shù)式求值，找出y與n之間的聯(lián)系，得出規(guī)律，即可解答．【規(guī)范解答】解：數(shù)字的序號(hào)為n，其值為y，由已知得n=1,y=3；n=2,y=8；n=3,y=13；n=4,y=18；………仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，序號(hào)每增加1，y值就增加5，與第1個(gè)數(shù)相比，第n個(gè)數(shù)應(yīng)增加5n?1，∴第n個(gè)數(shù)應(yīng)為5n?1+3當(dāng)n=2006時(shí)，y=5×2006?2=10028．故答案為：5n?2，10028．【變式訓(xùn)練1】（24-25七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）觀察下列兩行數(shù)：3，5，7，9，11，13，15，17，19，…4，7，10，13，16，19，22，25，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是7，第2個(gè)相同的數(shù)是13，…，則第100個(gè)相同的數(shù)是．【答案】601【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，列出方程是解題關(guān)鍵．根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，數(shù)列中7,13,19,…，的第n項(xiàng)是數(shù)列4,7,10,13,16,19,22,25,…，第2n項(xiàng)，然后得出第x個(gè)相同的數(shù)是6x+1，從而解答即可．【規(guī)范解答】解：由題目中的數(shù)據(jù)可知，3,5,7,9,11,13,15,17,19,…第一行是一些連續(xù)的奇數(shù)，規(guī)律為2m?1，4,7,10,13,16,19,22,25,…第二行數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大3，規(guī)律為3k+1，兩個(gè)數(shù)列中相同的數(shù)組成新數(shù)列為：7,13,19,…，新數(shù)列是第二行數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，組成，∴第x個(gè)相同的數(shù)是6x+1，∴第100個(gè)相同的數(shù)是6×100+1=601，則第100個(gè)相同的數(shù)是601，故答案為：601．【變式訓(xùn)練2】（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形．如果圖形的每條“邊”上有n(n>1)個(gè)點(diǎn)（包括兩個(gè)頂點(diǎn)），那么這個(gè)圖形中點(diǎn)的總數(shù)S是多少？當(dāng)n=5,7,11時(shí)，S各是多少？【答案】當(dāng)n=5時(shí)，S=12；當(dāng)n=7時(shí)，S=18；當(dāng)n=11時(shí)，S=30．【思路引導(dǎo)】本題考查了圖形類規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是觀察三角形的圖案，得到規(guī)律，S=3n?1【規(guī)范解答】解：由圖形可知，當(dāng)n=2時(shí)，S=3=1×3；當(dāng)n=3時(shí)，S=6=2×3；當(dāng)n=4時(shí)，S=9=3×3；……，∴S=3n?1當(dāng)n=5時(shí)，S=3×5?1當(dāng)n=7時(shí)，S=3×7?1當(dāng)n=11時(shí)，S=3×11?1考點(diǎn)2：圖形排列類規(guī)律探究【典例精講】（24-25七年級(jí)上·甘肅張掖·期末）小明用邊長(zhǎng)為1cm的小正方形紙片在桌面上擺放成如圖所示的塔狀圖．第n（n是正整數(shù)）個(gè)塔狀圖的周長(zhǎng)為cm（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】4n【思路引導(dǎo)】本題考查圖形的變化規(guī)律，代數(shù)式．根據(jù)題意分別求出前三次所擺圖形周長(zhǎng)，觀察并得出規(guī)律進(jìn)行分析求解即可．【規(guī)范解答】解：第一次所擺圖形周長(zhǎng)是1×4=4；第二次所擺圖形的周長(zhǎng)是2×4=8；第三次所擺圖形的周長(zhǎng)是3×4=12；…第n次所擺圖形的周長(zhǎng)是4n．故答案為：4n．【變式訓(xùn)練1】（24-25七年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖，按照?qǐng)D形變化的規(guī)律，第2025個(gè)圖形中黑色正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．1012 B．1013 C．3036 D．3038【答案】D【思路引導(dǎo)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，歸納出第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是解題的關(guān)鍵．仔細(xì)觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知：第1個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為2，第2個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為3，第3個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為5，第4個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為6，第5個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為8，．．．，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為n+n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為n+n+1當(dāng)n=2025時(shí)，n+n+1故選：D．【變式訓(xùn)練2】（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）將一張等邊三角形紙片分成四個(gè)大小、形狀一樣的等邊三角形（如圖所示），記為第1次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法分成四部分，記為第2次操作．若每次都把右下角的等邊三角形按此方法分成四部分，如此循環(huán)進(jìn)行下去．(1)若操作4次，則總共能得到_____個(gè)等邊三角形．(2)計(jì)算14【答案】(1)17(2)255【思路引導(dǎo)】本題主要考查圖形變化的規(guī)律、數(shù)字變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個(gè)數(shù)及邊長(zhǎng)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：每操作一次，等邊三角形的個(gè)數(shù)增加4，據(jù)此進(jìn)行作答即可；（2）先提取14【規(guī)范解答】（1）解：由題意可知：操作1次，共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：5=1×4+1；操作2次，共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：9=2×4+1；操作3次，共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：13=3×4+1；操作4次，共得到的等邊三角形個(gè)數(shù)為：17=4×4+1；故答案為：17．（2）解：1======【變式訓(xùn)練3】（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下圖形的一半……以此類推，每一次都取出剩下圖形的一半，共進(jìn)行n次這樣的操作．進(jìn)行的次數(shù)123n剩下圖形的面積1____________(1)請(qǐng)將上表填寫完整．(2)請(qǐng)利用這個(gè)幾何圖形求12+122【答案】(1)見詳解(2)1?【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意填表即可．（2）原正方形分成各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為12+122本題主要考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，面積等知識(shí)．【規(guī)范解答】（1）解：解：上表填寫如下：進(jìn)行的次數(shù)123…n剩下圖形的面積111…1故答案為：14，18，（2）解：原正方形分成各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為12∴12則12故答案為：1?1考點(diǎn)3：新定義運(yùn)算類規(guī)律探究【典例精講】（24-25七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）定義：若一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為7的整數(shù)倍，則稱這個(gè)多項(xiàng)式為“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”．例如：多項(xiàng)式20x+8y的系數(shù)和為20+8=28=7×4，所以多項(xiàng)式20x+8y是“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”．請(qǐng)根據(jù)這個(gè)定義解答下列問題：(1)在下列多項(xiàng)式中，屬于“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”的是______；（填寫序號(hào)）①2x2?9x；②3a+5b(2)若多項(xiàng)式4mx?ny是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”（其中m、n均為整數(shù)），則多項(xiàng)式2mx+3ny也是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多多項(xiàng)式”嗎？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)舉出反例．(3)已知A=a?2b，B=2b?c，C=c?d，且mA+nB+tC=a?6b+5c?3d（其中m，n，t均為整數(shù)），請(qǐng)證明多項(xiàng)式mx+7ny+2txy也是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”．【答案】(1)①③(2)是，理由見解析(3)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了新定義“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，整式的加減運(yùn)算，理解定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”的定義求解即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式4mx?ny是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，可設(shè)4m?n=7z（z為整數(shù)，z≠0），則n=4m?7z，多項(xiàng)式2mx+3ny的系數(shù)和為2m+3n，得到2m+3n=14m?21z，即可求解；（3）先根據(jù)整式加減預(yù)算法則求出m=1,n=?2,t=3，再結(jié)合“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”的定義證明即可．【規(guī)范解答】（1）解：①∵多項(xiàng)式2x2?9x∴該多項(xiàng)式是“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，②∵多項(xiàng)式3a+5b的系數(shù)和為3+5=8，8不是7的整數(shù)倍，∴該多項(xiàng)式不是“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，③∵多項(xiàng)式19x2?4x+2y?3xy∴該多項(xiàng)式是“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，故答案為：①③；（2）解：是，理由如下：∵多項(xiàng)式4mx?ny是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”，∴4m?n為7的整數(shù)倍，設(shè)4m?n=7z（z為整數(shù)，z≠0），則n=4m?7z，∵多項(xiàng)式2mx+3ny的系數(shù)和為2m+3n，∴2m+3n=2m+34m?7z∵14m?21z=72m?3z∴14m?21z是7的整數(shù)倍，即2m+3n是7的整數(shù)倍，∴多項(xiàng)式4mx?ny是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”（其中m，n均為整數(shù)），則多項(xiàng)式2mx+3ny也是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”；（3）證明：∵A=a?2b，B=2b?c，C=c?d，∴mA+nB+tC=m=ma?2mb+2nb?nc+tc?td=ma+∵mA+nB+tC=a?6b+5c?3d，∴ma+2n?2m∴m=1,2n?2m=?6,t?n=5,t=3，∴m=1,n=?2,t=3，∴多項(xiàng)式mx+7ny+2txy為x?14y+6xy，∵多項(xiàng)式x?14y+6xy的系數(shù)和為1?14+6=?7=?1×7，∴多項(xiàng)式mx+7ny+2txy也是關(guān)于x，y的“7S標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式”．【變式訓(xùn)練1】（24-25七年級(jí)下·廣東茂名·期末）我們定義：=ab+c，=pm?qn.若=27A．4 B．16 C．64 D．256【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了整式的混合運(yùn)算、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是求出x+2y=3．由定義可得3x+2y=27=33，x+2y=3【規(guī)范解答】解：因?yàn)?ab+c所以=3x+2y所以x+2y=3，因?yàn)?pm所以=16====64.故選：C．【變式訓(xùn)練2】（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）同學(xué)們剛學(xué)完有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算后，老師又定義了一種新的“※（加乘）”運(yùn)算，以下算式就是按照“※（加乘）”運(yùn)算法則進(jìn)行的運(yùn)算：(+3)※(+4)=+7；(?6)※(?3)=+9；(+4)※(?3)=?7；(?1)※(+1)=?2；0※(+8)=+8；(?9)※0=+9；0※0=0．(1)①綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算，同號(hào)________，異號(hào)________，并把絕對(duì)值________．特別地，一個(gè)數(shù)與0進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算；都得________；②計(jì)算：(?7)※(?4)=________；③若(1?a)※(b?3)=0，則a=________，b=________；(2)化簡(jiǎn)：(x?1)※(x?3)．【答案】(1)①得正；得負(fù)；相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；②+11；③1；3(2)當(dāng)x≥3時(shí)，(x?1)※(x?3)=2x?4；當(dāng)1≤x<3時(shí)，(x?1)※(x?3)=?2；當(dāng)x<1時(shí)，(x?1)※(x?3)=?2x+4．【思路引導(dǎo)】本題考查了新運(yùn)算，有理數(shù)的加法，整式的加減運(yùn)算，歸納出新運(yùn)算的運(yùn)算法則并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題中的算式歸納即可得運(yùn)算法則；②按照①中歸納的運(yùn)算法則計(jì)算即可；③兩個(gè)數(shù)運(yùn)算得0知，這兩個(gè)數(shù)都為0，由此即可求得a與b的值；（2）分x≥3、1≤x<3、x<1三種情況計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：①由題中算式計(jì)算歸納得：兩數(shù)進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加．特別地，一個(gè)數(shù)與0進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算；都得這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；故答案為：得正；得負(fù)；相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；②(?7)※(?4)=+(7+4)=+11；故答案為：+11；③因?yàn)?1?a)※(b?3)=0，所以1?a=0，所以a=1，故答案為：1；3；（2）解：當(dāng)x≥3時(shí)，x?3≥0，(x?1)※(x?3)=x?1+x?3=2x?4；當(dāng)1≤x<3時(shí)，x?3<0，(x?1)※(x?3)=?(x?1+3?x)=?2；當(dāng)x<1時(shí)，x?3<0，(x?1)※(x?3)=1?x+3?x=?2x+4；綜上，當(dāng)x≥3時(shí)，(x?1)※(x?3)=2x?4；當(dāng)1≤x<3時(shí)，(x?1)※(x?3)=?2；當(dāng)x<1時(shí)，(x?1)※(x?3)=?2x+4．【變式訓(xùn)練3】（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號(hào)fx的形式來表示關(guān)于x的多項(xiàng)式，把x等于某數(shù)n時(shí)的多項(xiàng)式的值用fn來表示．例如x=1時(shí)，多項(xiàng)式fx=2x2?x+3的值可以記為fA．f2=3 C．f?3=28 【答案】ACD【思路引導(dǎo)】本題考查了已知字母的值，求代數(shù)式的值，將各選項(xiàng)中的x值代入多項(xiàng)式fx【規(guī)范解答】解：A：f2B：f?2C：f?3D：計(jì)算f3故選：ACD【變式訓(xùn)練4】（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)n=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)n=n2k（其中k是使Fn為奇數(shù)的正整數(shù)），兩種運(yùn)算交替進(jìn)行，例如，取A．1 B．3 C．4 D．5【答案】A【思路引導(dǎo)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律．計(jì)算出n=12時(shí)前8次運(yùn)算的結(jié)果，找出規(guī)律再進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：若n=12，第1次結(jié)果為：3，第2次結(jié)果是：10，第3次結(jié)果為：5，第4次結(jié)果為：16，第5次結(jié)果為：1，第6次結(jié)果為：4，第7次結(jié)果為：1，第8次結(jié)果為：4，…可以看出，從第5次開始，結(jié)果就只是1，4兩個(gè)數(shù)輪流出現(xiàn)，且當(dāng)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果是1；次數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是4，而2025次是奇數(shù)，因此最后結(jié)果是1．故選：A．考點(diǎn)4：日歷日期類規(guī)律探究【典例精講】（24-25七年級(jí)上·四川眉山·期中）小王同學(xué)在某月的日歷上用如圖所示的“十”字型套色方框圈出了5個(gè)數(shù)，則這5個(gè)數(shù)的和可能是（

）A．72 B．115 C．132 D．145【答案】B【思路引導(dǎo)】本題主要考查日歷數(shù)的排列規(guī)律與倍數(shù)應(yīng)用，熟練掌握“同一列相鄰數(shù)差7、同一行相鄰數(shù)差1”規(guī)律，通過設(shè)中間數(shù)表示五數(shù)和（和為5的倍數(shù)），結(jié)合數(shù)在日歷中的存在性判斷是解題關(guān)鍵．設(shè)“十”字框中間數(shù)為x，依據(jù)日歷數(shù)的排列規(guī)律（同一列相鄰數(shù)差7、同一行相鄰數(shù)差1）表示出其余四個(gè)數(shù)，求出五數(shù)和的表達(dá)式，再結(jié)合和的倍數(shù)特征與日歷中數(shù)的存在性判斷選項(xiàng)．【規(guī)范解答】解：設(shè)“十”字框中間的數(shù)為x．則上面的數(shù)為x?7，下面的數(shù)為x+7，左邊的數(shù)為x?1，右邊的數(shù)為x+1．∴這五個(gè)數(shù)的和為x?7+72÷5=14.4，不是5的倍數(shù)，不符合，排除；115÷5=23，是5的倍數(shù)．此時(shí)中間數(shù)x=23，在日歷中，23位于第四行第四列，上面數(shù)23?7=16、下面數(shù)23+7=30、左邊數(shù)23?1=22、右邊數(shù)23+1=24，均在日歷范圍內(nèi)，可構(gòu)成“十”字框，符合條件；132÷5=26.4，不是5的倍數(shù)，不符合，排除；145÷5=29，是5的倍數(shù)，但x=29位于第五行第二列，下面無對(duì)應(yīng)數(shù)（日歷最大數(shù)為31，29+7=36超出范圍），無法構(gòu)成“十”字框，排除．綜上，這5個(gè)數(shù)的和可能是115，故選：B．【變式訓(xùn)練1】（24-25七年級(jí)上·山西·期中）如圖是2024年11月份的日歷，小穎在其中畫一個(gè)2×2的方框，框住四個(gè)數(shù)，若設(shè)右上角的數(shù)字為x，則下列說法正確的是（

）

A．左上角的數(shù)字為x+1B．左下角的數(shù)字為x+7C．右下角的數(shù)字為x+6D．方框中四個(gè)位置的數(shù)相加結(jié)果是4的倍數(shù)【答案】D【思路引導(dǎo)】此題考查了列代數(shù)式和整式的加減運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)右上角的數(shù)字為a，可知右上角的數(shù)字比左上角的數(shù)字大1，左下角的數(shù)字比右上角的數(shù)字大6，右下角的數(shù)字比右上角的數(shù)字大7，由此即可作判斷．【規(guī)范解答】解：A．左上角的數(shù)字為x?1，故此項(xiàng)不正確；B．左下角的數(shù)字為x+6，故此項(xiàng)不正確；C．右下角的數(shù)字為x+7，故此項(xiàng)不正確；D．方框中4個(gè)位置的數(shù)相加=x+x?1+x+6+x+7=4x+12=4(a+3)，結(jié)果是4的倍數(shù)，故此項(xiàng)正確．故選：D．【變式訓(xùn)練2】某公司新研發(fā)一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長(zhǎng)方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標(biāo)上數(shù)字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷(1)用長(zhǎng)方形和正方形分別圈出相鄰的3個(gè)數(shù)和9個(gè)數(shù)，若設(shè)圈出的數(shù)的中心數(shù)為a，用含a的整式表示這3個(gè)數(shù)的和與9個(gè)數(shù)的和，結(jié)果分別為______，______．(2)用某種圖形圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和能表示成5a的形式，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一個(gè)這樣的圖形．(3)用平行四邊形圈出相鄰的四個(gè)數(shù)，是否存在這樣的4個(gè)數(shù)使得a+b+c+d=114？如果存在就求出來，不存在說明理由．(4)第一次翻動(dòng)31枚日歷鐵片，第二次翻動(dòng)其中的30枚，第三次翻動(dòng)其中的29枚，……，第31次只翻動(dòng)其中的一枚，按這樣的方法翻動(dòng)日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來有數(shù)字的一面都朝下，試通過計(jì)算證明你的判斷．【答案】(1)3a，9a(2)畫圖見解析(3)存在，a=25，b=26，c=31，d=32(4)不能，證明見解析【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)日歷中數(shù)字規(guī)律列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)日歷中數(shù)字規(guī)律畫圖即可；（3）根據(jù)b=a+1，c=a+6，d=a+7，得出a+b+c+d=a+a+1+a+6+a+7=114，求出a=25，再求出其他三個(gè)數(shù)的值即可；（4）求出共翻動(dòng)的次數(shù)為496，根據(jù)要使一個(gè)鐵片翻面，需要1次、3次，5次，……奇數(shù)次，根據(jù)奇數(shù)≠偶數(shù)，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：長(zhǎng)方形中中間數(shù)為a，上下兩數(shù)分別為a?7，a+7，∴3個(gè)數(shù)的和為a+a?7正方形中中間數(shù)為a，那么左右兩數(shù)分別為a?1，a+1，根據(jù)以上規(guī)律左邊三個(gè)數(shù)的和為3a?1；中間三個(gè)數(shù)的和為3a；右邊三個(gè)數(shù)的和為3∴9個(gè)數(shù)的和為3a?1故答案為：3a，9a．（2）解：如圖所示：

∵b=a?7，c=a+7，e=a?1，d=a+1，5個(gè)數(shù)的和為：a+a+7（3）解：存在，∵b=a+1，c=a+6，d=a+7，∴a+b+c+d=a+a+1+a+6+a+7=114，解得：a=25，∴b=26，c=31，d=32．（4）解：不能；共翻動(dòng)了31+30+29+28+……+2+1=31+1而要使一個(gè)鐵片翻面，需要1次、3次，5次，……奇數(shù)次，需要翻動(dòng)的總次數(shù)是，奇數(shù)×31=奇數(shù)次，奇數(shù)≠偶數(shù)，所以不能．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了整式加減的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列出代數(shù)式，熟練掌握整式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．考點(diǎn)5：表格類規(guī)律探究【典例精講】．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）表二、表三分別是從表一中截取的一部分，那么表中a=，b=．【答案】1830【思路引導(dǎo)】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，從表格中發(fā)現(xiàn)數(shù)字的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵。從表格已有數(shù)據(jù)分析可得：每一列上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，第1列上下兩個(gè)數(shù)字相差1，第2列上下兩個(gè)數(shù)字相差2，第3列上下兩個(gè)數(shù)字相差3．每一行左右兩個(gè)數(shù)字的差相等，第1行左右兩個(gè)數(shù)字相差1，第2行左右兩個(gè)數(shù)字相差2，第3行左右兩個(gè)數(shù)字相差3．右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，根據(jù)規(guī)律，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵15?12=3，∴從表1中可以發(fā)現(xiàn)：表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字相差3，所以15增加3是18，a是18．∵25?20+1=6，從表1中可以發(fā)現(xiàn)：表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字，左邊一列數(shù)字的差是5，右邊一列數(shù)字的差是5+1=6，∴b是30．故答案為：18，30．【變式訓(xùn)練1】（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·期末）“九宮圖”源于我國(guó)古代夏禹時(shí)期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，“洛書”就是一個(gè)三階“幻方”（圖2所示）．觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；若圖3，是一個(gè)“幻方”，則b=．【答案】每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等?4【思路引導(dǎo)】此題考查了數(shù)字規(guī)律，有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．計(jì)算每橫行、每豎行、每條對(duì)角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件，即可確定出b的值．【規(guī)范解答】解：觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是：每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等；∵?2+1+4=3∴b+3+4=3，即b=?4．故答案為：每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等，?4【變式訓(xùn)練2】（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·期末）綜合與實(shí)踐【數(shù)學(xué)背景】幻方是一種中國(guó)傳統(tǒng)益智游戲，它是將數(shù)字安排在正方形格子中使每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字和都相等的方法．【問題提出】（1）如圖①，將1，2，3，4，5，6，7，8，9九個(gè)數(shù)填入到3×3的方格內(nèi)，使每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字和都相等，則這個(gè)和是_____．【模型遷移】（2）圖②是顯示部分式子的幻方，用含b的式子表示a．（3）圖③是顯示部分式子的幻方，求x的值．【答案】（1）15；（2）a=5b；（3）15【思路引導(dǎo)】本題主要考查了列代數(shù)式及整式的加減，解題關(guān)鍵是理解幻方中每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字和都相等．（1）先求出這幾個(gè)數(shù)的和，再把它平均分成3份，求出每份即可；（2）觀察幻方可知每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字和都相等，列出關(guān)于a，b的等式，并把a(bǔ)用含b的式子表示即可；（3）觀察幻方可知每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字和都相等，列出關(guān)于m的等式，求出m2?3m=5，再列出含有x和m的等式，求出【規(guī)范解答】解：（1）由題意得：(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=15，∴這個(gè)和是15，故答案為：15；（2）由題意得：2a?2b=3b+5b2a=2b+3b+5b，2a=10b，a=5b；（3）由題意得：2m2mm2∵(x?2mx?2mx+9m=2mx=2=2=2(=2×5+5=10+5=15．1．（2025·四川樂山·中考真題）醇是一類由碳、氫、氧元素組成的有機(jī)化合物，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氫原子．第1種如圖1有4個(gè)氫原子，第2種如圖2有6個(gè)氫原子，第3種如圖3有8個(gè)氫原子，第4種如圖4有10個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【思路引導(dǎo)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)氫原子個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【規(guī)范解答】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：4=1×2+2；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：6=2×2+2；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：8=3×2+2；??所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是2n+2個(gè)．當(dāng)n=9時(shí)，2n+2=2×9+2=20（個(gè)），即第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是20個(gè)．故選：B．2．（2023·山東·中考真題）已知一列均不為1的數(shù)a1，a2，a3，?，aA．?12 B．13 C．【答案】A【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可把a(bǔ)1=2代入求解a2=?3，則可得a3【規(guī)范解答】解：∵a1∴a2=1+21?2=?3，a由此可得規(guī)律為按2、?3、?12、∵2023÷4=5053∴a2023故選A．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得到數(shù)字的一般規(guī)律．3．（2023·黑龍江綏化·中考真題）在求1+2+3+??+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101，2+99=101??，從而得到1+2+3+?+100=101×50=5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個(gè)三角形，記作a1=1；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個(gè)三角形，記作a2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個(gè)三角形，記作a3=9

【答案】2n2【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意得出an【規(guī)范解答】解：依題意，a1∴a1+a故答案為：2n【考點(diǎn)剖析】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北隨州·中考真題）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：設(shè)有編號(hào)為1-100的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為1-100的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，……丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有盞．【答案】10【思路引導(dǎo)】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，各個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，從而求解．【規(guī)范解答】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10個(gè)數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；故答案為：10．【考點(diǎn)剖析】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【思路引導(dǎo)】根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【規(guī)范解答】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，2=3×1?1；第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，5=3×2?1；第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，8=3×3?1；第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，11=3×4?1；…，所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為3×7?1=20；故選：B.【考點(diǎn)剖析】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第n個(gè)圖案的規(guī)律為3n?1是解題的關(guān)鍵.基礎(chǔ)夯實(shí)1．（24-25七年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖是用棋子擺成的圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第88個(gè)圖案需要的棋子個(gè)數(shù)為（

）A．264 B．7745 C．7832 D．7833【答案】D【思路引導(dǎo)】本題主要考查了圖象規(guī)律探索，理解序號(hào)與數(shù)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖的序號(hào)與圖中數(shù)量的增加規(guī)律即可求解．【規(guī)范解答】解：第1個(gè)圖，數(shù)量是1×2+1=3；第2個(gè)圖，數(shù)量是2×3+1=7；第3個(gè)圖，數(shù)量是3×4+1=13；第4個(gè)圖，數(shù)量是4×5+1=21；…∴第88個(gè)圖，數(shù)量是88×89+1=7833；故選：D．2．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）如表，從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則第2024個(gè)格子中的數(shù)為（）2abc?23…A．3 B．?2 C．2 D．253【答案】B【思路引導(dǎo)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，仔細(xì)觀察排列規(guī)律求出a、b、c的值，從而得到其規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三個(gè)相鄰格子的整數(shù)的和相等列式求出c=2，a=?2，再根據(jù)第9個(gè)數(shù)是3可得b=3，然后得出格子中的數(shù)每3個(gè)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，再用2024除以3，根據(jù)余數(shù)的情況確定與第幾個(gè)數(shù)相同即可得解．【規(guī)范解答】解：由題意可知，2+a+b=a+b+c=b+c+?2解得：c=2，a=?2，∴數(shù)據(jù)從左到右依次為2、?2、b、2、?2、b、……∵第9個(gè)數(shù)是3，∴b=3，∴每3個(gè)數(shù)“2、?2、3”為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2024÷3=674?2，∴第2024個(gè)格子中的數(shù)為?2，故選：B．3．（24-25七年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭一個(gè)小正方形需要4根小棒，搭兩個(gè)小正方形需要7根小棒，則搭2024個(gè)這樣的小正方形需要小棒（）A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化．解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)各個(gè)正方形的聯(lián)系，找出其中的規(guī)律．通過歸納與總結(jié)得出規(guī)律：正方形每增加1，火柴棒的個(gè)數(shù)增加3，由此求出第n個(gè)圖形時(shí)需要火柴的根數(shù)的代數(shù)式，然后代入求值即可．【規(guī)范解答】解：搭2個(gè)正方形需要4+3×1=7根火柴棒；搭3個(gè)正方形需要4+3×2=10根火柴棒；…，搭n個(gè)這樣的正方形需要4+3(n?1)=(3n+1)根火柴棒，搭2024個(gè)這樣的正方形需要3×2024+1=6073根火柴棒．故選：C．4．（24-25七年級(jí)上·湖南株洲·期末）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序數(shù)對(duì)n,m表示第n排，從左到右第m個(gè)數(shù)，如4,2表示9，則表示121的有序數(shù)對(duì)是（

）A．15,1 B．15,15 C．16,1 D．16,16【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律．根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可知第幾排有幾個(gè)數(shù)，每排的數(shù)據(jù)奇數(shù)排從左到右是由小變大，每排的數(shù)據(jù)偶數(shù)排從左到右是由大變小，由此可以判斷121所在的位置．【規(guī)范解答】解：由題意可得，第n排有n個(gè)數(shù)，每排的數(shù)據(jù)奇數(shù)排從左到右是由小變大，每排的數(shù)據(jù)偶數(shù)排從左到右是由大變小，則前n排有n(n+1)2當(dāng)n=15時(shí)，則前15排有120個(gè)數(shù)，當(dāng)n=16時(shí)，則前16排有136個(gè)數(shù)，∵121=(1+2+3+?+15)+1，∴121在第16排，∵偶數(shù)排從左到右是由大變小，∴121所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)是(16,16)，故選：D．5．（24-25七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）（圖形找規(guī)律）下圖都是用邊長(zhǎng)1厘米的正方形擺成的．照這樣的規(guī)律擺下去，第10個(gè)圖形的周長(zhǎng)是厘米，面積是平方厘米．（圖中依次是1個(gè)正方形，3個(gè)正方形堆疊，5個(gè)正方形堆疊）【答案】58100【思路引導(dǎo)】本題考查圖形規(guī)律的探索，分析圖形找到變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．觀察圖形找到周長(zhǎng)與面積的變化規(guī)律即可求解．【規(guī)范解答】周長(zhǎng)：觀察圖形，前4個(gè)圖形周長(zhǎng)分別為4，10，16，22，每一個(gè)圖形周長(zhǎng)比前一個(gè)圖形周長(zhǎng)增加6cm，則第10個(gè)圖形周長(zhǎng)為4+故答案為：58；面積：觀察規(guī)律，每個(gè)圖形中小正方形個(gè)數(shù)是圖形序號(hào)的數(shù)字，∵每個(gè)正方形面積為1cm2，則第10個(gè)圖形面積為故答案為：100．6．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第5個(gè)圖形中有黑色瓷磚塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚塊．（用含字母n的式子表示）【答案】163n+1【思路引導(dǎo)】本題考查圖形的規(guī)律，代數(shù)式，理解圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)每個(gè)圖形的黑色瓷磚增幅相等，都是3，可以猜測(cè)第n個(gè)圖形黑色瓷磚是3n+1塊，然后代入驗(yàn)證即可．【規(guī)范解答】解：第一個(gè)圖形∶黑色瓷磚是1+3=4（塊）；第二個(gè)圖形∶黑色瓷磚是1+3×2=7（塊）；第三個(gè)圖形∶黑色瓷磚是1+3×3=10（塊）；……∴第n個(gè)圖形∶黑色瓷磚是3n+1塊；當(dāng)n=5時(shí)，3n+1=3×5+1=16（塊）．故答案為∶16；3n+1．7．（24-25七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）（圖形找規(guī)律）如圖，第1個(gè)數(shù)是1，第2個(gè)數(shù)是8，第3個(gè)數(shù)是27，……，按照?qǐng)D形與數(shù)的排列規(guī)律，第5個(gè)數(shù)應(yīng)是()，第n個(gè)數(shù)是()．【答案】125n【思路引導(dǎo)】本題考查了圖形類規(guī)律探索，觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)都是個(gè)數(shù)的3次方，由此解答即可，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：∵第1個(gè)數(shù)是1=1×1×1，第2個(gè)數(shù)是8=2×2×2，第3個(gè)數(shù)是27=3×3×3，……，∴按照?qǐng)D形與數(shù)的排列規(guī)律，第5個(gè)數(shù)應(yīng)是5×5×5=125，第n個(gè)數(shù)是n3故答案為：125，n38．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察一組數(shù)：5,10,15,20,25，…．(1)你認(rèn)為這組數(shù)有可能是按什么規(guī)律排列的？用文字描述這組數(shù)可能的排列規(guī)律．(2)根據(jù)（1）中的規(guī)律，用代數(shù)式表示第n個(gè)數(shù)．【答案】(1)每個(gè)數(shù)都是序號(hào)的5倍(2)5n【思路引導(dǎo)】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是找出數(shù)字變化的規(guī)律．（1）根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律即可求解．（2）根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律即可寫出代數(shù)式．【規(guī)范解答】（1）解：∵5=5×1,10=5×2,15=5×3,20=5×4,25=5×5…．由此可得到：每個(gè)數(shù)都是序號(hào)的5倍；（2）解：由（1）得第n個(gè)數(shù)為：5n．9．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，邊長(zhǎng)相等的小正方形組成一組有規(guī)律的圖案，其中部分小正方形涂有顏色．按照這樣的規(guī)律，第4個(gè)圖案中有多少個(gè)涂色的小正方形？第n個(gè)圖案呢？【答案】17；4n+1．【思路引導(dǎo)】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，觀察可知后面一個(gè)圖形比前面一個(gè)圖形多4個(gè)涂色的小正方形，據(jù)此規(guī)律求解即可．【規(guī)范解答】解：第1個(gè)圖案有5個(gè)涂色的小正方形，第2個(gè)圖案有5+4=9個(gè)涂色的小正方形，第3個(gè)圖案有5+4×2=13個(gè)涂色的小正方形，……，以此類推，可知，第n個(gè)圖形有5+4n?1∴第4個(gè)圖案中有4×4+1=17個(gè)涂色的小正方形．10．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”，通過圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，達(dá)到化隱為顯，以形助數(shù)的目的，使問題簡(jiǎn)捷地得以解決．請(qǐng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決下面問題：【觀察分析】用大小一樣的正方形按如圖方式拼成長(zhǎng)方形．現(xiàn)用兩種方法求解陰影部分黑色小正方形的個(gè)數(shù)：（1）填空：①?gòu)膱D①中可以得到：1=1×2②從圖②中可以得到：1+2=2×3③從圖③中可以得到：1+________=________，因此圖③中共有6個(gè)黑色小正方形；【規(guī)律總結(jié)】（2）由此可以猜想：圖n中共有________個(gè)黑色小正方形，請(qǐng)你用圖①~④檢驗(yàn)?zāi)憧偨Y(jié)到的規(guī)律；（3）根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)，我們還可以得到猜想：1+2+3+???+n=________；【探究應(yīng)用】（4）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，計(jì)算：1+2+3+???+50；【拓展應(yīng)用】（5）計(jì)算：11+13+15+???+39．【答案】（1）①1；②3；③2+3；3×42；（2）nn+12；（3）nn+1【思路引導(dǎo)】本題考查圖形的變化規(guī)律，（1）①數(shù)出圖①中黑色小正方形的個(gè)數(shù)即可；②數(shù)出圖②中黑色小正方形的個(gè)數(shù)即可；③結(jié)合①、②的等式即可得出結(jié)果；（2）結(jié)合①、②、③等式右邊的形式猜想出結(jié)果即可；（3）結(jié)合（1）和（2）可得結(jié)論；（4）利用（3）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可；（5）將11+13+15+???+39轉(zhuǎn)化為2×1+2+3+???+15找出規(guī)律并利用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：（1）①?gòu)膱D①中可以得到：1=1×22，因此圖①中共有故答案為：1；②從圖②中可以得到：1+2=2×32，因此圖②中共有故答案為：3；③從圖③中可以得到：1+2+3=3×42，因此圖③中共有故答案為：2+3；3×42（2）∵圖①中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為：1=1×2圖②中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為：1+2=2×3圖③中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為：可以得到：1+2+3=3×4圖④中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為：可以得到：1+2+3+4=4×5……由此可以猜想：圖n中共有nn+1故答案為：nn+1（3）由（1）和（2）可知：1+2+3+?+n=n故答案為：nn+1（4）1+2+3+???+50=50×（5）11+13+15+???+39==2×=2×=15×16+9×15==25×15=375．培優(yōu)拔高11．（24-25七年級(jí)上·重慶·期末）已知a0,a1x,a2x2,a3x3,…,anxn，其中n,a0①M(fèi)4②若FM3=3，則所有滿足條件的整式M③若n+FMn=5其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【思路引導(dǎo)】本題主要考查了整式的加法運(yùn)算，熟練掌握整式的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．由題意知，M4=a4x4+M2=a4x4+a2x2【規(guī)范解答】解：①由題意得：M4②由題意得：M0FM∵FM∴a∴a1=2,∴M3=2∴所有滿足條件的整式M3的和為2③∵n+FM∴當(dāng)n=0時(shí)，0+FM∴FM0=5當(dāng)n=1時(shí)，1+FM∴FM∵M(jìn)1∴a1∴M1當(dāng)n=2時(shí)，2+FM∴FM∵M(jìn)∴a∵a0為非負(fù)整數(shù)，∴a0=0a2=3∴M2=3x2當(dāng)n=3時(shí)，3+FM∴FM∵M(jìn)∴a∵a1∴a∴M當(dāng)n=4時(shí)，4+FM∴FM∵M(jìn)∴a∵a0為非負(fù)整數(shù)，a∴此時(shí)不滿足要求．∴所有滿足條件的整式Mn正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：C．12．（22-23七年級(jí)下·浙江溫州·期中）觀察：x?1x+1x?1xx?1xx?1x據(jù)此規(guī)律，求22023+2A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了整式的運(yùn)算，找出等式的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．依據(jù)題意，得出規(guī)律為x?1xn+xn?1+?+x2+x+1=xn+1?1【規(guī)范解答】解：由上面的規(guī)律可知：x?1x當(dāng)x=2，n=2023時(shí)，2?12∴22023∵21=2，22=4，23=8，∵2024÷4=506，∴22024的個(gè)位數(shù)字是6∴22024?1的個(gè)位數(shù)字是故選：C．13．（23-24七年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）《莊子·天下》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完．如圖，有一根4米長(zhǎng)的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，則第1天到第5天一共截取的長(zhǎng)度為（

）A．318米 B．4712米 C．6316米 【答案】A【思路引導(dǎo)】此題考查了數(shù)字類的規(guī)律，正確理解題意，列出算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)每次截取的長(zhǎng)度都是前一次截取剩余長(zhǎng)度的一半求出第1天到第5天截取的長(zhǎng)度，再相加即可.【規(guī)范解答】解：第1天截取的長(zhǎng)度為12第2天截取的長(zhǎng)度為12第3天截取的長(zhǎng)度為12第4天截取的長(zhǎng)度為12第5天截取的長(zhǎng)度為12故第1天到第5天一共截取的長(zhǎng)度為2+1+1故選：A14．（24-25七年級(jí)上·湖南湘西·期末）a是不為1的有理數(shù)，我們把11?a稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為11?2=?1，?1的差倒數(shù)為11??1=12，已知a1=5，a2是a1的差倒數(shù)，A．45 B．?14 C．【答案】A【思路引導(dǎo)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握通過計(jì)算前幾項(xiàng)找出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)差倒數(shù)的定義依次求出前幾項(xiàng)，找出循環(huán)規(guī)律，再根據(jù)循環(huán)周期計(jì)算a2025【規(guī)范解答】解：∵a1∴a2∵a2∴a3∵a3∴a4∵a4∴該數(shù)列以5，?14，∵2025÷3=675，∴a2025故選：A．15．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）觀察圖中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為m，則m=（用含n的