微重點15拋物線的二級結(jié)論的應(yīng)用

拋物線是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強，因而解題時需要運用多種基礎(chǔ)

知識，采用多種數(shù)學手段，熟記各種定義、基本公式.法則固然很重要，但要做到迅速、準

確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，特別是拋物線的焦點弦的一些二級結(jié)論，在考試中經(jīng)常

用到，正確靈活地運用這些結(jié)論，一此復(fù)雜的問題便能迎刃而解.

考點一拋物線的焦點弦

【核心提煉】

與拋物線的焦點弦有關(guān)的二級結(jié)論

若傾斜角為的直線/經(jīng)過拋物線產(chǎn)=2/八-（〃＞0）的焦點，且與拋物線相交于A（x\,）"）,

8（X2,丁2）。1＞、2）兩點，則

①焦半徑河=川+異廠

②焦點弦長|A3|=r+也+。=烹＞

dillVA

③S/iOA3=）sin。（。為坐標原點）,

p2

④X|X2=4，）例=一〃2，

J?

⑥以48為直徑的圓與準線相切，以FA為直徑的圓與），軸相切.

考向1焦半徑、弦長問題

例1（1）已知/是拋物線C），2=標的焦點，過點尸作兩條相互垂直的直線①直線八

與C相交于4,8兩點，直線，2與C相交于。，￡兩點，則H8|十|Q￡|的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析如圖，設(shè)直線6的傾斜角為仇〃￡（0,守，

工

則直線/2的傾斜角為3+仇

由拋物線的焦點弦弦長公式知

2p4

口同一siMg—siM。

，

\DE\=-而布%+。、）=8~s^2。

._44_______4

_22

?.\AB\\DE\—sjn2^^cos2^-sin^cos^

=^^26

當且僅當sin2。=1,即。=彳時取等號.

???HB|+|DE|的最小值為16.

（2）斜率為小的直線經(jīng)過拋物線）2=2px（p>0）的焦點F與弛物線交于A,8兩點，A在第一象

限且依目一4,則|八句一.

2g16

答案T

解析直線/的傾斜角a=60。，

由"月=二盆=4,

得p=4(l—cosa)=2,

4

考向2面積問題

例2（2022?長沙模擬）已知拋物線C：/=16.v,傾斜角為^的直線/過焦點尸交拋物線于A,

3兩點，O為坐標原點，則△A8O的面枳為.

答案64

解析方法一（常規(guī)解法）依題意，

拋物線C：9=16x的焦點為八4,0）,

直線/的方程為x=，5y+4.

f.r=V3y+4,

由1消去K,

y=i6x,

得)2—1(r\[3y—(A=().

設(shè)A(xi,yi),8(X2,J2)?

則yi+>2=16A/3,)仇=一64.

5,曲8=熱—MIO/1

=2人⑴+)2)2-4yly2

=2\/(16V3)2-4X(-64)=64.

方法二(活用結(jié)論)依題意知,

拋物線：^=16%,〃=8.

又/的傾斜角a弋.

所以S—產(chǎn)式京=1^=64.

2sin7

o

112

考向3南+的吃的應(yīng)用

例3（2022?“四省八?！甭?lián)考）已知拋物線產(chǎn)=4%,過焦點產(chǎn)的直線與拋物線交于A,4兩點,

則2HQ+I8F1最小值為（）

A.2B.2#+3

C.4D.3+2^2

答案D

112

解析因為〃=2,所以而+的=萬=1，

所以2|AF|+|BF|

=QH月+18尸I）?島+矗）

…坐且工1因

十18Pl十HF|

13+22|他MF|—3+2\/2,

當且僅當|8F1=^HF|時，等號成立，

因此，2HQ+I8Q的最小值為3+2吸.

考向4利用平面幾何知識

例4（2022?遂寧模擬）已知產(chǎn)是拋物線C：）2=2〃x（p>0）的焦點，過點尸的直線/與拋物線交

'：AB=3FB

???b為AB的三等分點,

令|BF|=L則|AF|=2f,

,1,1_2

出|BF|十HQ-p'

1,123

得ZB7+萬=》='=?，

.\|AB|=3r=1/?,

又1ABi=羔

.2p9一.2為

???o—力〃nsina一々，

sirra4,3

又Si=%B|,???嘉廣由阿

即量邛%=P=2，

3

9

???|AB|=]

（2）已知拋物線Cf=4y,焦點為E過點尸的直線與拋物線交于A,8兩點，該拋物線的準

線與y軸交于點M，過點A,8作準線的垂線，垂足分別為H,G,如圖所示，則下列說法不

正確的是（）

GM\H

A.線段AB長度的最小值為2

B.以AB為直徑的圓與直線），=-1相切

C.NHFG=90°

D.NAMO=NBMO

答案A

解析如圖，取A8的中點為C,作CQ_LGH,垂足為0,

當線段A8為通徑時長度最小，為2P=4,故A不正確;

???直線)，=一1為準線,

A|CD|=5(|A^4-|SG|)=||AB|,

故以人8為直徑的圓與準線)，=-1相切,

故B正確；

又|3fl=|8G|,:?/BFG=/BGF,

又BG//FM,

：.NBGF=NMFG,

：,/BFG=/MFG,

同理可得ZAFH=ZMFH,

又NBFG+產(chǎn)G+NM/77+NAFH=180°,

:?FGLFH.

即N"FG=90。,故C正確;

設(shè)A(xi,yi)?8(x2,>,2)?直線A8：y=履+1,

卜，="+1,

由4O

刀=4)，，

得X2—4^r—4=0,

??x)X2—-4,汨+工2=4左，

V+]”+1

以“+kfiM=v

X]X2

x\X2

X\X2

AL

=2^+2—=0,

-4

???N4MO=NBMO,故D正確.

考點二定點問題

【核心提煉】

拋物線方程為尸=2〃工(〃>0),過(2p,0)的直線與之交于4,B兩點、,則。4_1_。乩反之，也

成立.

例5如圖，已知直線與拋物線r=2小，交于A,8兩點,且OA_LO8,OQ_LA3交A8于點

。，點。的坐標為(2,4),則〃的值為()

B.4C.|D.|

A.2

答案D

解析如圖，令A(yù)B與y知交于點C,

*：OALOBt

?,*3過定點C(0,2p),

又D(2,4),

ACb=(2,4-2p),5b=(2,4),

*：ODA.A13,

.\cbdb=o,

即4+4(4—2p)=0,解得p=1.

易錯提醒要注意拋物線的焦點位置，焦點不同，定點是不同的；在解答題中用該結(jié)論時需

證明該結(jié)論.

跟蹤演練2已知拋物線）2=4x,A,3為拋物線上不同西點，若OAJ_。從則AAOB的面積

的最小值為.

答案16

解析如圖，???OA_LO8,

???直線A8過定點(2p,0),

即點C坐標為(4,0),

設(shè)直線AB：x=ty+4,A(X],yi),8(必,”),

x=/y+4,

聯(lián)立1、=)2—4(y—16=0,

y2=4x

zf=16?+64>0,yi+,2=4f,yi”=-16,

:.SAAO8=g|OCg一四=2卜1一”|

=2416尸+64,

???當/=0時，Smin=16.

專題強化練

1.(2022?荷澤模擬)設(shè)坐標原點為O,拋物線V=4x與過焦點的直線交于4,8兩點，^OA-OB

等于()

33

A]B.一不C.3D.—3

答案D

解析方法一拋物線^=41的焦點為廣(L0),

x=tyA-1,

設(shè)直線A8的方程為x=rv+l,A(x\yi),8(x2,”)，由，.得y2—4/y—4=0,

ty=74x,

A—16/2+16>0恒成立，

二》+”=包

則

)第=14,

所以為lOB=X[X2+yi)'2

=騁+州2=備(_4)=_3.

方法二因為AB過拋物線的焦點，

設(shè)4即，yi),8(X2,>'2)?

則X|X2=4=1，)D'2=—p1=—4,

所以。403=汨X2+了1)'2=~3.

2.如圖，過拋物線產(chǎn)=8工的焦點尸的直線/與拋物線交于4,B兩點,與拋物線準線交于C

點，若8是AC的中點，則H陰等于()

A.8

C.10

答案B

解析如圖所示，令=

則|B8'|=/,

又8為AC的中點，

：.\AA'\=\AF\=2h

：.\BC\=\AB\=\AF]+\BF]=3t9

又△CBB'sdCFE,

.\BC\\Bir|

,,|CF|-\FE\*

3r3

a即n京

9

???|/\8|=3/=手〃=9.

3.傾斜角環(huán)的直線/交拋物線C：爐=2〃沏>0)于4,E兩點，且。4JLO8,S.“O8=8小,

則拋物線C的方程為()

A.y1—2xB.y^~4x

C.)2=4企丫D.>2=8x

答案B

解析?.?OA_LO8,???直線過定點(2p,0)

設(shè)直線/的方程為x=y+2p,

設(shè)4汨，yi),8(X2,”)，

x=y+2p,

聯(lián)立:得y2—2/4〃2=o,

z

ly=2pxi

/=4p2_4X（—4〃2）=20P2>o,

，》+”=2〃，），]及=14p：,

S^AOB=^2p\）'\—>'a|

=八/8+悶2-4yly2

=244爐+16P2=2y[5p2=8小,

?'?p=2,

二拋物線C的方程為）2=4x.

4.直線/過拋物線）2=6i的焦點F,交拋物線于4,B兩點,且|4Q=3|BF|,過A,8分別

作拋物線。的準線的垂線.垂足分別為A',"，則四邊形A3B'4'的面枳為（）

A.4小B.84

C.16\/3D.324

答案C

解析不妨令直線/的傾斜角為。，

則火網(wǎng)=i-cos<9=1-COS9,

___R________3

族"1+cos01+cos。'

又H/1=3|/M1，

?33

**I-cos0'1+cos8'

解得cose=；,

又9￡[0,7i),???西,

33

="j6,\BF\=.-7=2,

1—cos9I+cosG

???HA'|=6,\BB'|=2,

?“’"|=HEsinG=8X曰=4小，

：-S^ABB'A'=1X（2+6）X4V3=16V3.

5.（2022?聊城模擬）已知拋物線C：）2=2p%（p>0）的焦點/到準線的距離為2,過產(chǎn)的直線/

交拋物線。于A,B兩點,則（）

A.C的準線方程為犬=一2

B.若|AQ=4,則|。川=2#

C.若|AQ-|BF1=4〃2,則/的斜率為±75

D.過點A作準線的垂線，垂足為"，若x軸平分NHF8,則HF|=4

答案D

解析對于A,因為拋物線C）2=2〃x（p>0）的焦點尸到準線的距離為2,所以〃=2,

所以拋物線方程為）2=44則焦點尸（1,0）,準線為彳=一|,故A錯誤;

對于B,若H/n=4,則以=3,所以必=4必=12,

所以|。川=迎鎘=近1,故B錯誤；

對于C,設(shè)直線A8的傾斜角為a,aE（0,兀），

則|Afl|3Fl=丁”-—=名~=4戶，

1—cosaI+cosasin-a了

1

所以.%-

sm-4

所以sinQ=],

所以。=30。或150。,

所以tana=￥F，故C錯誤;

對于D,若x軸平分則/0燈7=/。/，'從又軸,

所以NA〃/=NO"/,/OFB=NHAF,

所以NA”/=/”AF,

所以“尸=人尸=4”,

所以嗎&="，即必=3,

所以HF|=XA+1=4,故D正確.

6.（2022?武漢模擬）斜率為k的直線/經(jīng)過拋物線C：），2=2〃必》0）的焦點F,且與拋物線C

相交于A，B兩點，點A在x軸上方，點M（—1,—1）是拋物線。的準線與以A8為直徑的圓

的公共點，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.p=2B.k=-2

1/7417

C.

MFLAB田身5

答案D

解析由題意知，拋物線C的準線為工=-1,

即§=1,解得〃=2,故選項A正確；

:〃=2,???拋物線C的方程為）2=4X,

其焦點為尸（1,0）,

由已知可得以44為直徑的圓與準線相切，

，點M（—1,一1）為切點，

???圓心的縱坐標為一1,即A8中點的縱坐標為一1,

設(shè)AB：x=）+l,

fx=O'+h

聯(lián)立L,

l）?=4x,

得j?2—4r）?—4=0,

4=16產(chǎn)+16>0,

Ayi+y2=4r=-2,

Ar=-1,即2=—2,故選項B正確；

-1-01

-2,KMF="7=5,krk=—1,

?k=—1—12M

.\MF_LAB,故選項C正確;

過A作AA\.Lx軸于點4,過3作BB]±x軸于點

設(shè)拋物線的準線交x軸于點C,/BFB產(chǎn)仇

?,師=不/四=7^，

又p=2,k=—2,貝I]cos。=三，

.|M|5-V5

?,閥一5+小

_(5~<5)*123*8

―25-5

30-10^5