微重點15離心率的范圍問題

圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對I劇錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解

決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.

考點一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍

例1（1）（2022.南京模擬）設(shè)白，及分別為具有公共焦點人與&的橢圓和雙曲線的離心率，P

為兩曲線的一個公共點，且滿足NQP后=全則e/2的最小值為（）

A.2B-2C-4D4

答案A

解析設(shè)橢圓的長半軸長為0,雙曲線的實半軸長為。2,不妨設(shè)IPAAIPBI，

由橢圓和雙曲線的定義可得

仍「i|+|P6l=2ai,

IPBI-IP尸2|=2。2,

|。/引=。1+〃2,

得

設(shè)尸El=2c,

因為由余弦定理得

222

|FIF2|=|PFI|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COSZFIPF2,

即4c2=31+。2）2+31-㈤2—2（a1+。2）（。1-?2）cos.

I?

整理得屆+3是=4洛故荷+最=4.

又4=才+和2班號=陪

即2淺,

所以約及》坐，

即白62的最小值為坐，

當且僅當\=看即e尸坐,及=乎時,等號成立.

（2）（2022?杭州模擬）設(shè)橢圓C：，+1=1（〃＞力＞0）的左、右焦點分別為Q,0，過原點的直線/

與橢圓C相交于M,N兩點（點M在第一象限）.若|MN|=|QB|,^坐，則橢圓C的離

1J|。

心率e的最大值為（）

A立二I

B.^/6—1

「心

L?2D.小一1

答案D

解析依題意作圖，如圖所示,

由于|MN1=IBBI,并且線段MM居戶2互相平分，.??四邊形MFNB是矩形,

其中〃血&=冬

???|NF]|=|M&|,

設(shè)|MBI=x,則|MFi|=2a-x,

根據(jù)勾股定理得|MF||2+IMF2F=EBI?,

即f+(2a—1)2=4。2,

整理得f-2or+2/=0,

由于點M在第一象限，

則x=a—y/a2—2b2,

由題意得繇上周》坐，NMFE餐

即M斗尸典，a-ylcr-2b2^c,

整理得2『一2砒一/20,/+2e—2W0,

解得OVeW小一1,

即e的最大值為小一1.

規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)

于a,bfc的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍.

（2022?嘉興模擬）如圖，已知Q,22分別為雙曲線余一務(wù)

跟蹤演練1=1（67＞0,比＞0）的左、右

焦點，。為坐標原點，其漸近線與圓廣+9=/在第二象限交于點P,過尸作圓的切線過雙

2

曲線的左焦點且與右支交于點Q,若IPQAIQBI+qo&l，則雙曲線的離心率的取值范圍是

答案01)

解析因為OP_LP居，

所以|PRI=ylc2—a2=b.

由雙曲線的定義得伊。|+〃一|0BI=2a,

所以伊。|=2〃-6+|。氏|,

2

因為|P@>IQBI+@OF2l，

所以所一方+IQ尸2|>|。冏修,

2

所以2a—b>Tc,

2

-

5七>

所以(2〃一力2=d—

所以21/+40e-125<0,

所以(3e-5)(7e+25)v(),

所以e<|,

因為直線FiQ與雙曲線的右支相交,

所以tanZ(2F|F2<^,

所端，

所以H〈護=/一序，

所以c2—2?2>0,

所以/>2,所以

所以出veg.

考點二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍

例2⑴（2022?西安模擬）圓柱OOx的軸截面A38A是正方形，過上底面圓弧上任意一點F

作平面與圓柱的側(cè)面相交，則相交所得到曲線的離心率的最大值為（）

C.A/2D.2

答案B

解析過點尸的平面與圓柱側(cè)面相交，交線所形成的曲線為橢圓，如圖，橢圓的短軸長為底

面圓的直徑，不妨令底面圓的半徑為1,則短軸長2〃=2.如圖所示，當該橢圓剛好

與上、下底面有一個交點時，長軸最長為EF,

由圖知，MEN尸為正方形，邊長為2,

則E尸=2小，即2〃或2小，JaWVL

**（r=cr—b1=cr—1,

???0VeW*,e的最大值為坐.

（2）已知橢圓C5+務(wù)=13>”>°），點尸是。上任意一點，若圓O：產(chǎn)爐上存在點M,

N,使得NMPN=120。，貝JC的離心率的取值范圍是（）

答案C

解析連接。P,當戶不為橢圓的上、下頂點時，設(shè)直線以，P8分別與圓。切于點A,B,

ZOR\=a,

:存在M,N便得/MFN=120\

??.NAP82120。，即。260°,

又?＜90°,

sina2sin60°,

連接OA,則sina=|op|=|0p|2"

J

又P是c上任意一點，

則QHmaxW^

又|OP|max=a，?3把華，

則由/=〃+?,得/w/

又0＜。＜1,

規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：桶圓的最大角，通徑，三角町中的邊角關(guān)系，曲線上

的點到焦點距離的范圍等，建立不等式（不等式組）.

跟蹤演練2橢圓，+1=1（。＞力＞0）上存在一點P滿足QPAP，Q，匕分別為橢圓的左、

右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）

A.（0，習B（0,孚］

弟,I）D停1）

答案D

解析如圖所示，A為橢圓的上頂點.

依題意NB4F2290。,

即NOAF2245°,

又抬22|=。，\AO\=b,|OBI=c,

?./c.y10匕Ic

..sinZOAF2-1AF2|-f/

???NQAB245。，

:.sinZOAF2e［乎，1

即e超,1)

考點三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍

例3⑴（2022?樂清模擬）設(shè)Q,F2分別為橢圓S+方的左、右焦點，若在直線x

、

=一?（。為半焦距）上存在點P，使IPQI的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓禽心率的取值范圍

為（）

A.（0,用B.￥，1）

c（o,陰D,坐I）

答案B

解析如圖所示，橢圓方=1，

可得焦距舊尸d=2c,

因為在直線尸一器上存在點P,使I哂的長度恰好為橢11的焦距,

2

可得|MFi|W2c,即《一cW2c,

可得Z3c2,即割,解得拉乎,

又因為橢圓的離心率e￡（o,l）,

所以坐,I）

72

（2）（2022?萍鄉(xiāng)模擬）已知雙曲線C：，一方=13＞。，歷＞0）的左頂點為人，左、右焦點分別為居，

3，以昌三為直徑的圓交雙曲線一條漸近線于尸，Q兩點，若cos/以Q＞一熱則該雙曲線

離心率的取值范圍是（）

A.（1,713]B.（l,平]

C.（l,等]D.雨,4-0°）

答案B

解析以FIF2為直徑的圓的方程為『+y2=d,

雙曲線C的一條漸近線方程為y=3，

四孑，

產(chǎn)。2,

解得(不妨設(shè))P(〃，b),<2(—a,-b),A(—a,0),

所以AP=(2a,b),AQ=(0,一初,

所以cos/%Q=

麗質(zhì)I

yjAcP-]-b25，

即IA"+序W盤

y/4a~十b?＞

p9

解得上嗡

所以雙曲線的離心率=yj

規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之

間的關(guān)系.

跟蹤演練3（2022?長沙市雅禮中學等十六校聯(lián)考）已知雙曲線C：￡一方=13>0,心0）的左、

右焦點分別為R，B，若C與直線y=x有交點，且雙曲線上存在不是頂點的點P,使得NPBQ

=3NPQ@,則雙曲線離心率的取值范圍為.

答案（血，2）

解析雙曲線C與直線y=x有交點，

?.b,b1c2―/

則尸，汗丁文

解得

雙曲線上存在不是頂點的點P,

使得/PF2FI=3NPEB,

則P點在右支上，設(shè)PFi與,，軸交于點Q,由對稱性知|0Q|=|Q3|,

所以NQQF2=NQBR,

所以ZPF2Q=NPF2F1-NQFFi

=2NPFIF2=/PQF?,

所以|PQ|=|PB|,

所以IPEI-IP冏=|Pril-IPQI

=\QFy\=2a,

由|QFi|>|0冏得2a>c,

所以e=32,

在中，ZPFiF2+ZPF2FI=4ZPFiF2<180°,ZPF|F2<45°,

所以就=cosZPF\乎，

即e=》/i,

綜上，y/2<e<2.

專題強化練

1.（2022?南充質(zhì)檢）已知"一八0）,&（c,0）是橢圓C：￡+方=13汕>0）的左、右焦點，若

橢圓上存在一點P使得麗?福=d,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A停陰B惇陰

C［小一1,坐］D.凈1）

答案B

解析設(shè)點P（x,y）,由?兩

=（—C—x,-y＞（c—x,—（?+^2

7,2"2

=f-/+〃一酒-（？+后，

因為owfw/,

所以從一/W的謠W/A

即B-SWdWb?,

結(jié)合J可得;

所以4當，例

廠9V7

2.已知雙曲線/一方=l（G＞0,方＞0）的左、右焦點分別為Q,/2，點P在雙曲線的右支上,

且|P*|=4|P&|,則此雙曲線的離心率e的最大值為（）

457

A.gB.gC.2D.g

答案B

解析方法一由雙曲線的定義知

|PFI|-|PF2|=2?,①

X|PFI|=4|PF2|,②

S2

故聯(lián)立①②，解得|尸川=鏟，|PBI=1a

在△尸尸1尸2中，由余弦定理，

婦,十^2―4/

嚴丁y"179

得cosZFiPFi=-------------=9-，

2寸乎

要求e的最大值，即求cosNQPB的最小值，

當cosNQP&=-l時，

解得€='!，即e的最大值為|.

方法二由雙曲線的定義知.I尸E|一|PF,|=2a.

又|PQ|=4|PBI,

82

-z_

???g39y

.|F|F2|=2C,

82

?,.§〃+孕122c,

二鴻，

即雙曲線的離心率e的最大值為宗

3.（2022?湘豫名校聯(lián)考）已知雙曲線M：，■方=15>0,b>0）的左、右焦點分別為長，B，

以線段FiF?為直徑的圓。與雙曲線M在第一象限交于點A,若tan/ABQW2,則雙曲線M

的離心率的取值范圍為（）

A.［小，+8）B.（I,巾］

C.（1,洞D.他,-4-00）

答案D

解析依題意可得HQI-|AB|=2m

又|4「1|2+依尸2『=1尸1尸2『=4落

所以（|"2|+2〃）2+|”2產(chǎn)=金2,

得HBI=—a+山廿一病,

所以|4Q|=2〃+IABl=。+A/2c2—〃2,

圻|'八3c_|4R|a+{2（

所以tan/ABQ—|A&廠一+住三^W2,

得，25片，得e》事.

22

4.己知雙曲線C：力一方=1（00,b>0）,直線x=2a與。交于A,3兩點（A在3的上方），DA

=嬴，點E在），軸上，且￡A〃x軸.若△3。￡的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離不小于半，則C的離心

率的最大值為（）

A當B.平

C.V2D嚕

答案B

解析因為A在B的上方，且這兩點都在。上,

所以A（2〃,小份，

僅2a,-yfib）,

則必8|=2小A

因為法=彳及

所以4是線段8。的中點，

又EA〃x軸，

所以|￡。|=|￡8|,EAA.BD,

所以aBOE的內(nèi)心G在線段EA上.

因為OG平分NED4,在△EDA中，

由角平分線定理知相=幽

因為G到），軸的距離不小于多，

4a

所以但5>耳=2

所以|GA|4a2,

2a-y

所以黑（22,所以NED4N60。，

因此tanNEOA=^=施2小，

即

C<J

故is/+（辨率

5.（多選）（2022?重慶育才中學模擬）已知橢圓C：，+方=1（。>〃>0）的左、右焦點分別為B，

&，長軸長為4,點P（啦，1）在橢圓內(nèi)部，點。在橢圓上，則以下說法正確的是（）

A.|Q尸i|+|QB|=4

B.當離心率為由時，IQ川的最大值為2+坐

C.橢圓。離心率的取值范圍為（0,I）

D.存在點Q使得麗?詼=0

答案AB

解析由長軸長為4,故2a=4=〃=2,由點Q在橢圓上，

根據(jù)橢圓的定義得IQRI+I。尸21=4,故A正確；

當離心率為《時，可得6=^=務(wù)。=乎，

則|。為|的最大值為2十孚，故B正確；

點尸（色，1）在橢圓內(nèi)部，

故義+*<1=4>〃2>2,

橢圓C的離心率為嚼2￡（0,乎），故C能誤；

由選項C知，c=ae￡（0,啦），2）,

故不存在點。使得赤?詼=（）,故D錯誤.

72

6.（多選）已知O為坐標原點，雙曲線C：，一5=13>。，比>0）的右焦點為尸，/是C的一條

漸近線，以尸為圓心，。為半徑的圓與/交于A,B兩點，則（）

A.過點。且與圓〃相切的直線與雙曲線。沒有公共點

B.C的離心率的最大值是6

C.若前?旗>0,則。的離心率的取值范圍是修，同

D.若力=贏，則C的離心率為平

答案ACD

解析對于A,因為雙曲線。的漸近線/與圓戶交于A,8兩點，所以過點O且與圓F相切

的直線與C沒有公共點（如圖），故選項A正確；

對于B,過點尸作尸OJJ,垂足為。，易知尸Q|=〃,

因為圓廠與直線/相交，

所以8V/,又。2=/+房，

所以，＜2層，即以v2,

所以C的離心率的取值范圍是（1,?。?

故選項B錯誤；

對于C,若加/B>0,

則OVNA/^T，故0VNAF/)4,

故3SNAFD>^,所以隅L堂，

3

即平，a<^2b,a2<2(c2~a2)-

t2

C<J

又由B知e￡(l,、R),

所以6￡（李，也），故選項C正確;

對于D,因為后=4瓦

所以4為線段08的中點，

設(shè)|AD|=m,則|0川=2加，|0。|=3〃?,

在RtAAFD和RtAOFD口，

b2+m2=a2.

由勾股定理得

22

b+9m=(rt

消去m2,得d=9a2—8加,即17a2=9/,

所以。=口，故選項D正確.

,2

7.（2022?湖南六校聯(lián)考