專題2.4不等式綜合練

題號—二三四總分

得分

練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（2023春?黑龍江佳木斯?高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)x>（）.y>0,且知=9,則x+y的最小

值為（）

A.18B.9C.6D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.

【詳解】Vx>0,y>0

???x+），N2而=6,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3,取“=”）

故選：C.

2.（2021秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書

中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“V"和符號，并逐漸被數(shù)

學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若&瓦ceR,則下列命題正確的是（）

A.若〃〃工0且則

ab

B.若a>b,c>d,貝ljac>bd

C.若a>6>0且c<0：則/

D.若a>/",>“，Ma-ob-d

【答案】C

【分析】對A.B,D舉反例，對C利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對A,當(dāng)。=-l,b=l時，!<|,故錯誤；

對B,當(dāng)a=2,Z?=l,。=-1/=一2時，ac=bd,故錯誤；

11cC

對C,v?>/?>0,a~>b~>0^則r<7T，Vc<0.則=>不，故C正確；

a-b-a~b-

對D,當(dāng)a=2,〃=l,c=0,d=-2，滿足前提a>Z?,c>d,但此時a-c=2,Z?-d=3,a-c<b-d.

故錯誤.

故選：C.

3.（2022秋?廣東佛山?高三佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤裘}“對任意的xe（0,+oo）,

x+_L一〃〉。恒成立，，為真命題，則〃?的取值范圍為（）

A.[2,-KO)B.(2,+oo)C.(YO,2]D.(-00,2)

【答案】D

【分析】首先參變分離，轉(zhuǎn)化為機(jī),再利用基本不等式求最值，即可求解.

kMin

【詳解】由題意可知，對任意的xw（0，y）,〃?<x+L恒成立，即用<「1+”,

當(dāng)x>0時，x+—>?—=2,當(dāng)工=,，即x=l時，等號成立，

所以〃7<2.

故選：D

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若集合M={玳X-3）GN。},N={玳x-3）（x7）20},

則McN=（）

A.{*iN3}B.{小41或x23}C.{x|x=l或％23}D.{巾=1或x=3}

【答案】C

【分析】通過解不等式得集合用,N,再求交集即可.

【詳解】因為知={玳工-3）外20}=卜卜=1或工23},

A^={A-|（X-3）（X-I）>01={X|X>3,

所以McN={中=1或xN3},

故選：C.

5.（2023?天津南開?南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知。，TR,則天"”是“02>從，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】由充分必要條件的定義舉反例判定即可.

【詳解】若。=。>〃，則不成立，若且。<0=6,此時/推不出[>〃，所

以“心L是”/>戶’的既不充分也不必要條件.

故選：D

6.（2021秋?廣東惠州?高三惠州一中校考期中）已知命題閃2工-3區(qū)x,q：x2-2x+\-m2<0,

若〃是。的必要不充分條件，那么實數(shù)m的取值集合是（）

A.{0}B.（2,+00）C.[-2,2]D.（f2）

【答案】A

【分析】解不等式|2x-3歸x,?-2x+l-/n2<0,再利用〃是4的必要不充分條件，列出

不等式組，解之即得.

,[2x-3>0⑵t—3vO

【詳解】由2x-3C得，或，

112x-3<x[-2x+3Kx

解得1WXW3,即p：XG|1,31；

由f-2x+l—〃/近0得0一1+〃?！耙?一"。工。，

，當(dāng)〃?>0時，xe[l-/n,l+/7z],當(dāng)〃?=0時，x=l,當(dāng)〃?〈（）時，+

又〃是4的必要不充分條件，

m>0m<0

??.'1-機(jī)之1或〃?=0或T-〃叱1,且不等式組中等號不同時成立,

1+///<31-///<3

???〃?=（）,即實數(shù)，〃的取值集合｛（）｝.

故選:A.

7.（2023春?江蘇南京?高三南京市中華中學(xué)?？计谥校┰?3。中，。為線段8c上一點,

19

且=若EO=x/18+.yAC,則一十一的最小值為（）

A.—B.16C.48D.60

3

【答案】C

【分析】先由AE=2ED,得出七。二京。再得出3x+3y=I，最后常值代換應(yīng)用基本不等式可

解.

【詳解】vAE=2ED,.\ED=^AD,

?.^AD=.xAB+yAC,AD=3xAB+3yAC,又B,D,C三點共線,

/.3.r+3>,=l,x>0,y>0,

.?.-+-=|-+-)(3X+3J0=3+—+—+27>273^27+30=48,

xJ(xy)xy

io327rii

.?.一+—N48,當(dāng)且僅當(dāng)一=——，即當(dāng))，二二工二有時取最小值.

xyxy412

故選:C.

(a-b)caa+c

所以<0,即:—<-----故D項錯誤.

b(b+c)bb+c

故選：AB.

1（）.（2021秋?湖南邵陽?高三武岡市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是：（）

A.平板電腦屏幕面積與整機(jī)面積的比值叫電腦的“屏占比''，它是平板電腦外觀設(shè)計中一個

重要參數(shù)，其值通常在（0.1）間，設(shè)計師將某平板電腦的屏幕面枳和整機(jī)面積同時減少相同

的數(shù)鼠，升級為一款“迷你”新電腦的外觀，則該電腦“屏占比”和升級前比變小了.

B.小明兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，

每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的

錢數(shù)一定.則小明用第一種策略劃算.

C.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先

將5g的祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的祛碼

放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天立平衡：最后將兩次稱得的黃金交給

顧客，我認(rèn)為顧客吃虧了.

D.設(shè)矩形ABCD（AB>AD）的周長為24cm,把△ABC沿AC向△AOC折疊，折過去后

交0c于點P,則4人?！ǖ淖畲竺娣e為108-72x/5cm2.

【答案】AD

【分析】設(shè)法列出升級前后的屏占比表達(dá)式，由作差法可比較大小可判斷A：利用基本不等

式可判斷BD的正誤；設(shè)天平左臂長為m右臂長為。（不妨設(shè)〃>力），先稱得的黃金的實際

質(zhì)量為網(wǎng)，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為〃?2,利用杠桿的平衡原理，由〃町=4X5,〃〃4=/?x5〃,

求得叫,叫，再利用作差法比較可判斷C：

【詳解】對于A,設(shè)升級前屏幕面積為，，整機(jī)面枳為"

則屏占比為貨=，（0<〃<3，設(shè)減小面枳為〃?

則升級后屏占比為：嗎=公，則叫f4.益=豺皿即…，屏占比變小，

故A正確；

對于B，設(shè)兩次購買此種商品的單價分別為P2（都大于0），

第一種方案每次購買這種物品數(shù)量為r>0：

第二種方案每次購買這種物品的錢數(shù)為）>0.可得:

第一種方案的平均價格為：叫*=嗎區(qū);

2x2

2.V-2Plp2.2PR=f—<7^,+P2

第二種方案的平均價格為上+上四+〃2-26兄“?2-2

PiPi

當(dāng)且僅當(dāng)8=%時取等號，所以用第二種策略比較經(jīng)濟(jì)，故B不正確；

對于C,因為天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為a,右臂長為〃（不妨設(shè)〃>力）,

先稱得的黃金的實際質(zhì)量為㈣，后稱得的黃金的實際質(zhì)審為:%，

由杠桿的平衡原理：加％=ax5,a叫=bx5b,

解得町=當(dāng)，叱=曳,

ba

m、r5。5b

所以町+〃4=—+一,

ba

nms5a5b...5（b

則叫+7%-1。=——+----10=------?

baab

因為山〃，所以止江>（），

ah

所以町+%>10,則顧客所得黃金大于10g,商店虧?了，故C不正確；

對于D,由題意可知，矩形的周長為24,AB=x,即AD=12—x,

因為A8>AO>0,故6vxvl2.

設(shè)?C=a,則/?=AP=a,而△ALJP為直角三角形，

：,（\2-x）2+（x-a）2=a2,

：.a=x+一―12,ADP=\2一一，其中6vxvl2,

xx

：.S?=:xAOxQP=gx（12-x）x（12_/）

=108一半-6x4108-2^p^

=108-72夜.

當(dāng)且僅當(dāng)*=6x,即x=6夜時取等號，

x

即x=6夜時△ADP取最大面積為108-72血，故D正確.

故選：AD.

11.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若實數(shù)X，），滿足2、+2向=1，則（）

A.xvO且V<TB.4+y的最大值為一3

C.出'+出"的最小值為7D,0+出.2f<2

【答案】ABD

【分析】對于AD,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC,利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本

不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】由2'+2?向=1，可得2川=1-2'>02=1—2用>0,所以xvO且）Y-1,故A正

確；

由2、+2、*=1之2,2*?=2，可得&"向ip2V+V+1<^=2~2,所以x+y?-3，

當(dāng)且僅當(dāng)％=y+1=-1,即x=-l,y=-2時，等號成立，所以K+V的最大值為-3,故B正

確；

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-log23時，等號成立，

所以的最小值為9,故C錯誤；

因為2V=l-2v+,，則2.=2（l-2v+,）=2-4-2\

所以d）+（1—川=2-32<2,故D正確.

故選：ABD.

12.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰高三?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（）

A.集合A={Mar2_2x+“=（）MeR},若集合A有且僅有2個子集，則。的值為±1

B.若一元二次方程履2-6履+&+8>0的解集為R，則火的取值范圍為OvAMl

C.設(shè)集合M={1,2},N={/},則“a=l”是”N±M”的充分不必要條件

12

D.正實數(shù)MN滿足x+2y=l,則一+—29

【答案】AB

【分析】結(jié)合條件可知集合A中只有一個元素，分類討論。=0和。工0兩種情況，求出。的

值,即可判斷A選項;一元二次不等式收-6"+左+8>0的解集為R，可得左>0且△<（），

求出攵的取值范圍，即可判斷B選項；根據(jù)子集的含義和充分不必要條件的定義，即可判斷

C選項：根據(jù)基本不等式求和的最小值，即可判斷選項D.

【詳解】對于A,因集合人二卜|公2-21+4=0間￡區(qū)}有且僅有2個子集，則集合A中只有

個元素,

當(dāng)。=0,A={。},符合題意：當(dāng)。工0,△=4-=。=>。=±1,

綜上所述，可得。=0,±1，故A選項不正確；

對于B,因為?元二次不等式依2一6履+&+8>0的解集為R，可知

可得”>0且△=(—64f一軟(女+8)<0=0<k<1,故B選項不正確；

對于C,當(dāng)。=1時，N={l}q",

當(dāng)Nq"時，/=1或"=2,則。=±1或4=±&，

所以“。=1”是"N=M”論充分小必要條件，故C選項正確；

對于D,因正實數(shù)北了滿足x+2y=l,

則?!■+2=(x+2y)(-+—)=5+—+—>5+2J—-—=9,

2x2v

當(dāng)且僅當(dāng)二二、，即X=)，=：時取等號，故D選項正確.

yx3

故選：AB.

三、填空題：本題共4.小題，每小題5分，共計20分.

13.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知集合A=?工不占〈工，，B=^xy=log,,則

@A)IJB=

【答案】{x\x<4}

【分析】解分式不等式求集合4由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求定義域確定集合從再應(yīng)用集合的并補(bǔ)

運(yùn)算求集合.

【詳解】由三<%,則I1Y+x+i+彳故x+l>0,即x>—l,

r4-1二十----=--------=---------->U

X+lX+\X+1

所以A={x|x>—1},則第A={x|x?T},

由對數(shù)、根式的性質(zhì)知：4一工>0,即x<4,

所以￡A"B={x|x<4}.

故答案為：{x|x<4}

14.(2023?天津?高三專題練習(xí))已知々*eR+,則2+的最小值為____________.

a2a+b

【答案】4

【分析】將2+構(gòu)造變形為世女+2,然后利用基本不等式即可求解.

ala+ba2a+b

b

，,辛由八,(t9a2a+b-2a9a2a+b9a(2a+b~~9a

a2a+ba2a+ba2q+〃Na2a+b

當(dāng)且僅當(dāng)〒二W即，T時等號成立，故最小值為%

故答案為：4.

15.（2020?安徽宣城?高三涇縣中學(xué)校考強(qiáng)基計劃）若關(guān)于工的不等式，-2<2a-xvg只有

一個整數(shù)解2,則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】43<?<1

4

【分析】求出不等式的解后可得端點滿足的不等式組，從而可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】4-2<2。7<,的解為vxva+2,

22

1<2/7-—<?a

因為不等式的整數(shù)解只有2,故一2,故

4

[2<a+2<3-

3

故答案為：—<a<\.

4

16.（2022秋?陜西咸陽?高三校考階段練習(xí)）不等式加+L+co的解集為{x|_2<x<l},

a

則函數(shù)y=i。8（依2+cx+3）的定義域為一,單調(diào)遞增區(qū)間是—.

【答案】（T3）（-U）

【分析】由題可得-2和I是方程占+L+c=0的兩個根，且avO,由此可得。=-1,。=2,

a

求得函數(shù)丁=1。氏（"十◎十3）的定義域，再結(jié)合定義域求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【詳解】由題可得一2和1是方程加+L+"。的兩個根，且〃<0,

a

-2+l=-4-

a'

則卜v。,解得a=T,c=2,

-2xl=-

22

貝|J函數(shù)）'=lug4（t/A+CA+3）=lug4（-A+2A+3）,

由—f+2x+3>（）解得一Rx<3,即函數(shù)定義域為（—1,3）,

因為），=*+2*.+3在（_]/）單調(diào)遞增，函數(shù)y=log/在（0,y）上單調(diào)遞增，

2

故函數(shù)），=log4（av+ex+3）在上單調(diào)遞增,

因為y=-f+2x+3在（1,3）單調(diào)遞減,函數(shù)yulog/在（0,+<?）上單調(diào)遞增,

故函數(shù)），=log?a2+G+3）在（1,3）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù))，=log式ad+cx+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1/).

故答案為:(-1,3),(-1,1).

四、解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.求解下列不等式的解集：

(1)-x2+4x+5<0；

(2)2/一51+2?0：

(3)|4x-l|-7<0；

(4)-__/八、)<0；

【答案】⑴{巾v-1或x>5}

⑵{亭

3

(3)-x--<x<2?

(4){x|-l<x<2}

(5)卜序

【分析】(1)(2)利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；

(3)利用絕對值不等式的解法解原不等式即可得其解集；

(4)(5)利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.

【詳解】(1)解：由一/+4_￥+5<0可得f_4x_5>(),解得1<一1或工>5,

故原不等式的解集為或x>5}.

(2)解：由2/一54+2工0可得(2x-D(x—2)W0,解得

故原不等式的解集為b：WxW2一

乙

(3)解：由|4工一1|一740可得|4工一1|二7,即一7<4x—1<7,解得一白

3

故原不等式的解集為x-彳W/K2..

x+1

<0「,

(4)解：由I/八J<0打得打一2,解得一I<xv2,

(I)

x—5w0

故原不等式的解集為卜|-1<x<2}.

4r2x+3—(4—x)3x-l

(5)解：由4不-x二可得|_<0,解得-3沁心1,

2x+32x+32x+32x+3乙。

故原不等式的解集為卜

18.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=f+〃1V+〃(/〃>o,〃>0).

(1)若/(1)=2,求，加的取值范圍;

7

⑵若A"，求二*最小值.

【答案】(i)(o.g

(2)8

【分析】(1)求得6+〃=1,利用基本不等式結(jié)合+〃>0可得出〃〃2的取值范圍;

17

(2)由」知可得出2〃?+〃=1,將代數(shù)式2m+〃與上+士相乘，展開后利用基本不等式可求

mn

得上I+±2的取值范圍.

mn

【詳解】(1)解：?,.機(jī)+〃=1,

X,**//?>0,〃>0,:.m4-/?>2>[nui即1>2y/mn，VWH<g即mn<；

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=不時等號成立.

由題意可知〃?〃>0,?.?〃〃?的取值范圍是.

(2)解:V/(2)=5,4+2m+n=5,即2"?+〃=l.

Io\，J〃4〃？八

m>0,/?>0,——F—=+〃)=4+—+——>4+2.1------=8,

mnmnVfnn

n4〃?

-=II

當(dāng)且僅當(dāng)《mn,即m=彳，〃=5時等號成立.

2m+n=\42

.?.1上+±9的最小值是8.

mn

19.已知關(guān)于x的不等式2.r+笈+c<0的解集是卜|1<x<5}.

⑴求b,c?的值;

⑵若對于任意不等式2/+加+。42+，恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

【答案】（IW=T2,c=10；

（2）［-2,+co）

【分析】（I）由題意，可判斷得方程2丁+/優(yōu)+。=0的兩根為1和5,再利用韋達(dá)定理列方程

組計算；

（2）將題干條件轉(zhuǎn)化為（2丁-12X+8）2口,利用函數(shù)y=2/-12x+8的單調(diào)性求解最大

值，從而可得f的取值范闈.

【詳解】（1）由題意，方程2/+"+c=0的兩根為1和5,

1+5=--（.

2/?=—12

由韋達(dá)定理可得，，解得{s.

.Cc=10

1xc5=—

2

所以h=-12,c=10

（2）由（1）知，對任意人匕{』lWaS3},2Y-I2X+I0￡2+/恒成立，

即任意xe{x|l?xW3},2/-12x+8W"亙成立，

令y=2Y_12x+8,則成立，

因為函數(shù)y=2f-|2x+8在［1,3］上為減函數(shù)，

所以當(dāng)x=l時，），皿=2-12+8=-2,即摩一2,

所以實數(shù)/的取值范圍為卜2,go）.

20.己知是實數(shù).

⑴求證：a2+b2>2a-2b-2,并指出等號成立的條件：

⑵若ab=\,求/+4b2的最小值.

【答案】（1）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1,〃=-1時?，不等式等號成立

（2）4

【分析】（1）作差法證明即可；

（2）構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式解決即可.

【詳解】（1）證明：因為小+從一（2“一2〃-2）=/+/—2。+26+2

=（6/-1）2+（/?+1）2>0,

所以。2+。222〃-力-2,

當(dāng)且僅當(dāng)。=1,〃二?1時，不等式中等號成立.

（2）/+4/=/+（2b）222?。?（2。）=4。力=4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=勸不等式中等號成立.

所以/+4〃。的最小值為4.

21.(2023春?江西新余?高二新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)/(力=仆2+(1-4.+日-2?

⑴若不等式/(力2-2對一切實數(shù)％恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵解關(guān)于x的不等式/(*<〃—1(〃GR).

T、

【答案】(1)3，+8

(2)答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.

【詳解】(1)VXGR,/'㈤之-2恒成立等價于VxeR,av2+(l-6/)x+?>0,

當(dāng)a=0時，x>0,對一切實數(shù)人不恒成立，則。工0,

a>0

此時必有,

△=(］一42—402Ko

。>0

叫2解得口斗

3?2+2?-1>0

所以實數(shù)〃的取值范圍是提+8).

(2)依題意，f[x)<a-\,可化為o?+(]—?！芬?<(),

當(dāng)4=0時，可得X<1,

當(dāng)。>0時，可得+又一,<1,

aa

解得—<-V<1,

a

當(dāng)4<。時，不等式”?+(1—4口一1<()可化為(X+L)(x-lj>0,

當(dāng)4二一1時，一，=1,解得XW1,

當(dāng)一1<〃<0時，，-->1,解得x<l或%>-1，

aa

當(dāng)av—l時，()<一,<1,解得x<—或x>1,

aa

所以，當(dāng)〃>o時，原不等式的解集為卜

當(dāng)。=0時,原不等式的解集為｛邛<1｝,

當(dāng)一1<。<0時，原不等式的解集為“|X<1或X>-4；