重難點(diǎn)突破03最全歸納平面向量中的范圍與最值問(wèn)題

目錄

題型一：三角不等式

題型二：定義法

題型三：基底法

■方法技巧總結(jié)

技巧一.平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標(biāo)法

第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

技巧二.極化恒等式

(I)平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|〃+W+|〃一/；|2二2（|￡|2+|汗）

證明：不妨設(shè)A月=4,4方=。＞則AC=a+Z^,DB-a-b

=充2=(〃+,=冏+2公石+,①

|DB|2=DB2=(?-6)2=同一2d1+用②

①②兩式相加得：

向卜阿『=2忖+粕=2(|同+|而"

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：;[(￡+力-------極化恒等式

①平行四邊形模式：砰]

幾何意義：向量的數(shù)量枳可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線''與"差對(duì)角線”平方差

的二

4

②二角形模式：7〃二|4歷『—1|。網(wǎng)2(M為80的中點(diǎn))

技巧三.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)0是矩形ABC。與所在平面內(nèi)任一點(diǎn),

證明：OA2+OC2=OB2+OD2.

【證明】(坐標(biāo)法)設(shè)48=aAO=〃，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系人少，

則B(a,0),D(0㈤,C(a㈤,設(shè)。(x,y),則

OA2+0C-=(x2+/)+[(x-a)2+(y-b)2]

OB2+OD2=[(.r-a)2+y2]+[x2+(y-b)2]

:.OA2+OC2=OB2+OD2

技巧四.等和線

(I)平面向量共線定理

已知。4=20月+若義+〃=1,則A及。三點(diǎn)共線；反之亦然.

(2)等和線

平面內(nèi)一組基底麗,加及任一向量0戶，OP=AOA+pOlia,若點(diǎn)P在直線AB二或者在平行

于AB的直線上，則％+〃=%(定值)，反之也成立，我們把直線你以及與直線相平行的直線稱為等和線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線M時(shí)，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線A4之間時(shí)，^e(0,l)；

③當(dāng)直線在點(diǎn)。和等和線之間時(shí)，kw(l,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，攵=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值&互為相反數(shù);

技巧五.平行四邊形大法

1、中線長(zhǎng)定理

2

2AO=|AB|2+|/4D|2-||DB|2

2、尸為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：

2P0=|喇+附「一；“『

2PO=|PD|2+|PB|2一；104f

兩式相減：1PAi'〔PCI2T「q2+|pB「)」AC|;忸。|=2//0)

技巧六.向量對(duì)角線定理

死而.+8(？2)_(A^+C爐)

.~2

B

必考題型歸納

題型一：三角不等式

例1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知向量打；1滿足13=2,由=1,|1上」|=1，若對(duì)任意2，

(:?工)2+(]一%f.I恒成立，則2%的取值范圍是__________.

【答案】~2-

rr、2rr、2rrrzrrr

【解析】解析：因?yàn)?zc-a)+z/叫一[一z〃一〃x)=c2-2ab,

則S=(1)2+(；」『=\+c-2ab,因?yàn)椴?〃卜[1,3],

由|口_,+力|§；_；_力|=|；_。+力)區(qū)+力,

由l=|c-(a+〃)|Wc+〃+力，即“21-4+0,由〃+力w[l,3],則I-“+/?恒成立.

由+Wc-(a+Z?)|=1,即a+b-1<|c|<1+a+b

則￡皿=l+(|a+N+l)2-%?〃=l+?+?+l+2d+2J1

=7+2j5+2。.力<11?

解得】晨彳，又2b-那=-2

rr「

所以ame-2,--.

故答案為：-2,-1

例2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知平面向量不出忑滿足：\a\=\,f)a=-\,若對(duì)滿足條件的任意向量5,

m-5m修一萬(wàn)|恒成立,則cos優(yōu)+a.a)的最小值是.

【答案】立

2

【解析】由題意設(shè)乙=(1,0)出=(-1,此),4=(%,訓(xùn),c-5=(x+l,y-m),c-a=(x-l,y),

由|一囚因乙一ci|,{(x+f)2+(〃L?>y/(x-l)2+y2,

化簡(jiǎn)得"『一2〃?y+4x20恒成立,所以△W0,)戶W4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/k,k7x+1、x+11、&

cos您+a,a)=/>/=j>——

J(x+l/+y2"(K+1)2+4Xi4x2,

V(xT17

當(dāng)且僅當(dāng)爐=4x且“1時(shí)取到等號(hào);

故答案為：旦.

2

例3.已知向量口反5滿足|同=忖=同=2,小5=0,若關(guān)于，的方程疝+g--二g有解，記向量的夾角

為。，則sin。的取值范圍是.

r131

【答案】7，了

_44

【解析】不妨令1=（2,0）出=（0,2）1=小,%）,

由忖=2,可得*+y：=4；

S+5Y=（2，,O）+（O,l）-（Xo，yo）=（2，-Xt）,l-yo），

故可得笈+,Y=<=J（2f_/）-+（1一）b）一，

乙乙

3io

整理得"-45+片+)，；-2%+^=4/―4V+--2%=0,

要使得該方程有解，則△=164-16(?-2%'0,

?q

整理得第+2%-?2。，又因?yàn)槟?y=4,

4

「]3一

故可得4y；-8y0+3<0,解得y0e—,—.

又因?yàn)閏os。=pp=；%,故可得s加。=Jl-cos*=J—%；==如。|,

-13-

故可得"be-r~.

[44j

'13~

故答案為：.

l_44j

變式1.已知％?是平面向量,且吊胃是互相垂直的單位向量,若對(duì)任意R均有|4+4\]的最小值為

后-W，則-胃+4的最小值為.

【答案】3

【解析】根據(jù)忖+詞的最小值為E-可，代入得關(guān)于五的一元二次不等式，利用等號(hào)可以取到判斷出

A=4（I￡）2_4（2藐'-1）=0,然后設(shè)冢為x軸的方向向量，￡為>軸方向向量，~ey=xex+ye[,則得關(guān)于點(diǎn)

（x，F(xiàn)）的軌跡方程，利用拋物線的定義將向量模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為距離，計(jì)算最小值.

&+同=同+2靖4+*可2k-司=同-23，+同,即公+2媽％+羽?3—120,所以

A=4(獲『一4(2蕊*-1)=0,即|：44)2-WB+|=O,設(shè)1為無(wú)軸的方向向量，Z為了軸方向向量，所以

4=露+ye2,對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(M>),所以/-2y+1=0,得』=2(y-；):

忖+3耳-]+厘-4=|(1,3)-*,到+|(內(nèi))-(0,1)|,因?yàn)閒=2(k》為拋物線寸=2)，向上平移！個(gè)單位，

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,D,準(zhǔn)線為y=。，所以點(diǎn)?y)到(0,1)的距亶與到y(tǒng)=o的距離相等,

|(l,3)-(x,y)|4-|(x,y)-(O.l)|=|(l-x,3-.y)|+|y|^|3-y|4-|y|=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，取最小值.

故答案為：3

變式2.已知平面向量力,鼻滿足卜2-4=2,設(shè)1=4+4￡5=1+1，若1K/.5W2，則I&I的取值范圍為

【答案】[X/3-1,75+1]

【解析】設(shè)3=4-石，則〃=；5+習(xí)，則由條件14無(wú)弓42知2〈小(d+KK4,

所以34々2+九￡+卜*5,所以卜+g<75,1^1=1,

又叱￡一?第二"0—￡西+電閭

2211222||2|

所以石一14舊區(qū)6+i.

故答案為：

7

變式3.(2023?浙江金華?統(tǒng)考一模)已知平面向量。，B，3滿足44二:，la-5l=3,(?-？i(^-c)=-2,

則同的取值范圍是___________

【答案】[「3-，-5~.

【解析】如圖，

設(shè)⑸二亂麗=瓦比=/,貝um-5i=i麗i=3,

取A8的中點(diǎn)。，

則二◎+麗尸-◎-兩2=4帚心理=。人君g閑2_2J,

4444

|。25|=2,

X(d-c>(^-c)=-2,

?'-C4?5=-2,

.KE(CA+C^2-(CA-C^)24c廳一4A6_,K,29、

??CA?CB=-------------------------------=-------------------=|CDI=-2，

444

|CD|=1,

A\OD\-\CD\^c\\OD\+\CD\,即T別1*1j-

35

故答案為：［5,5］.

題型二：定義法

例4.已知向量大方的夾角為W，且22=3,向量"?滿足"=而+(1-/1歷(0<2<1),且［"=尻入記x=背,

cb

>'=W，則廠+廠一個(gè)的最大值為.

27

【答案】v

O

【解析】

設(shè)oA=a,oB=hoC=e,貝|」4。8=三，

由小5二3，知|,卜|〃|8$三=3,即|0|.|/；|=6,

市I」C_1I-］［工］兀_1XG_3\Z§>

〃「以S'O&B=-|?l-l^|sin-=-x6x—=——,

/J/4

因?yàn)?=/14+(1—義而(0<義<1),所以點(diǎn)C在線段ABE,

設(shè)Z4OC=a,則/80C=g-a,

n

所以Y一孫=|m|2cos2a+\cfcos2aj-|c|cosa|c|cosIy-cr

qsa+qna\

=|c|2cos2a+|c|2-|c|cosa|c|—cost?+——sina

2222

心…+"――。.￡…a

=1rI2cos2a+—cos2a+

42422

3.

=Ich

4

故原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求I?I的最大值,

在AOAB中，由余弦定理知,

\ABf=\af+|6『-2|?||/?|cos^=|?l2+\bf-\d\-\b\

N2kH可-|同網(wǎng)=|M.同=6,當(dāng)且僅當(dāng)何=同=卡時(shí)，等號(hào)成立,

故AB的最小值為指，

因?yàn)槎?而，所以他一孫”0,即A8_LOC,

所以S.=—|AB|-|OC|=——，

ACOz/iBo2.2

即兇=漆手睢即年唳

所以/+,，2一個(gè)=7/3"彳77.

27

故答案為：—

O

例5.（2023?四川成都?高二校聯(lián)考期中）己知向量。，5，*滿足同=1,=無(wú)5=-1，向量”4與

向量的夾角為:，則同的最大值為

【答案】M

G?b—1/一\37r—/、

【解析】依題意可知cosR，6）=麗=前二一亍，所以e力）=彳，不妨設(shè)。4=在（叫,

。月=6=（一1,1）,dc=c?則NAOB=T

由『與力的夾角町可知46個(gè)所以0MCB四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)C在⑨回的夕卜接圓上.

A月=（-2,1）,則|而卜逐，由正弦定理得△Q48的外接圓直徑2R=’?=加，所以同的最大值為JF5.

sinT

故答案為：M.

例6.（2023?浙江紹興?高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知向量G，坂滿足|4=1,欠=6,且￡_1人若向量2滿足

1H.=2忖叫，則口的最大值是_____.

【答案】6

【解析】如圖，設(shè)方=2，OB=h，OC=o麗=2+5，

連接AO,BD,

則由3_L5可知四邊形OADB為矩形，

則卜+力==2.

由k一

可得卜-a-q=2./一勾，

連接CO,

則因=4,

所以點(diǎn)C在以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓上，

I-J|Uiini|||ULni]

所以pq的最大值為口4+|圖=2+4=6.

變式4.已知向量/7滿足口=1,W卜石，且小B=-1,若向量a—m與白-

的夾角為30。，則I1的最

大值是___________.

【答案】26

【解析】

設(shè)蘇=1,o2=W,

所以H=a/一1=&，所以/4圓=30二

->->_3廠

所以COSV4/>==一=——-，

\a\\b\⑺2

因?yàn)?lt;H>e［（T,180卜

所以<I/；>=150,NA08=150：.

所以。4脫。四點(diǎn)共圓.設(shè)外接圓半徑為七

要使13最大，所以O(shè)C必須過(guò)圓心，

此時(shí)，在AQAB中，由余弦定理得A82=i+3—2j5cosl50=7".A8=J7.

4?L

由正弦定理得OC-2R-./…-2s.

sinZAOB

故答案為：2出

變式5.已知向量漏，滿足忖=2忖=3忖=6,若以向量漏為基底，將向量"表示成三芝+四力〃為

實(shí)數(shù)），都有憶+4,1,則的最小值為

【答案】4-4Vi0

【解析】由題可知，忖=6,忖=3書(shū)=2.

不妨設(shè)況=2=（60）,祝二九瓦=",則點(diǎn)3、C分別在以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為2和3的圓上運(yùn)動(dòng)，

又c=/lZ+4&九〃為實(shí)數(shù)），都有以+”,,1,

所以當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)且此線與半徑為2的圓相切時(shí)，向量涼;的夾角。最大，此時(shí)，"出的最小.

此時(shí)，在“OC中，由余弦定理可得,

O/\2+3OC2-4C262+32~(^+4^)2-2y/\0

cosZAOC=

202OC-2x3x6--9"

a?坂=忖?Wcos〃=6x3cosZAOC=4-4\Ao

故答案為：4-4V10.

變式6.已知向量a、。滿足：卜一石=4,卜=&忖.設(shè)力一分與a+坂的夾角為夕，則sin。的最大值為

【答案】2^/1V2

33

【解析】設(shè)M=/,則同=",設(shè)向量）、加的夾角為〃，

3/2-16

若卜一,=4,則a~-2ab+b~=3r-2\/2rcosa=16可得cosa

272?

由題意可得潦KI,解得4（夜-1）Q4（0+D，

所以，忖+@=a~+2ab+b'=3r+2>/2rcosa=6r-16,.，.卜+q=-16,

故答案為：空.

3

題型三：基底法

例7.已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,N8AD=120。，點(diǎn)E,“分在邊8C,。。上，麗=2前,DF=pDC.若

2

4+〃=則屜.標(biāo)的最小值為

【答案】J4

【解析】如圖，

____2

??JE=Z13C>。1=〃OC?，且％+〃=§,

「?AE-AF=(AB+BE)(AD+DF),

=(AB+ABC)(AD+//DC)=(A#+AAD)-(AD+〃八6)

=(\+Ap)ABAD+A\ADf:+〃|A8f

|Q

=(1+A//)x2x2x(——)+4(A+〃)=-2(1+A//)+-.

23

由趣意可得，2,〃>。，

?

入內(nèi)、(■：〃)="，則-2(1+沏)...一等，

2(1+4/)+*](當(dāng)且僅當(dāng)/=〃=5時(shí)等號(hào)成立)，

4

*'?立S尸的最小值為

4

故答案為：—.

例8.(2023?天津?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知菱形A8C。的邊長(zhǎng)為2,/班。=120。，點(diǎn)E、F分別在邊BC,

CQ上，現(xiàn)=2阮,DF=fjDC,若2義+〃=|,則9桿的最小值__________.

【答案】3

【解析】AB-^D=|?|-|AD|COS120=-2荏Q=(而+2配)?(而+〃配)="一;〃+3,

〃2一;〃+3=(〃一!)+%.由于0《2/1工2,；三〃工1,在區(qū)間上為增函數(shù),故當(dāng)〃=；時(shí)取得最小值為3.

2\4/32.2

例9.如圖，菱形A/6CO的邊長(zhǎng)為4,/曲。=30。，M為。C的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界）,

則AM-AM的最大值為

【答案】24+126/12百+24

【解析】由題意AM=A/5+=gA分+A/5,設(shè)XN=x4*+)，AZj(()KxK1,OKyK1),

7^=(^AB+^)(xAB+yAD)=^xAB2+(x+^y)ABAD+yAD2

=8x+(x+yy)x42xcos300+16y=8(1+方)x+4(4+6)),,

所以工=1,)，=1時(shí)，麗取得最大值24+126.

故答案為：24+126.

變式7.菱形A8C。的邊長(zhǎng)為4,ZBAD=30°,若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，則而?麗的最大值為

【答案】16+8X/3/8N/3+16

【解析】設(shè)版=x4月+y瓶(04xWl,0Wy41),

則ABAN=AB(xAB+yAD)

=xAB~+yAB-AD

=A|AB|2+V|4S|-|AD|COSZBAD

=16x4-yx42xcos30°=16.r+8>/3v,

所以當(dāng)x=l,y=l時(shí)，麗?麗取得最大值16+86.

故答案為：16+8G.

變式8.如圖，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為4,/8人。=60為QC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界),

貝I」麗?麗的最大值為.

【答案】36

【解析】AM=^AB+ADtAN=AAB+^AD,其中％￡[()4],〃￡[()4],

所以AM.A”=(g?(aAp+〃A》)=g/iAA。+(%+；〃)A月.A力+〃而2

所以當(dāng)4=4=1時(shí)，RV?麗取得最大值，最大值為16+20=36.

故答案為：36

變式9.平面四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且44=120。，點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，且麗=3祈，點(diǎn)M

是四邊形A8C。內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則而7.麗的最大值為.

【答案】於5

【解析】如圖所示,

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義知：.當(dāng)點(diǎn)M在。點(diǎn)時(shí)，湎7在而上的投影向量與麗同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，

所以此時(shí)AA7.AN.最大，

因?yàn)閄N=A力+加=人萬(wàn)+3。。=4力+34后,AC=AB+AD^

44

所以入內(nèi)衣=(八小^-AR)(AR^AD)=-AB24AD+-ARAD

444

Q717

=-x4+4+-x2x2x(-l)=-,

4422

所以威.而的最大值為

故答案為：:7

變式10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知向量心方滿足|萬(wàn)+同=3,萬(wàn)歷=0.若*=筋+(1-刃〃，且不.萬(wàn)".方，

則同的最大值為.

3

【答案】j

【解析】令口=湎7，b=~MB＞則4+5=戒+礪=而，故|而卜3,又無(wú)6=0,所以就_LM*.以AB為

宜徑作直角三角形4W的外接圓。，進(jìn)而得出當(dāng)麗_L同時(shí)，而即同取得最大值.

令病二而萬(wàn)，連接MV.i&c=~AC因?yàn)槿?人］+(1-勾4,所以點(diǎn)C在直線A/N上，又小方一停g,所以

c(a-b)=O,即Ad.MV/=O，所以正1而.結(jié)合圖形可知，當(dāng)N方_L4/時(shí)，而即同取得最大值，且

同TM=|.

故答案為：；

變式11.已知平面向量3,5,工滿足問(wèn)=逝，W=Lab=-\^且。二與力，的夾角為?，則口的最大

值為.

【答案】M

【解析】???而|=夜，由=1,2出=-1,

Acos<a.b>=~—>即―與坂的夾角為年，

24

如圖，fiOA=ci?OB=b*OC=c?連接AC，BC,則a—c=CA，b—c=CB?

???ZACB=-,

4

又NA08=當(dāng)，.??0,4,C,8四點(diǎn)共圓，

4

故當(dāng)。。為圓的直徑時(shí)，憶|最大，

此時(shí)4=8=工，04=75，（95=1,ZB0C=--ZA0C,

24

0A

在放入4。。中，0C=

cos^AOC

在"札

OAOB歷公1______

，L，J呼-

cosZS4OCcosZ.BOCCOSIAOCcos^AOC)'

cosZAOC=^2(-乎cos/AOC+孝sin/AOC),

整理得，2cosNAOC=sin/AOC,

tanZ/4OC=2,cosNAOC=下,

V2

.?.℃=1=J6，即121的最大值為JiU.

忑

故答案為：x/fo.

變式12.已知平面向量九b>2瞞足忖=4,1卜3,，=2,bc=3>則（a-石）（a—c）-c）］

最大值為.

【答案】I39+24V21

【解析】設(shè)）=吊礪=瓦宓=3萬(wàn)-5與：，所成夾角為e

貝?(￡―/—[(￡—今(￡一磯2TAdkd—Mdkcfcos/

222

=|AB||AC|sin0=|陰21Aq2shi2ZC4B=4s鼠時(shí)

因?yàn)樾=6cos(52)=3,cos(/；Q=；,所以瓦2的夾角為60。

設(shè)8(3,()),C(1,6),則忸C|=J32+2?-2x3x2xg=不

所以S&o8c=gx3x2xsin60°=手，設(shè)°到8C的距離為〃

則;所以人孚

~乙，

因?yàn)楹?4,所以點(diǎn)A落在以點(diǎn)。為圓心，以4為半徑的圓上

所以A到BC的距離最大值為4+汽=4+詼

7

所以Sjsc的最大值為;xJ7x

36丫

所以（￡一石）（￡一°一的最大值為425+=(4x/7+3揚(yáng)2=139+24y/2l

2

故答案為：139+24在'

變式13.在中，M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AW的中點(diǎn)，且滿足病=義；4&+〃/,則外+/的

最小值為.

【答案】1/0.125

O

【解析】由"為邊8c上任意一點(diǎn)，則麗=/而,（0工7工1）,

==g（A月+4貶）=^（八8+/83）=；人月+^（43—人月）=子人月+]43,

可得,2,則％+〃=；,即4=g—〃，由OKyKl,可得則4c0,1,

當(dāng)”=!時(shí)，萬(wàn)+川取得最小值為:

48

故答案為：

O

題型四：幾何意義法

例10.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知￡,例工是平面向量,滿足%—q=W+q,忖=2忸卜2,『+2—4=石,

則向量2在向量Z上的投影的數(shù)量的最小值是.

【答案】-2-V5

【解析】由卜-0=卜+4,則F—邛=忖+石2,

即7-2￡石+力=/+2￡3+^，即》0,即21萬(wàn)，

又由同=2慟=2,所以忖=2,忖=1,

不妨設(shè)a=(2,0),5=(0,1),c=(.r,y),

則"不一6=(X+2,)，-1),^+a-b\=yj(x+2)2+(y-\)2=>/5.

即(x+2)2+(y—l)2=5,則

Vd_2x

故問(wèn)品工在向最Z上的投影的數(shù)最為同cos?G

X(.V+2)2<5,所以-2-逐KXK-2+石,

所以向最2在向最￡上的投影的數(shù)最的最小值是-2-石.

故答案為：-2-V5.

例11.（2023?上海浦東新?上海市建平中學(xué)?？既＃┮阎橇闫矫嫦蛄?,b，2滿足：Z，B的夾角為:,

4

2-2與"—石的夾角為曰，,―4=&，卜―4=1，則加2的取值范圍是.

【答案】（（）,■!十舊

【解析】如圖:

由入B的夾角為：，工-￡與的夾角為當(dāng)可知：四點(diǎn)QAaC共圓,

44

由收一.=&,p_.=l得A8=&，BC=1,

AD叵_I

在A/WC中：.=.即〈in3花―sin/CAB

sinZ/.ACrBsinZ.CABsin—

4

所以sinNCAB='，所以NC44=巴，

26

由同瓠所對(duì)的圓周角相等，可得NCO8=m，

6

設(shè)NOCB=e,則4MC=2-e,

6

BCOBoc

在△O4C中:崛.

所以O(shè)B=2sin0,OC=2sin

=|同同cosNC08=08xOCxcos^uZsin〃x2sin（V一〃）出

X——

2

=25/3sin0—cos^+—sin^=>/3sin^cos^+3sin?G

22

百33

=，sin26-±cos2e+3

222

，、八5冗冗c八兀4冗

——,一一<2。一一<—,

6333

/.--<sin20——K1,<\Z5sin（26-百,

2I3；2I3）

.\0<>/3sinf2^--|+-<X/34--,

I3j22

則62的取值范圍是（（），|+G

故答案為：（og+6

例12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知平面向量癡夾角為?，且平面向量3滿足歸-a=k一閘=1,

傳一司收一行)=彳，記/"為/(/)=W+(IT問(wèn)(re/?)的最小道，則〃?的最大值是__________.

【答案】；3

【解析】設(shè)。乂=@，OB=b^OC=c^則43=*—萬(wàn)，BC=c-b,

依題意可知，AC=BC=\,N408=q,乙研/,故點(diǎn)。在△48C的外接圓M匕

BC

其半徑R=m為點(diǎn)。到直線AB的距離OH,

2sinZ.CAB-2sin30

13

顯然，當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/，處時(shí)，〃，有最大值,=2"。八2-57

3

故答案為：-

p

Q

變式14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知平面向量入心工滿足7萬(wàn)=-3,口-4=4,與的夾角

為不則『一I4的最大值為.

【答案】1+26

【解析】???>5=—3，|￡-q=P叫=&；_邛?4c；,=2,

如圖所示，設(shè)平面向量泊B，"都是以。為起點(diǎn)，終點(diǎn)分別是43C,

則平面向量?+五的終點(diǎn)N到。的距離為2,

設(shè)A3的中點(diǎn)為M,則|MM=1,，N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.

由c-a與c-B的夾角為（，「?點(diǎn)C在以為弦的圓周角為鼻■的優(yōu)弧上，

當(dāng)CMN共線，且CN在直線48的兩側(cè)，并且CM1A8時(shí)，QM最大,也就是卜-2-4取得最大值,

此時(shí)|CM|=26，|MV|二1，QN=1丁2百，

故答案為：1+26.

變式15.（2023?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知非零平面向量九務(wù),"滿足：￡

方的夾角為g,u與］坂的夾角為?，|［.=26,/一4=2,則32的取值范圍是

【答案】（0,6+4。］

【解析】如圖：

以點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量OA=ci，OB=b?OC=c>

則麗=￡-加BC=c-b>AC=c-a>

由"，A的夾角為g,U與1分的夾角為斗可知：四點(diǎn)。A8,C共圓,

由口一4=26，，-q=2得A4=2/,BC=2,

六ADC小ABBCH”.26二——?——

在AABC中：?/“.二?/C即公2乃sinZCAB

sin/.ACBsinZ.CABsin—

3

所以sinNCA8=1,所以NCA8=9，

26

由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得囁

設(shè)NOCB=e,則/。8。=蘭-，

6

BC二OBCC

在△OBC中:0；,、4sin。TT

sin—s.in(-5---0),

6U)

所以O(shè)B=4sin6,OC=4sin

G.c=慟慟cosZ.COB=OBxOCxcos—=4sin^x4sin|—x4

616,2

=8\/3sin^—cos6^+—sin6?>|=4V3sin^cos^+12sin20

122J

=2Gsin20-6cos2。+6=4石sin(2^-y1+6,

57r乃c八44萬(wàn)

,/0<<Z19<—,,/——<20——<—,

6333

7t,\-6<4^sinl26>--l<4V3,

23

.?.0<4>/3sin^2<9-y]+6<4^+6,

則航的取值范圍是僅，6+4何

故答案為：（。，6+46]

變式16.已知非零平面向量九人工滿足h-同=2,且（小步=o,若3與五的夾角為。，且8c

則總的最大值是.

【答案】3+6/6+3

【解析】根據(jù)題意，作圖如下:

令&=（雙6=?！闿=衣,

根據(jù)題意可得：|的=2,且/4。8=90。,

取A8中點(diǎn)為M,故|CW|二g|AB|=l,點(diǎn)。在以/W為直徑的圓M上運(yùn)動(dòng)；

顯然當(dāng)O,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，|因取得最大值，即函|皿=|叫+1；

不妨設(shè)三角形OAB的外接圓圓心為G,顯然GM_LA3,

在三角形。48中，由正弦定理可得：2\OG\=^~,即|OG|=」ze』U

11sin<9sin。63

故陷a=2,當(dāng)且僅當(dāng)。帶時(shí)取得，同時(shí)阿|皿=亞比口=5

顯然當(dāng)o,M,G三點(diǎn)共線時(shí)，|詞]取得最大值，

此時(shí)I的L=|OGL+|GML=2+b

故|西=3+73,當(dāng)且僅當(dāng)。=。，且O,M,G,C四點(diǎn)共線時(shí)取得.

IImax6

故答案為：3+G.

變式17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）平面向量6,反2滿足：［g的夾角為?，\a-b\=\b-c^\a-c\=2^,則幾工

的最大值為.

【答案】8+4//4?+8

【解析】設(shè)況=d，OB=b>0乙=*,則有|A昨|耐=|Ad|=2",/AOB=1,

設(shè)線段8C的中點(diǎn)為。，則麗=-反\|反|=百，

則鼠3=0從0己=（0）+0歷（0萬(wàn)+03）

=（Ob-DC）（OD+DC}

=OD2-DC=OD-3^

因?yàn)橐?08=（,|A萬(wàn)|=26，

|柏|二2一

所以“103的外接圓的直徑sin4OB一6，

T

所以點(diǎn)。的軌跡是過(guò)A、8且半徑為2的圓（除去A8兩點(diǎn)），記圓心為石，

當(dāng)。在圓E上時(shí)，|DE|=-x—X2>/3=H此時(shí)|O萬(wàn)|<2+1=3（。不能與A重合），

32

所以5?忑=益'-3<9—3=6，

當(dāng)C不在圓￡上時(shí)，^AEB=—,ZEBA=-f乂NABD=J

363

所以NQ4E=',所以|￡)E|==

所以|。方區(qū)2+",

所以〃1=0力’一34（2+近）2—3=8+4>/7，

故B々的最大值為8+4。.

故答案為：8+4萬(wàn)

變式18.（2023?廣東陽(yáng)江?高二統(tǒng)考期中）已知非零平面向量心5,^滿足忖一4=4,且伍=

若萬(wàn)與5的夾角為。，且〃e；，；，則？的模取值范圍是.

【答案】［2-百,36］

【解析】如圖1,令%=次，5=礪，守=反，則|麗|=4,取A8中點(diǎn)例.

次召=（由+麗?（而-麗=|可2-網(wǎng)2=|函I；］阿=,

所以|W1=3,即C在以M為圓心、6為半徑的圓上.

由忖=|。而+網(wǎng)，當(dāng)0、M、C三點(diǎn)共線時(shí)（加在線段℃上），同皿二|而|+6.

由于。在以A8為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G,

由正弦定理可知2國(guó)=g，即甌卜烹，。6方微

當(dāng)。時(shí)，圓G半徑|0G|取得最大值《后.

當(dāng)。、M、G三點(diǎn)共線（G在線段OM上），且6=1時(shí),

［OM］取得最大值，此時(shí)p而L=|礪|+|砒1=26,

所蚱L=|兩L+g=3?

如圖2,顯然當(dāng)。、M、C三點(diǎn)共線（點(diǎn)C在線段0M上），同加,=口必卜退

當(dāng)6=5時(shí)，圓G半徑|0G|取得最小值2.

\GM\==V22-22=0,即M、G兩點(diǎn)重合兩取得最小值為2.

則&二=時(shí)，同.=2-G.

O?\nun

故阿吊吃的模取值范圍是［2-6,3&］

故答案為：［2-6.3百］

變式19.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知平面向量入b>-若加卜W=|￡-0=1,且|2Z-4+|25+4=2后,

則產(chǎn)-彳的取值范圍是.

【答案】

【解析】由題意知：向量Z，否為單位向量，

rrr2r2rr__1

因?yàn)?。一〃?,所以。+耳-2ab=\,則〃力=5，

rr

r\ab1

所以cosva1>=麗=5,即2與辦夾角為60。.

如圖作向量5X=2G，OB=-2b^OC=c^

則網(wǎng)=2,畫(huà)=2,408=120°,NA=NB=30°,

因此J器卜74+4-2X2X2COSI20°=26,

則.一目+慳+相2￡_2葉2鼠4=同+同=26

所以倒+叵卜網(wǎng)，

故A,B,C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C在線段A3上，

則口-W的幾何意義表示線段OA的中點(diǎn)到線段AB上點(diǎn)的距離，

記線段。4的中點(diǎn)為O,過(guò)點(diǎn)D作DEJ.ABF點(diǎn)E,貝U|。目=|人。忖1】A=g,

\AE\=\AD\cosA=^-,所以忸同=|4B|-|AE|=￥，

因此忸D|=J|O目2+1附'=g+,=y/l,

由圖形可得，|。同＜￡—忸q,

所以卜一習(xí)的取值范圍為最近.

B

故答案為：；,五.

變式20.（2023?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄咳肴f(wàn)滿足時(shí)咽=1,且力=0,

若向量2滿足『+2+4=1，則口的最大值為.

【答案】V2+1/1+V2

【解析】因?yàn)閆4=0,所以Z_L譏

又同=W=1.|c+a+S|=|5+^-（-c）|=l,

如圖，向量々的終點(diǎn)在以A點(diǎn)為圓心I為半徑的圓上，

乂|CZA|=J（G+Z?）=＞ld2+2ab+b2=41，

所以卜a的最大值為亞+1,即口的最大值為五+i.

故答案為：＞/2+1.

變式21.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知向量入萬(wàn)，2滿足0-3+?|=正|4=人，萬(wàn)一2與Z的夾角為弓，則

口的最大值為.

【答案】2&

【解析】因?yàn)閨［一萬(wàn)+引=忘14=啦，所以B-6+4=&,w=i.

設(shè)SX=B-￡，詼=■，oc=c^則2=麗，

b-a-c=OA-OC=CA，圈=1,同=應(yīng).

因?yàn)槲濉昱c￡的夾角為乃，所以NOAB=f,

44

2-I。陰一1_歷

△38的外接圓的直徑為：'"一sinNAO8一.彳一W

sin一

4

則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是半徑為正的圓。中的優(yōu)?。ú缓c(diǎn)。，8）,

2

rh|cX|=>/2,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以A點(diǎn)為圓心、半徑為行的圓，如圖，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)。，D,A,C四點(diǎn)共線，且C在線段04的延長(zhǎng)線上時(shí)，|反|最大，且最大值是2人,

故H的最大值為2&.

故答案為：2&

變式22.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：a-h=5,向量；與向量了的夾角為,

；二=2叢,向量:二與向量"的夾角為與，則:+，的最大值為.

【答案】60

【解析】

B

C

O

如圖所示,設(shè)&/，

所以。力二|啟|=5,a-c=|CA|=2x/3,

因?yàn)橄蛄?與向量了的夾角為g，向量與向量的夾角為弓，

所以乙404=工,NAC4=」，所以NAO3+/4c3=用，

33

所以0,48,。四點(diǎn)共圓.

2后_5.八》「一3

在△A8C中，由正弦定理得AABC=二不

sinsin—