第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［考情分析］1.高考對(duì)此部分的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象

的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性，常與三角恒等變換交匯命題2主要以選

擇題、填空題的形式考兗，難度為中等或偏下.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的運(yùn)算

【核心提煉】

1.同角關(guān)系：sin2?+cos2?=1,"=tan依+為，kWZ）.

cosa\乙j

2.誘導(dǎo)公式：在與+a,A￡Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.

例1（1）（2022?荷澤檢測(cè)）已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,2）,則cos2a等于（）

C.一5D.eq

答案B

解析因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,2），

92

所以sin片后年聲狂

一］1

COS。?=~/、?.=一仁,

叱一廠+22小

—43

------

55

5-

cosa=

*.*0<?<T,/.0<sin?<cosa

34

s---

又?.?sin-a+cos-a=1，in?55

二級(jí)結(jié)論(若(

1)a￡0,5,則sin?<<z<tana.

(2)由(sin?±cos?)2=l±2sinacosa知,

sina+cosa,sina—cosa,sinacosa知一可求二.

跟蹤演練I(1)(2022?山西聯(lián)考)若sin10°=asin100°,則sin20。等于()

A.eqB--7+7

n2a

C.eqD'一不

答案C

解析由題可知4>0,

sin100=asin1000=?sin(90°+I0°)=?cos100,

又因?yàn)閟iirl0°+cos210°=l,

1

解得sin10°=,cos10°—

A/A2+1

所以sin20°=2sin10°cos10°

5rpi而干廠標(biāo)+「

(2)已知=cos(a—冗)，則sin2a+cos2a=

答案"I

解析,?，2cos(a+冬)

=cos(?—n),

.*.2sina=_cos?,

tana=-=

2sinacosa+cos2a—sin2a

..sin2a十cos2?-'~~~;

cos-a+sin~?

2lana+1-tan%1

1+⑶ra5-

考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與解析式

【核心提煉】

由函數(shù)>,=sinA-的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(3x+9)(4>0,”>0)圖象的步驟

例2(1)(2021?全國(guó)乙卷)把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不

變，再把所得曲線向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin的圖象，則/U）等于（）

A.sinB.sin

C.siD.

答案B

解析依題意，將＞=4!!（上一：）的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到人幻的圖象,

所以），（將其圖象向左平移蕤單位長(zhǎng)度.（哈山田缶所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍

=sinx_￡--------------------------------\y=sin0:+習(xí)的圖象----------------------

y=sing+日的圖象.

（2）（多選）函數(shù)/U）=Asin（m+p）（A＞0）的部分圖象如圖所示，則府）等于（）

n（2H冬）

A.

B.

2cos（2x—§

C.

2cos（L普）

D.

答案BC

解析根據(jù)圖象，可得A=2,設(shè)大制的最小正周期為了,

則3Td=37r

不

解得7=兀，所以幻=爺=2.

將最低點(diǎn)的坐標(biāo)傳，一2）代入

/U）=2sin（2x+e）中，

得2sin（2X患+,=-2,

則普十＜P—2kli―界￡Z）,

解得9=2k冗-^?（k￡Z）,

所以7U）=2sin（2x+2E一引（k￡Z）.

令4=0,貝iJy（x）=2sin（2Y—牛）

?=2sin停+伊)=2,

.??寸+9=]+2也伏￡Z),

解得3=-，+2E(2￡Z),

又一兀<9<0,，0=—今

?'?fix)=2sin(2_r—。=2sin[G—今)]

V^(A)=2COS2x=2sin(2x+9

2si，2(x+g,

.??將g(x)的圖象至少向右立移%各專(zhuān)個(gè)單位長(zhǎng)度可得益)的圖象.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

函數(shù)y=Asin(3r+8)(A>0,@>0)的性質(zhì)

(I)單調(diào)性：由一W+2EWGM+9W3+2E(/￡Z)可得單調(diào)遞增區(qū)間，由3+2EWsx+°W冬+

2kmk￡Z)可得單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)對(duì)稱(chēng)性：由sx+8=EQ￡Z)可得對(duì)稱(chēng)中心；由5+夕=&兀+^k6Z)可得對(duì)稱(chēng)軸.

(3)奇?偶性：9=E(AWZ)時(shí)，函數(shù)尸Asin(cox+9)為奇函數(shù)：p=E+宗女6Z)時(shí)，函數(shù)y=Asin(wx

+/)為偶函數(shù).

例3(1)(2022?籟州模擬)已知函數(shù)yU)=sin(5+M)(①>0)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為2冗,

若?r)在(一,〃，〃?)上單調(diào)道增，則小的取值范圍是()

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案B

解析因?yàn)閮?=sin，wx+y(s>0)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離2兀，

則夕=24即7=4兀，則舒斗

則/U）=sin（；x+；）,

由2E—93+卜2也+三

得4E—￡WxW4E+T（女EZ）,

乙4

所以加在[V，于上單調(diào)遞增，

由（一加，〃?）Q[—竽，g得0〈〃?或參

所以〃?的取值范圍是（0,7.

（2）（2022?新高考全國(guó)I）記函數(shù)./U）=sin（s+；）+Z?（①>0）的最小正周期為7.若專(zhuān)〈「〈兀，旦y

=危）的圖象關(guān)于點(diǎn)作2）中心對(duì)稱(chēng)，則/⑨等于（）

A.1B.cqC.cqD.3

答案A

解析因?yàn)?<7<九，所以條條兀，

33CD

解得2<w<3.

因?yàn)椋?/U）的圖象關(guān)于點(diǎn)（當(dāng)，2）中心對(duì)稱(chēng)，

所以〃=2,且sin俱％?+；）+/>=2,

即sin（芋口+；）=0,所以?（攵七Z）,

rcc13兀3兀7119」

又2<3<3,所以-4<~4~，

37rIT5

所以570+1=4兀，解得①=5,

所以府）=sin（|x+：）+2,

所以/?。?sin0X^+3+2=sin券+2=1.故選A.

規(guī)律方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為J（x）=Asin（s+w）+/i的形式，然后結(jié)合正

弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)求J（x）的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一種是根據(jù)y=sinx的性質(zhì)求出1/U）

的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求得/=公》+夕的范圍，然后由y=sinz

的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

跟蹤演練3（1）（多選）（2022?新高考全國(guó)II）已知函數(shù)yU）=sin（2x+9）（0v8〈兀）的圖象關(guān)于點(diǎn)

停，。）中心對(duì)稱(chēng)，則（）

A.於）在區(qū)間（0,笥上單調(diào)遞減

B.段）在區(qū)間（一自告）上有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線戶(hù)子是曲線），=危）的對(duì)稱(chēng)軸

D.直線是曲線），=/□）的切線

答案AD

解析因?yàn)楹瘮?shù)及）的圖象關(guān)于點(diǎn)傳，0）中心對(duì)稱(chēng)，所以sin（2Xy+^=0,可得專(zhuān)+少=

E（k￡Z）,9=一華+E（kEZ）,結(jié)合0＜伊＜九，得夕=專(zhuān)，

所以府）=sin（2j-+華）

對(duì)于A,當(dāng)x￡（0,駕）時(shí)，2A-+ye（y,y）,所以函數(shù)段）在區(qū)間（0,需上單調(diào)遞減，故

A正確；

對(duì)于B,當(dāng)（一有?。r(shí)，2.v+ye（j,乳所以函數(shù)府）在區(qū)間（一專(zhuān)借）上只有一

個(gè)極值點(diǎn)，故B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)?管）=sin（2X,+g1）=sin3兀=0,所以尤=,不是曲線y=/（x）的對(duì)稱(chēng)粕，故

C不正確：

對(duì)于D,因?yàn)?'（x）=2co（2x+§）,若直線丁=坐一工為曲線），=/*）的切線，

則由2cos（2x+爭(zhēng)）=-1,得2r+專(zhuān)=2履+會(huì)或2r+號(hào)=2E+專(zhuān)（左￡Z）,

所以x=kit或x=E+/（&￡Z）.

當(dāng)尸E（k￡Z）時(shí)，於）=與，

則由乎=、§—E（左￡Z）,解得攵=0；

當(dāng)入=E+界￡Z）時(shí)，fix）=-21

方程一坐=坐一E一爭(zhēng)人￡Z）無(wú)解.

綜上所述，直線>=3~一/為曲線），=/U）的切線，故D正確.

（2）（2022.廣州聯(lián)考）若函數(shù)y=tan（5+g在一號(hào)，全上單調(diào)遞減，且在［一名燈上的最大值為

小,則co=.

答案T

解析因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)tan（3+g在［一去用上單調(diào)遞減，

所以s<0,高以奈則一太公<0,

又因?yàn)楹瘮?shù)在［一去對(duì)上的最大值為小，

所以一%+；=］+E,女￡Z,

即①=一；—3k,k《Z,所以⑦=一；.

專(zhuān)題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?日照模擬）已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)造，一旁）則角夕可以為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析,??角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)心一坐）

???夕是第四象限角,且cos6==sin8=一零

貝Ue=專(zhuān)+2k兀，k^Z,

結(jié)合選項(xiàng)知角。可以為聿

2.（2022?惠州模擬）已知tana=2,n<a<~^,則cosa—sina等于（）

A.eqB.一坐C.eqD.—

答案A

sina-

解析由tana=￡1/=2,

LIJACA

且sin2a+cos2a=1,

得sina=-唔cosa=一坐,

3.（2022?濟(jì)寧模擬）如圖,某時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為9：45,此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為0,則｛sin0

+cos9）（sin。-cos0）等于（）

A.eqB.一乎C.eqD.一坐

答案B

解析時(shí)針指向9時(shí)，分針指向12,當(dāng)分針轉(zhuǎn)到指向9時(shí)，旋轉(zhuǎn)了圓周的宗因此時(shí)針旋轉(zhuǎn)

71個(gè)小時(shí)（即匍的米所以0=^x；=],

所以（sin^4-cos9）（sin0—cos9）=sin%—cos%

_n

=-cos2^=—cos^=—2?

4.（2022?全國(guó)甲卷）將函數(shù)/）=5（5+§3>0）的圖象向左平移打、單位長(zhǎng)度后得到曲線0

若C關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，則。的最小值是（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案C

解析記曲線C的函數(shù)解析式為四），則四）=/&+守+曰=/5+（聶+都.因?yàn)楹?/p>

數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以59+]=履+笠％￡2）,得Q）=2k+g（A￡Z）.因?yàn)?>0,所

以/min=3.故選C.

5.（2022?福州質(zhì)檢）已知函數(shù)/（戈）=5皿3加一夕）（一梟冶）的部分圖象如圖所示，則危）的單調(diào)遞

增區(qū)間為（）

A.cq?kSZ

B.eq,kSZ

C.eq?k^Z

D.cq,kSZ

答案D

解析由圖象可知，函數(shù)y=A力的最小正周期T滿(mǎn)足（=1,?J=2,。=笄=兀,

.*.y（A）=sing—°）,

得胃―a=E，得3=］一""，kez.

..兀兀.7t

?一2V伊??（p―3,

?\ZU）=sin（7U一?,

由2ATC—4WTLI一與W2E+4，&￡Z,

Z34

得24一晨忘22+焉，kl,

15

因---

66,k三Z.

6.（2022?云南師大附中模擬）已知函數(shù)凡v）=sinx+acosx（a>0）的最大值為2,若方程為）=%

在區(qū)間（0,詈）內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根汨，X2,X3,且為42<5,則鶯+2不+總等于（）

A.eqB.eqC.47rD.eq

答案A

解析fix）=sinx+acosx=yj1+a2sin（x+^>）,

由題知、1+/=2,且〃>0,解得。=小，

于是<x）=2sin（x+g.

方程及（）=方在區(qū)間（0,等）內(nèi)的實(shí)數(shù)根，即為在區(qū)間（0,黨內(nèi)y=/U）的圖象與直線y=力

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，

Xl+%271也+工37兀

由貝x）圖象的對(duì)稱(chēng)性可知,2=不2=干

即X1+M=W，X2+x3=-y,

所以X]+2X2+13=（X1+12）+（X2+&）=凈.

7.（2022?全國(guó)甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)

度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，藍(lán)是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是A8的中點(diǎn)，。在我上,

CD_L44.“會(huì)圓術(shù)”給出藍(lán)的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=A8+深.當(dāng)。4=2,ZAOB

=60。時(shí)，$等于（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

解析由題意知，△OAB是等邊三角形，

所以AB=Q4=2.

連接。C（圖略），因?yàn)镃是A8的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=y］OA2-AC2=yl3.

又COL48,所以O(shè),C,。三點(diǎn)共線，

所以CQ=O。-OC=2一小，

甑總.3現(xiàn)7（2一小）21—4小

所以s—AB~i~0A—2+2—2

8.（2022?濰坊模擬）設(shè)函數(shù)產(chǎn)sin（2r+2在區(qū)間卜，H■部二的最大值為幻⑺，最小值為成⑺，

則gi（。-g2（。的最小值為（）

A.IB.eq

C.cqD.cq

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)sin（2x+"的最小正周期為T(mén)=y=n,

所以區(qū)間上，，+幻的區(qū)間長(zhǎng)度是該函數(shù)的最小正周期的;，

因?yàn)楹瘮?shù)尸3加3+1）在X問(wèn)［/，l+引上的最大值為81（/）,最小值為82（0，

--1/+/+?

所以當(dāng)區(qū)間［h［+句關(guān)于它的圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，即對(duì)稱(chēng)軸為=/+N時(shí)，.⑺一切⑺

取得最小值，且此時(shí)函數(shù)y=sin（2t+§在h上有最值±1,

不妨設(shè)。在［%/+￡|上有最大值8（。=1,

則有si42（/+W）+生=1,

所以sin（2f+音）=1,

即2/+臺(tái)=與+2加%￡Z,

得，=E一/，k《Z,

所以4f）=sin（2/+W）

=/2伍一言）+即

?fn/4_兀1近

=sinl2Z:n+^l=-y,

所以9⑺一g2（。的最小值為2y.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022?武漢質(zhì)檢）函數(shù)段）=sin像一2、）在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案BC

解析7U）=—sin（2x-5）,

由W+2EW2r—芳+2反，&￡Z,

解得與+EWxW野+E,k《Z.

Jo

當(dāng)”&，=0時(shí)I，有q.1￡「5兀，不57f｝

當(dāng)A=—1時(shí)，有不￡—y?—,

只有B,c符合.

10.（2022?山東聯(lián)考）已知曲線G：y=cos2x,C2：y=—sin|x+胃），則下面結(jié)論正確的是（）

A.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移普

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

B.把曲線G上各點(diǎn)的橫隹標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移袁個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

C.把曲線G向左平移苣個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍?，

縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2

D.把曲線G向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，

縱坐標(biāo)不變，最后把得到的曲線向右平移兀個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

答案ACD

解析對(duì)于選項(xiàng)A,把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

曲線向右平移專(zhuān)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

對(duì)于選項(xiàng)B,把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向

右平移襲個(gè)單位長(zhǎng)度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,把曲線1G向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)

的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

=—sinlx+f,故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,把曲線G向左平移專(zhuān)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)

的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后把得到的曲線向右平移兀個(gè)地位長(zhǎng)度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析

式為

,故D正確.

11.（2022?衡水模擬）已知函數(shù)yU）=cos（"x+e）（0vco<4,101V?滿(mǎn)足/（甘^一入）=/（1+母）

且/用=0,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.(o=2

B.fp=l

c.直線％=喑是yu）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

D.點(diǎn)停，0）是?圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

答案ACD

解析由若一J=f（x+喑）

可知直線％=若是函數(shù)兒。的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C選項(xiàng)正確；

又/管）=0,所以俘。［是函數(shù)於）的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，

所以312—4+2"￡Z），

71

即7=赤產(chǎn)Z）,

又因?yàn)門(mén)=普，

所以①=4&+2（k￡Z）,

因?yàn)?<“<4,所以當(dāng)攵=0時(shí)，①=2符合，故A選項(xiàng)正確；

所以￥^X2+9=A7t（〃￡Z）,

所以e=E一等伙￡Z）,

因?yàn)楹?hào)所以當(dāng)左=2時(shí)，8=一5符合條件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

從而7U）=cos（2x—1）,

/停）=cos（半一a）=cos爭(zhēng)=0,故點(diǎn)侍0）是府）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故D選項(xiàng)正確.

12.（2022.德州聯(lián)考）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asin3,我

們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱(chēng)之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)<x）=|cosx|

+小IsinM，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.兀0是偶函數(shù)

B.人幻的最小正周期為2兀

c.於）在區(qū)間［o,外上單調(diào)遞增

D.yu）的最小值為1

答案BC

解析因?yàn)閤￡R,

所以人幻是偶函數(shù)，A正確；

/(?顯然是周期函數(shù)，

因?yàn)閥(x+TT)=|cos(x+n)|+V3|sin(x4-H)|

=|cosM+小|sinx\=fix),B錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)回0,于時(shí)，

fix)=|cos+小|sinK|

=cosx+小sinx=2sinQ+5),

所以_/U)在區(qū)間[o,T上單調(diào)遞增，

在區(qū)間停，,上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)了￡/兀時(shí)一，

/(.v)=|cosx|+小|sinx\

=-cosx+小sinx=2sin

當(dāng)xw[o,與]時(shí)，設(shè)r=x+J

則喏第,

所以sinW1,所以段)￡[1,2],

同理，當(dāng)工￡(去兀時(shí)，兒r)￡[l,2],

由B中解答知，冗是的周期，所以/U)的最小值為1,D正確.

三、填空題

13.(2022?黃山模擬)已知tang？-x)=co1,則sinx=.

圣安小一]

口案2

解析由tan軟[1)=之，

sin*-x)

1

得.

f3ncosx'

cosily—xI

即——即cos2x=sinx,

—sinxcosx

整理得sin2x+sinx—1=0,而一1WsinxWl,

解得sinx=^2~^~-

14.(2022?石家莊模擬)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(8,3cos辦則sina=.

答案|

解析\OP\=^/82+(3COSa)2=^64+9cos2a,

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