勾股定理（知識梳理+30個高頻易錯考點）

口稅考點分類目錄指引_________________________________________________________

考點講練1：用勾股定理解三角形...........................................................4

考點講練2：已知兩點坐標求兩點距離.......................................................6

考點講練3：勾股樹（數(shù)）問題..............................................................9

考點講練4：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積............................................10

考點講練5:勾股定理與網(wǎng)格問題..........................................................12

考點講練6：勾股定理與折疊問題..........................................................15

考點講練7：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）..........................................17

考點講練8：利用勾股定理證明線段平方關系................................................19

考點講練9：勾股定理的證明方法..........................................................22

考點講練10：以弦圖為背景的t-算題.......................................................25

考點講練11:用勾股定理構造圖形解決問題.................................................27

考點講練12：勾股定理與無理數(shù)...........................................................29

考點講練13：判斷三邊能否構成直角三角形.................................................30

考點講練14：圖形上與已知兩點構成直角三角形的點.........................................32

考點講練15：在網(wǎng)格中判斷直角三角形.....................................................35

考點講練16：利用勾股定理的逆定理求解...................................................37

考點講練17：勾股定理逆定理的實際應用...................................................38

考點講練18：勾股定理逆定理的拓展問題...................................................40

考點講練19：求梯子滑落高度［勾股定理的應用）...........................................43

考點講練20：求旗桿高度（勾股定理的應用）...............................................44

考點講練21：求小鳥飛行距離（勾股定理的應用）............................................46

考點講練22：求大樹折斷前的高度（勾股定理的應用）.......................................48

考點講練23：解決水杯中筷子問題（勾股定理的應用）.......................................49

考點講練24：解決航海問題（勾股定理的應用）.............................................51

考點講練25：求河寬（勾股定理的應用）...................................................54

考點講練26：求臺階上地毯長度（勾股定理的應用）.........................................56

考點講練27：判斷汽車是否超速（勾股定理的應用）.........................................58

考點講練28：判斷是否受臺風影響（勾股定理的應用）.......................................60

考點講練29：選址使到兩地距離相等（勾股定理的應用）....................................62

考點講練30：求最短路徑（勾股定理的應用）................................................64

nm知識梳理技巧點撥

知識點重點歸納常見易錯點

1.文字語言:

直角三角形兩直角邊。、b的平方和等于斜邊c的平方.

2.圖形語言:

注意：勾股定理的使用條

件一一必須是直角三角

形，其他三角形是不能使

勾股定理

用的!

并且要確定好哪條邊是斜

3.符號語言:邊

在中，NC=90°

a2+62=c2

方法1：方法2：勾股定理的驗證方法采用

ab拼圖的方式，基本思想都

是利用兩種不同的方式表

示同一圖形的面積，建立

勾股定理

等式，化簡之后得到

驗證方法3：方法4:Q2+/=C2

b

應用1:求解三角形中未知邊長;

應用2：網(wǎng)格中繪制無理數(shù)長度線段;

常見應用應用3：數(shù)軸上繪制無理數(shù)的點;

應用4：解決實際問題中的長度問題;

應用5：求解一些最值問題;

應用6：求解一些立體幾何中的長度問題；

1.文字語言：我們習慣是用％6表示直

如果三角形的三邊長久&C,滿足〃2+/=。2,那么這個角邊，c表示孤邊，但真正

三角形是直角三角形.到習題或考試中不一

2口.圖形語言：定表示直角邊，C不一定表

示斜邊

勾股定理

例如：（a+b）（a—b）=c2

逆定理

b此時化簡后為：

a2-b2=c2

3.符號語言：即/+°2=Q2

在中，若三邊長Q*,C滿足：

所以。表示斜邊

a2+b'2=c2

.?.△4BC是直角三角形，且c對的角為直角。

C/勾股定理、222

勾股定理7a、-----------"a24-62=c2

//、勾股逆定理

與逆定理正確理解二者的關系

AN-----------

關系b__直角三角形的性質、一

圓、____________________________1s

直角三角形的判定

1.概念：注意：a,6,。要成為勾

能夠構成直角三角形的三邊長的三個正圭數(shù)稱為勾股股數(shù)必須滿足兩個條件：

數(shù)，即中，a,b,c為正整數(shù)時，稱。，b,C條件1：滿足/+〃=/；

為一組勾股數(shù)；條件2：a,b,c必須是

勾股數(shù)2.常用勾股數(shù):如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等正整數(shù)；

3.用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：這里最易被忽略的是條件

n2-{,2n,n~+1（”之2,〃為正整數(shù)）；2,千萬要注意！

22

2n+\f2n+2n92n+2n+\（〃為正整數(shù)）

222

m-n92mnfm+?（〃】＞〃，/〃，〃為正整數(shù)）.

勾股定理1.將實際問題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學模型；關鍵在找到直角三角形，

解決問題2.確定所求線段所在的直角三角形；設出適當?shù)奈粗?，表?/p>

VBC=6,AC=8,AB=10,

設CD=x,

.'.DF=DC=x,AF=AB-BF=4,AD=AC-CD=8-x,

在RtaAFD中，由勾股定理可得AD2=AF2+DF2,則(8—X)2=42+X2,

解得x=3,即CD=3,

故選：B.

【考點剖析】本題考查求線段長，涉及基本尺規(guī)作圖-作角平分線、角平分線定義、三角形全等的判定與性

質、勾股定理、解方程求線段長等知識，熟練掌握基本尺規(guī)作圖-作角平分線、三角形全等的判定與性質是

解題的關鍵.

2.(23-24八年級上-四川樂山?期末)如圖，在Rt^ABC中，MCB=90°,AB=10,S△ABC=24,AD是

乙BAC的平分線.若點尸和。分別是線段AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是.

【思路引導】本題主要考查了軸對稱-最短問題、勾股定理、三角形面積公式等知識點，學會利用軸對稱解

決最短問題以及等面積法求線段的長度是解題的關鍵.

如圖：作Q關于直線AD的對稱點Q',過C作CFJLAB于區(qū)通過軸對稱把問題轉化為兩點之間線段最短及垂

線段最短，再利用等面積法求解即可.

【規(guī)范解答】解.：如圖：作Q關于直線AD的對稱點Q',過C作CF1AB于￡

?.?AD是NBAC的平分線

???點Q'在直線AB上，

???點Q和點Q'關于直線力〃對稱,

???PQ=PQ',

???PC+PQ=PC+PQ',

點Q'隨著點Q的運動而運動，當且僅當點Q'和點重合時PC+PQ'有最小值CF,

在ABC中,ZACB=90°,AB=10,SAABC=24,

CFAB

???SAABC=|-?即24=：CF.1°，

??.CF=K，

APC+PQ'的最小值g,即PC+PQ的最小值g.

故答案為:,

考點講練2：已知兩點坐標求兩點距離

3.(24-25八年級上-廣東深圳?期末)【項目式學習】閱讀并完成以下任務：

如圖①，若兒用兩點在直線1同惻，分別過點力，ED1BD,C為線段BD上一動點，連接AC,

EC.已知|AB=5,DE=3,BD=15,設CD=x.

【任務一】

(1)用含x的代數(shù)式表示BC為：_；

(2)請問點。滿足什么條件時，AC+EC的值最小，并求出最小值；

【任務二】

由,2+1+J(x-3)2+4=J(x-0)2+1+J(x-3)2+22可得代數(shù)式的幾何意義;如圖②，建立平面直

角坐標系，點P(X,O)是X軸上一點，則J(x-0)2+l可以看成點。與點A(0,l)的距離,J(x-3)2+22可以看

成點尸與點B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最

小值.

(3)求代數(shù)式J(x+1尸+9+J[4-x)2+l的最小值.

圖①圖②

【答案】(1)15-x；(2)當力、a月三點共線時，AC+EC取得最小值17：(3)V41

【思路引導】（1）根據(jù)BD=15,CD=x,得出BC=BD—CD=15—x：

(2)作點￡關于1的對稱點E',得CE'=CE,根據(jù)題意，得AC+CE'NAE',故當從C、E'三點共線時，

AC+CE=AC+CE'的值最小，以BD為一邊構造矩形BFE'D,得到BF=DE'=3,FE'=BD=15,利用勾股定理

計算即可；

(3)由J(x+1尸+9+J(4—x)2+1可得代數(shù)式的幾何意義:建立平面直角坐標系，建立平面直角坐標系,

點P(x,O)是*軸上一點，則J(x++32可以看成點產與點A(一1,3)的距離,J(4一x)2+1可以看成點P與

點火4,1)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.在

坐標系中畫出圖形，利用勾股定理計算即可.

【規(guī)范解答】(1)解：VBD=15,CD=X,

BC=BD—CD=15—x,

故答案為：15-x；

(2)解：???在直角三角形ABC和直角三角形CDE中，由勾股定理得：

AC=VAB2+BC2=j25+(15-x)2,CE=VCD2+DE2=V9+x2,

AAC+CE=05+(15-x)2+⑸序(0<x<15),

作點￡關于】的對稱點E，,得CE'=CE,根據(jù)題意，得AC+CE'NAE',

故當力、aE'三點共線時，AC+CE=AC+CE.的值最小，如圖，

以BD為一邊構造矩形BFE'D,得到BF=DE=3,FE'=BD=15,

AE'=JFE'2+(AB+BF)2=V152+82=17,

???當A.aE’三點共線時，AC+CE=AC+CE'的值最小，且最值為17；

(3)解：由J(x+1)2+9+J(4-x)2+1可得代數(shù)式的幾何意義:建立平面直角坐標系，建立平面直角坐

標系，點P(x,0)是x軸上一點，則J(x++32可以看成點/與點A(一1,3)的距離,J(4-x)2+1可以看成

點F與點B(4,l)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小

值.

作點6關于1的對稱點B',得PB=PB',且B'(4,-l),

根據(jù)題意，得AP+PB'NAB',

故當/【、只B'三點共線時，PA+PB=PA+PB'的值最小，且最小值為AB',

根據(jù)兩點間距離公式,得

AB'=7(-1-4)2+(-1-3)2=V41,

，代數(shù)式、/(x+1)2+9+44-x)2+1的最小值是

【考點剖析】本題考查了軸對稱求最短路線，兩點之間線段最短，兩點間距離公式，以及勾股定理等知識,

解寇的關鍵是利用了數(shù)形結合的思想，求形如后7的式子的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股

定理求解.

4.(24-25九年級上?河南鄭州?期中)如圖，從點M(0,3)發(fā)出一束光，經(jīng)x軸反射，過點N(6,5),則這束

光從點M到點N所經(jīng)過的路徑的長為()

C.10D.12.5

【答案】C

【思路引導】本題考查了軸對稱的性質,勾股定理求兩點坐標：根據(jù)題意作N關于x軸的對稱點P,則這束光

從點M到點N所經(jīng)過的路徑的長為MP,進而勾股定理，即可求解.

【規(guī)范解答】解：如圖所示，作N關于X軸的對稱點P,則P(6,-5),

???這束光從點M到點N所經(jīng)過的路徑的長為MP

VM（0,3）,P（6,一5）,

:.MP=J（3+5尸+62=10,

故選:C.

考點講練3：勾股樹（數(shù)）問題

5.（24-25八年級上?陜西榆林?階段練習）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.V3,",V5B.4,5,6

C.0.6,0.8,1D.9,12,15

【答案】D

【思路引導】本題考查勾股數(shù)，判斷是否為勾股數(shù)，必須滿足都是正整數(shù)，且兩條較短線段的平方和等于

較長線段的平方這兩個條件.根據(jù)勾股數(shù)的定義進行逐項分析判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A、V3,V4,而不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意：

B、42+52H62,不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、0.6,0.8,1不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；

I）、92+122=152,是勾股數(shù)，符合題意；

故選:D.

6.（24-25八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）小明在探究勾股數(shù)的規(guī)律時關注到這樣一組勾股數(shù)：3、4、5：5、

12、13；7、24、25…他發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)數(shù)都是由一個大于1的奇數(shù)和兩個連續(xù)的正整數(shù)組成.

⑴小明根據(jù)他的發(fā)現(xiàn)寫出了這樣一組數(shù)：9、40、41,這是一組勾股數(shù)嗎，請給出證明.

⑵為了進一步探究這組勾股數(shù)的構成規(guī)律，小明設這樣的勾股數(shù)為/〃、小n+1（/〃為大于1的奇數(shù)，且

m<n）,他猜想是否可以用/〃表示出〃.若可以，請幫小明完成他的猜想，若不可以，請說明理由.

⑶當奇數(shù)m=17時，請直接寫出這組勾股數(shù).

【答案】（1）9、40、41是一組勾股數(shù)，見解析

（28=唳，見解析

（3）17、144、145

【思路引導】本題考查勾股數(shù)，列代數(shù)式規(guī)律型：數(shù)字的變化類，關鍵是掌握勾股數(shù)的定義.

（1）滿足a2+b2=/的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，由此即可判斷；

（2）由勾股數(shù)的定義得到m2+M=（n+l）2,于得到1I=啥：

（3）由（2）的結論即可得到答案.

【規(guī)范解答】（1）解：9、40、41是一組勾股數(shù)，理由如下：

22

...G2+40=814-1600=1681,41=1681,

.-.92+402=412,

???9、40、41是一組勾股數(shù);

（2）解：可以用m表示出n,理由如下：

vm2+n2=（n4-l）2,

m2=（n+l）2—n2=2n+1,

n=3：

（3）解：當奇數(shù)m=17時，門=今1=工二144,

二這組勾股數(shù)是17,144,145.

考點講練4:以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

7.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，以RtZiABC的三心為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜

邊AB=3,求圖中陰影部分的面積.

【思路引導】本題考查了等腰三角形的定義和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關鍵.根據(jù)等腰直角三

角形的性質及勾股定理得出AB2=2BF2,AC2=2AD2,BC2=2CE2,AB2=AC2+BC2,利用三角形面積公

式表示出陰影面積即可得答案.

【規(guī)范解答】解：???以內△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，

...AF=BF,AD=CD,CE=BE,

/.AB2=AF2+BF2=2BF2,AC2=AD24-CD2=2AD2,BC2=CE2+BE2=2CE2,AB2=AC2+BC2,

,?,SAABF=1BF.AF=1BF2,SAACD=1AD.CD=1AD2,SABCE=1CE.BE=1CE2,

*,?陰影部分的面積=S4ABF+S^ACD+^ABCE

=-^(BF2+AD2+CE2)

11>1n1>

=-X(-AB2+-AC2+BC2)

z?乙乙?乙

11

=-x-x2AB2

VAB=3,

???陰影部分的面積=；X32=:

8.（24-25八年級上?廣東深圳?期中）如圖，在Rt△ABC中，分別以這個三角形的三邊為逅長向外側作

正方形，面枳分別記為Si，S2,S3,若S3+S2-S1=20,則圖中陰影部分的面積為

【思路引導】本題主要考查了勾股定理的應用和三角形面積的算法，解決此題的關鍵是合理的運用勾股定

理；先根據(jù)勾股定理和己知的式子算出$2=10，再根據(jù)同底等高的算法即可得到答案；

【規(guī)范解答】解：在RtaABC中，這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為S],S2,S3,由

勾股定理得：BC2-AC2=AB2,

即S3T1=S2，

???S3+S2-S]=20,

/.S2=10,

，陰影部分的面積為2s2?

???陰影部分的面積為5,

故答案為：5.

考點講練5:勾股定理與網(wǎng)格問題

9.(24-25八年級上?吉林長春?期中)圖①、圖②均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,

其頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上.只用無刻庾:的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保

留作圖痕跡.

圖①圖②

(1)在圖①中，SAABC=；

(2)在圖①中,在AC上確定一點〃連接BD,使SgBD=S.CD；

(3)在圖②中,在△ABC內確定一點反連接AE、BE、CE,?SAABE：SABCE：SAACE=1:1:2.

【答案】(1)12

(2)畫圖見解析

(3)畫圖見解析

【思路引導】(1)利用割補法求解三角形的面積即可；

(2)如圖，取格點H,連接BH交AC于D,則D即為所求；

(3)如圖，取格點H,連接BH交AC于D,取格點Q,K,連接QK交BD于E,連接AE,CE,則E即為所求;

【規(guī)范解答】⑴解：SAABC=5x5-1xlx5-lxlx5-ix4x4=12：

(2)解：如圖,取格點H,連接BH交AC于D,則D即為所求：

理由如下:連接AH,CH,

VAB=VM+52=V26=CB,AH=CH=4,

???BH是AC的垂直平分線,

，AD=CD,

SAABD=SaBCD；

(3)解：如圖，如圖，取格點H,連接BH交AC于D,取格點Q,K,連接QK交BD于E,連接AE,CE,則E即

為所求；

理由如下：

由(2)可得：BH是AC的垂直平分線，BA=BC,

/.AE=CE,AD=CD,

D為格點，

VBE=BE,

△ABE=△BCE,

—△ABE=S^BCE；

VDK=BQ=3,DKHBQ,

AZBQE=ZDKE,zQBE=zKDE,

△BQE=△DKE,

ABE=DE,

SAABE=SAADE=SABCE=SACDEJ

.'△ABE2BCE：SAACE=1：1：2；

【考點剖析】本題考查的是求解網(wǎng)格三角形的面積，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，線段的

垂直平分線的判定與性質，格點作圖，熟練的作圖是解本題的關鍵.

10.(24-25八年級上-江西撫州?期中)如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂

點叫做格點，△ABC的頂點在格點上.請用無刻度直尺按要求作圖：

(2)在圖2中，找一格點〃使ADJ.AC且AD=AC.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【思路引導】本題考查網(wǎng)格作圖，三角形的高，勾股定理，三角形全等的性質，正確地畫出圖形是解題的

關鍵.

(1)根據(jù)三角形的高的定義結合網(wǎng)格的特點即可畫出AH；

(2)結合勾股定理和網(wǎng)格畫圖即可.

線段AH為所求;

圖1

PB、AM,如圖,

圖1

結合網(wǎng)格易得：BP=AM,PN=BM,ZAMB=zBPN=90°

:.ABNP=AAPM,艮|J有4PAM=4PBN,

vzPAM+zMPA=90°,

zPBH+ZMPA=90°,

.?.在△PBH中，ZPHB=90°,即AH1BC,AH符合要求;

證明：結合網(wǎng)格圖和勾股定理，可得AC2=32+32=18=AD2,CD2=62,

BPAC2+AD2=CD2.AC=AD,

即AACD是直角三角形，4CAD=90。，

即有：AC1AD,AC=AD,即D點滿足要求；

考點講練6:勾股定理與折疊問題

11.（24-25八年級下?北京?期中）如圖，在RtaABC中，4c=90。，AC=6,BC=4,D是AC的中點，E

是BC上一點，連接BD、DE,將ACDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE的長是（）

A.1.5B.2C.2.5I）.3

【答案】A

【思路引導】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出BD的長，折疊得到CD=DF,CE=EF/EFD=90

。，設CE=x,在RtABFE中，利用勾股定理進行求解即可.

【規(guī)范解答】解：??2ACB=90。，AC=6,BC=4,〃是邊AC的中點，

.-.CD=|AC=3,

ABD=VBC2+CD2=5,

???將△CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點二處,

.-.CD=DF=3,CE=EF/EFD=90°,

ABF=BD-DF=2/BFE=90。，

設CE=x,則：EF=x,BE=BC—CE=4—x,

在Rt^BFE中，由勾股定理，得：(4-x)2=X2+22,

解得：x=1.5；

ACE=1.5；

故選：A.

12.(24-25八年級上?江西撫州?期末)如圖，在長方形ABCD中，AB2,AD=4,將此長方形沿EF折

疊，使點〃與點6重合，則AE的長度為.

【答案】,

【思路引導】本題考查勾股定理與折疊問題.折疊得到BE=DE,設AE=x,利用勾股定理進行求解即可,

掌握折疊的性質和勾股定理，是解題的關鍵.

【規(guī)范解答】解：???將此長方形沿EF折疊，使點〃與點6重合，

BE=DE,

設AE=x,

???在長方形ABCD中，AB=2,AD=4,

.\zA=90°,BE=DE=4-x,

由勾股定理得BE?=AE2+AB2,

.\(4-X)2=X2+22,

._3

??xv—5，

3

AAE=1.

故答案為:

考點講練7：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

13.（24-25八年級上?峽西西安?期中）愛知中學體育組為方便學生使用體育器材，豐富課余生活，增強

身體素質，計劃要在道路m上建立一個體育器材放置點E,同時向C,D兩棟教學樓提供器材.已知：D到道

路m的距離DA=20m,C到道路m的距離CB=10m,A,B兩地距離AB=50m.現(xiàn)要求放置點E到C、D兩棟

教學樓距離相等.

D

C

（1）請利用圓規(guī)與直尺在直線m上作出點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）計算器材放置點E到A處的距離.

【答案】（1）見詳解

（2）22m

【思路引導】本題考查作圖-應用與設計作圖，勾股定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題.

（1）連接CD,作線段CD的垂直平分線交AB于點EM連接DE,CE,點月即為所求：

（2）設AE=xm,根據(jù)DE=EC,利用勾股定理構建方程求解.

【規(guī)范解答】（1）解：如圖，點月即為所求.

vED=EC,

AE2+AD2=EB2+BC2,

.?.X2+202=(50-X)2+102,

x=22,

:.AE=22m,

???點E到A處的距離22m.

14.(24-25八年級上?四川雅安?期中)如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,zBAC=90°,點D、E為BC上兩

點/DAE=45。，點F為△ABC外一點，且FB1BC,FA1AE,則卜列結論：①CE=BF；?BD2+CE2=D

2222

E：@CE+BE=2EF；?SAADE=|AD-EF,其中正確的是()

A

BDEC

A.①@③B.①②③④

C.???D.①②④

【答案】D

【思路引導】本題考查了全等三角形的判定與性質，掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質以及等腰直

角直角三角形的性質是解題的關鍵.

根據(jù)等腰直角三角形的性質，判斷出4AFB三AAEC,即可得出CE=BF,根據(jù)勾股定理與等量代換可得②

正確，根據(jù)在等腰三角形中，角平分線與中線為一條直線即可得出④，再根據(jù)勾股定理即可得出③.

【規(guī)范解答】解：vzBAC=90°,FA1AE,ZDAE=45°,

ZCAE=90°-4DAE-zBAD=45°-/BAD,

zFAB=90°-zDAE一4BAD=45°-zBAD,

zFAB=Z.EAC,

vAB=AC,ZBAC=90°,

zABC=ZACB=45°,

vFBlBC,

.-.ZFBA=45°,

/.ABC=Z.FBA,

.?.△AFB三△AEC(ASA),

CE=BF,

故①正確；

由①中證明△AFB三△AEC,

:.AF=AE,

vZDAE=45°,FA1AE,

.?./FAD=ZDAE=45°,

.?.△AFD三△AED(SAS),

連接FD,

FB24-BD2=FD2,

VFB=CE,FD=DE,

:.BD2+CE2=DE2,

故②正確；

設AD與EF的交點為G,

/FAD=Z.EAD=45°,AF=AE,

AD1EF,EF=2EG,

???^ADE=rAD-EG=l.AD.|EF=lAD.EF,

故④正確；

???FB2+BE2=EF2,CE=BF,

CE2+BE2=EF2,

故③不正確，

故選：D.

考點講練8：利用勾股定理證明線段平方關系

15.（24-25七年級上?山東煙臺"期末）【問題提出】

如圖1,在RtAABC中，AB=AC,D為BC邊上一點（不與點B,C重合），以AD為直角邊在AD右側做等腰直

角CADE,連接EC.

（1）4ECD的度數(shù)為______；

（2）線段BC,DC,EC之間有怎樣的數(shù)量關系，寫出并說明理由；

【類比探究】

如圖2,若點D在BC邊的延長線上，其他條件不變，

（3）試探究線段BD,DC,DE之間滿足的數(shù)量關系，并說明理日.

【答案】(1)90%<2)BC=DC+EC,理由見解析；(3)BD2+CD2=DE2,理由見解析

【思路引導】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理：

(1)證明AABD三AACE,得到乙ACE=4B,利用角的和差關系進行求解即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質，結合線段的和差關系即可得出結論；

(3)證明AABD三AACE,求出△ECD為直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理即可得出結論.

【規(guī)范解答】解：???RtZkABC,AB=AC,

AZB=ZACB=45",

???△ADE是等腰直角三角形，

JAE=AD/DAE=90°=4BAC,

.?./BAD=ZCAE=90。一4CAD,

:.△ABD三△ACE,

.\zACE=ZB=45°,

AZECD=ZACB+4ACE=90°；

(2)BC=DC+EC,理由如下：

由(1)知：△ABDwZ^ACE,

/.CE=BD,

VBC=DC+BD,

.\BC=DC+EC；

(3)BD2+CD2=DE2,理由如下：

VAB=AC,AE=AD,zBAD=zCAE=90°+4CAD,

AABD=AACE,

AZACE=zB=45°,CE=BD,

AZECB=zACB+4ACE=90°；

AZECD=90°,

在ECD中，由勾股定理，得：CE2+CD2=DE2,

ABD2+CD2=DE2.

16.（24-25八年級上?上海松江?期末）已知：在Rt^ABC中，zACB=90°,CA=CB.點D、E在線段AB

上.

（1）如圖1,如果CD=CE,求證：AD=BE.

⑵如圖2,如果NDCE=45。，求證：DE2=AD2+BE2.

【答案】（D證明見解析

⑵證明見解析

【思路引導】（1）如圖所示，過點C作CF_LAB于月利用三線合一定理得到AF=BF,DF=EF,由此即可

證明AD=BE；

（2）如圖所示，將4ACD繞點。沿逆時針方向旋轉90。得到ABCF,連接EF,則BF=AD,證明△FCEw△

DCE,得FE=DE,再證明/EBF=90。，則FE?=BF2+BE2,即可證得DE?=AD2+BE2.

【規(guī)范解答】（1）證明：如圖所示，過點。作CF1AB于凡

VCA=CB,CD=CE,

.\AF=BF,DF=EF,

；.AF-DF=BF-EF,

AAD=BE；

（2）證明：如圖所示，將AACD繞點C沿逆時針方向旋轉90°得到ABCF,連接EF,

VZACB=90°,CA=CB,

AZCBA=ZA=45°,

由旋轉得CF=CD，Z.CBF=zCAD=45°,zACD=zBCF,

VZDCE=45°,

???zFCE=zBCF+zBCE=zACD+zBCE=90°-45°=45°,

zFCE=ZDCE,

VCE=CE,

:.△FCE=△DCE(SAS),

??.FE=DE,

VZCBF=ZA=ZCBA=45°,

.'.zEBF=90°,

/.FE2=BF2+BE2,

VBF=AD.

ADE2=AD2+BE2.

【考點剖析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質與判定，勾

股定理等等，正確利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵.

考點講練9：勾股定理的證明方法

17.（24-25八年級上?河南南陽?階段練習）在一次數(shù)學實踐活動中，宛宛同學把四個全等的直角三角形

和一個小正方形拼成了一個大正方形，如圖所示.設直角三角形較長的直角邊長為b,較短的直角邊長為a,

大正方形邊長為c.請你寫出a,b,c之間的關系式是.（化到最簡）

【答案】a2+b2=c2

【思路引導】本題考直了整式的混合運算與圖形面積的計算，掌握整式的混合運算是關鍵.

根據(jù)題意，分別算出大正方形的面積為c2,4個直角三角形的面積為4x5b=2ab,小正方形的面枳為

（b-a）2=b2-2ab+b2,由4個直角三角形的面積與小正方形的面積的和為大正方形的面積，列式求解即

可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意及圖示可得，大正方形的邊長為3即直角.三角形斜邊長，

???大正方形的面積為c2,

三角形的直角邊長分別為a,b（b>a）,

A4個直角三角形的面積為4x；ab=2ab,

小正方形的邊長為b—a,

二小正方形的面積為（b-a）2=b2-2ab+b2,

???4個直角三角形的面積與小正方形的面積的和為大正方形的面積，

.*.b2—2ab+a2+2ab=c2,即a?+b2=c2,

故答案為：a2+b2=c2.

18.（24-25八年級上?福建泉州?期末）勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著無窮魅力.它是用代數(shù)思想

解決幾何問題的最重要工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人著迷.我

國三國時期的數(shù)學家趙爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”（也稱“趙爽弦圖”）就巧妙地利用面積法證明了勾股

⑴如圖1,用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為44斜邊長為c.

①請寫出勾股定理的表達式：.

②如圖2,正方形邊長為。，請你在圖2中，將圖1的四個三角形拼成一個能證明勾股定理的圖形.

（2）如圖3,將兩個全等的直角三角形按如圖所示的方式放置.，使點氏￡。在同一直線上，三角形的短直

角邊記為a,長直角邊記為4斜邊記為。，請連結AD,試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關系驗證勾股定

理.

【答案】（1）①a2+b2=c2；②見解析

⑵見解析

【思路引導】本題是四邊形綜合題，考查全等三角形的性質，勾股定理，四邊形面積，解決本題的關鍵是

掌握勾股定理.

（1）①根據(jù)勾股定理即可解決問題；②結合①畫出圖形即可;

（2）連結AD、AE,證明AC_LDE,根據(jù)四邊形的面積列出等式即可解決問題.

【規(guī)范解答】（1）解：①勾股定理的表達式：a2+b2=c2,

故答案為：a2+b2=c2；

圖2

連結AD、AE,

圖3

由題意可知：ZkABC三AECD,

:.EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c,BE=b—a,

二S四邊形ABCD=式a+b)b=2ab+-b2,

v△ABC三△ECD,

zDEC=zCAB,

vZABC=90°,

ZCAB+zBCA=90°.

zDEC+zBCA=90°.

zEFA=90°,

AC1DE,

S四邊形ABCD=SAACD+S^ACE+S^ABE=pC?DF+-AC-EF+-AB-BE,

???S四邊形ABCD=7AC,(DF4-EF)+|AB-BE=|AC-DE4-|AB-BE,

???夕b+擰=*2+$b—12,

???a24-b2=c2.

考點講練10：以弦圖為背景的計算題

19.（24-25八年級下-天津河北?期中）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一

個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12,大正方形的面積是169,則小正方形

【思路引導】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，

可以計算出小正方形的邊長，即可得到小正方形的面積.

【規(guī)范解答】解：由題意可得：大正方形的邊長為原=13,

小正方形的邊長=12-小32—122=7,

???小正方形的面積為7x7=49,

故答案為：49

20.（24-25八年級上?河南鄭州?期中）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的

大正方形.趙爽利用幾何圖形的被、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，在驗明勾股定理，為中國

古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范.

圖1圖2

（1）如圖1,是小琪制作的一個“超爽弦圖”紙板.

①設AH=a,BH=b,AB=c,請你利用圖1驗證：a2+b2=c2：

②若大正方形ABCD的邊長為13,小正方形EFGH的邊長為7,求直角三角形兩直角邊之和為多少？

⑵如圖2,小昊把四個全等的直角三角板緊密地拼接在一起，已知外圍輪廓(實線)的周長為48,0B=6,

求這個圖案的面積.

【答案】(1)①見解析；②17；

(2)96

【思路引導】本題主要考查了勾股定理的證明，能用不同的方法表示出正方形ABCD的面積及巧用整體思想

是解題的關鍵.

(1)①用兩種不同的方法去求正方形ABCD的面積即可.

②利用①中發(fā)現(xiàn)的結論即可解決問題.

(2)設A。=m,根據(jù)勾股定理建立關于勿的方程即可解決問題.

【規(guī)范解答】(1)解：①證明：?:中間小正方形的邊長為b—a,

二小正方形的面積為(b—a/

又,??四個直角三角形的面積為：4xlab=2ab,

二大正方形的面積為：(b-a)2+2ab=a2+b2

又?.?大正方形的邊長為c,

???大正方形的面積還可以表示為C?,

a2+b2=c2；

②解：由①可知，

a24-b2=c2=169,

vb—a=7,

???(b-a)2=a2+b2—2ab=49,

:.2ab=120,

:.(a+b)2=a2+b2+2ab=169+120=289,

...a+b=17(舍負),

即直角三角形兩直角邊之和為17；

(2)解：設A。=CO=GO=EO=m,

vOB=OH=OD=OF=6,

AH=CB=DE=FG=m—6

???外圍輪廓（實線）的周長為48,

???4(AB+m-6)=48,

則AB=18-m

在ABO中，

624-m2=(18-m)2,

解得m=8,

即AO=8,

S=4x^x6x8=96.

考點講練11:用勾股定理構造圖形解決問題

21.(24-25八年級上?河南鄭州-期末)用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是

一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a,b(a<b),斜邊長為c.

圖①圖②

⑴請利用圖①證明:a2+b2=c2；

(2)如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得至圖形ABCDEFGH,若該圖形的周

長為80,0B=5,求該圖形的面積.

【答案】(1)見解析

(2)120

【思路引導】本題考查了幾何法證明勾股定理及不規(guī)則圖形面積求解，利用數(shù)形結合的思想，準確找出圖

中各個線段長度及面積關系是解題關鍵.

(1)由圖形可知，中間小正方形面積=大正方形面積等于一四個完全相同的直角三角形的面積，列出等

式化簡即可得到結論：

(2)根據(jù)周長得到AB+AH,設AH=x，則AB=20—x,結合勾股定理求出x,利用三角形面積公式，進

而求出該圖形的面積.

【規(guī)范解答】(1)證明：由圖可知S小正方形=(b-a)2=b2-2ab+a2,

小正方形2

S=c-4x^ab=c2_2ab,

:.b2—2ab+a2=c2—2ab.

:.a2+b2=c2；

(2)解：由題意得，AB+AH=80-4=20,

設AH=x,則AB=20—x,OH=OB=5,

在RtAOAB中ZAOB=90。，由勾股定理，f#OB2+OA2=AB2,

即52+(x+5)2=(20—x)2,

解得x=7,

所以，該圖形的面積是gx5x(5+7)x4=120.

22.(24-25八年級上?四川成都?期末)我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾,

另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學家劉徽(約公元225年一公元295年)將勾股形分割成一

個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長

方形，是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6,CD=2,則長方形的面枳為.

【答案】48

【思路引導】本題考查了勾股定理的運用，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵.

設BD的長為心在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關于x的方程，進而可求出該矩形的面積.

【規(guī)范解答】解：由己知可得CD=CE,AF=AE,BF=BD,

ACE=CD=2,

設BD的長為x,

VZtC=6,CD=2,

AAE=AF=AC-CD=4,BF=BD=x

BC=BD+CD=x+2,AB=44-x

在ABC中，AC2+BC2=AB2,

即（2+X）?+62=（44-X）2,

整理得，4x=24,

；?X=6

BC=x+2=8

而矩形面積為：8x6=48,

故答案為：48.

考點講練12:勾股定理與無理數(shù)

23.（22-23八年級上-江蘇淮安-階段練習）如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是.

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【答案】V5

【思路引導】本題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸的關系，根據(jù)勾投定理求出斜邊的長是解答本題的關鍵.在

直角三角形中，求得斜邊的長，即可求解.

【規(guī)范解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜邊長=田手=遙，

???點力表示的實數(shù)是遙，

故答案為：V5.

24.（24-25八年級上?吉林長春?階段練習）如圖，在邊長為1的4x4正方形網(wǎng)格中，畫出三個同時滿足

以下三個條件的三角形.

①所畫三角形的頂點都在格點上的直角三角形：

②所畫三角形的三邊長度至少有兩邊長度是無理數(shù)；

③所畫的三個直角三角形互不全等.

【答案】見解析

【思路引導】此題考查了勾股定理和網(wǎng)格，無理數(shù)的概念，根據(jù)題意畫圖即可.

【規(guī)范解答】如圖所示,

考點講練13：判斷三邊能否構成直角