§6.1數(shù)列的概念

【課標要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.2.了解數(shù)列是自變量為正整

數(shù)的一類特殊函數(shù).

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

如果數(shù)列僅〃｝的第〃項d?與它的序號〃之

通項公式間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那

么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)

遞推公式系可以用一個式子來表示，那么這個式子

叫做這個數(shù)列的遞推公式

把數(shù)列｛?。龔牡?項起到第〃項止的各項

數(shù)列｛如）的

之和，稱為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，記作

前n項和

SH,即5產(chǎn)。1+〃2+…+小

2.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列aw+i>67,i

其中

遞減數(shù)列

項與項an+\<an

常數(shù)列

間的大a^\=an

小關(guān)系從第二項起，有些項大于它的前一項，有些

擺動數(shù)列

項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛〃〃）是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號〃，對

應的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項記為a?=J（n）.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“4”或“X”）

⑴數(shù)列1,2,3與3,2,I是兩個不同的數(shù)列.（1）

（2）數(shù)列1,（）,1,0,1,（）,…的通項公式只能是〃行1+（；）計）（x）

（3）任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（x）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.（Y）

2.傳說占希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用小石子來研究數(shù).如圖中的數(shù)1,5,12,22,…稱為五邊形數(shù)，則

第8個五邊形數(shù)是.

答案92

解析751=4,125=7,2212=10,

???相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3,

???第5個五邊形數(shù)是22+13=35,第6個五邊形數(shù)是35+16=51,第7個五邊形數(shù)是51+19=70,第8個五邊

形數(shù)是70+22=92.

3.已知數(shù)列｛?！保凉M足a1=I,atl=n+alt\（n22,〃￡N"）,則alt=.

解析數(shù)列｛〃〃｝滿足。尸1,,

可得＜71=1,

42al=2,

alta,,\=n,

以上各式相加可得。產(chǎn)1+2+3+…+〃=的產(chǎn)（〃?2）,

又a\=\符合該式，所以白產(chǎn),+】）

2

4.已知數(shù)列｛a”｝的前〃項和為Stl,且Slt=n4n+1,則an=.

冬安（-2,九=1,

。案l2n-5,n>2

解析當n=\04,a\=Si=2；

22

當時,an=SwSMi=n4/i+1[(n1)4(w1)+1]=2n5.

因為當〃=1時，不滿足斯=2〃5,

所以％

(2n-5,n>2.

1.靈活應用兩個常用結(jié)論

⑴若數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S〃，則?！?晚晨1'一…讓

(On—3n-l?>Z,ntIN.

⑵在數(shù)列｛詼｝中，若。〃最大，則若?！弊钚?，則：丁*；"—I'〃22,〃￡1<.

(Gn—Q?i+1，(Qn—0n+l，

2.掌握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

由于數(shù)列可以看作一個關(guān)于的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質(zhì)：

⑴單調(diào)性——若。用>斯，則｛斯｝為遞增數(shù)列；若知+1<如，則｛?。秊檫f減數(shù)列，否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列

(alt+i=an).

(2)周期性——若。松二4仆為非零常數(shù))，則｛〃”｝為周期數(shù)列，k為｛m｝的一個周期.

題型一由?！ㄅcS”的關(guān)系求通項公式

例1(1)(2025?漳州模擬)已知各項均不為。的數(shù)列｛%｝的前〃項和為工，若3s尸為+1,則也等于()

a7

A.-B.B-C.-D.-

2323

答案A

解析因為3Sn=an+l,則3s/尸加+1,

兩式相減可得3斯+尸。/以”，

即2凡+產(chǎn)斯，

令n=7,可得2as=ai,

且如W0,所以強="

072

n

(2)已如數(shù)列｛〃”｝滿足￡總,則。2025等于()

k=1"

A.2025B.2024C.4049D.4050

答案C

解析由題意可得3+善+§+…+￡=〃+1,①

35

當n=l時，。產(chǎn)2;

故aH-ln,

an2n2\nJ2

又產(chǎn)x+3在（1,3）上單調(diào)遞減，在（3,+8）上單調(diào)遞增，

故當〃=3時，〃J取得最小值，即當〃=3時，包絲取得最小值.

nan

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

命題點I累加法

例2（2025?常德模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足。=1,ag+\=2"anan+\,則an=.

解析若即尸0,則如以肝1=0,

即a?=a?+i=0,這與6/1=1矛盾，所以為+芹0,

由1必+1=2%而“+[,兩邊同時除以“〃”+1,

得」一上二2",

an+tan

貝口」-二2山，

ancn-l

—---=2n2,

an-lan-2

。2Qi

上面的式子相加可得工—=2+22+23+…+2"「2（13-】）=2“2（〃22）,

an的1-2

所以斯4T（〃22）,

又0=1符合該式，所以。，尸

命題點2累乘法

例3若數(shù)列｛?！ǎ凉M足4尸12,。I+2。2+3〃3+?,?+〃4“=〃"，則42025=，

答案—

675

解析因為。]+2。2+3。3+…+〃?！?八2斯，①

所以“1+2〃2+3〃?+,,?+〃〃”+(〃+1)〃”+1=(〃+1)%”+1,②

ann+1

所以斯二巴里幺?…?旦勾尸人之義女…X0義12=—(/?>2),

Sa2a3an-i234nn

又0=12也符合，所以a=—,

nn

所以。2025二士.

O/D

思維升華(1)形如。1以=?〃)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列｛〃”｝的通項公式.

(2)形如&±1=A〃)的數(shù)列，利用累乘法，即可求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式.

un

跟蹤訓練2(1)己知數(shù)列｛〃”｝中，t/i=l,〃a“+i=2(ai+a2+…+a”)(〃￡N')，則數(shù)列｛。“｝的通項公式

為.

答案an=n

解析,.?〃4"+尸2(。1+42+~+?！?，①

???當”22時，(〃1)0尸2(。1+。2+…+冊1),②

①②得nan+\(n\)an=2an,

即〃。仆產(chǎn)(〃+1)斯，

?限1，+1

/.a=a\'—...-^-=1X-XX-^—=n,

n。八一11H-1

當〃二1時，結(jié)論也成立.

an=n.

(2)(2024?鹽城模擬)凸五邊形有5條對角線，那么凸〃+2(〃22)邊形的對角線條數(shù)為()

An(n-2)Bn(n+2)

,2,3

C(71+2)5+1)D(九-2)(n+2)

?2?2

答案D

解析凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，

則得到在凸”+1(〃23)邊形的基礎上，多一個頂點，則多〃條對角線，

設凸〃+2邊形有川?+2)條對角線，

所以加+2次〃+1尸〃，

則外求4）=3，火6加5）=4，…，%+2次〃+1）=〃，

累加得火〃+2求4尸3+4+…+〃,

貝1以〃+2）=2+3+4+…+〃二”平巨，〃23,

當n=2時，式4）=2也滿足此式,

所以加+2）」“一警+2）,心2.

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點1數(shù)列的單調(diào)性

例4（2024?阜陽模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足“尸2川+筋（2七R）,則“｛〃〃｝為遞增數(shù)列”是020”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由｛?。秊檫f增數(shù)列得，為+M=[2（〃+1）2+”〃+1）]（2〃2+加尸7+4〃+2>0,〃￡N*,

則回4〃+2）對于〃￡N‘恒成立,得拉6,可得注0=4>6,反之不成立.

命題點2數(shù)列的周期性

例5（2025?孝感模擬）在數(shù)列｛〃〃｝中，0=2,""+尸"』，則數(shù)列｛?。那?025項的積為（）

A.IB.B2C.C3D.-

2

答案A

解析因為。必+產(chǎn)。”1,斯W0,

所以<7W+|=1--,

又0=2,則6/2=|?3=；,04=2,

所以數(shù)列｛斯｝的周期為3,且41a2〃3=1,

設數(shù)列伍〃｝的前〃項積為Tn,

則T1025=（/1aiay????2025=（1）675=1.

命題點3數(shù)列的最值

例6數(shù)列｛兒｝滿足瓦尸苗，則當“時，兒取最大值為.

答案41

.?.I_3H-43n—7^10-3n

解析方法一9

?-2rl2"一T一―2^-

，當〃W3時，乩+|＞乩，｛"｝單調(diào)遞增，

當〃24時，b,^<bn,{>}單調(diào)遞減，

故當11=4時，SJnax二仇

O

3n-73n—4

E；￡o

(2〃一1-2n-2'

解得,

又“EV,???〃=4,

故當〃=4B寸，S”）max=〃4=W

O

思維升華（1）解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項，明定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

（2）解決數(shù)列的單調(diào)性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號判斷數(shù)列｛〃”｝的單調(diào)性.

跟蹤訓練3（1）（2024?周口模擬）在數(shù)列｛m｝中，0=1,s=5,a”+2=a“+S（〃￡N"）,則S025的值為（）

A.5B.B5C.4D.D4

答案C

解析因為。尸1,6/2=5,4〃+2=4〃+l%(〃￡N')，

所以。3=。2。1=4,出=。3。2=1,但。4"3=5,。6=々5。4=4,。7=。必=1,。8=。7。6=5,

故數(shù)列伍“｝的周期為6,

所以H2025=?6X337+3=￡？3=4.

（2）已知數(shù)列僅〃｝的通項公式為為=桁2〃2,若｛以｝為遞增數(shù)列，則〃的取值范圍為（）

A.(l,+8)B.(0,+00)

C8+8)D8+8)

答案D

2

解析an=knnl,若｛小｝為遞增數(shù)列，

則4"+1>4](〃七N),

有網(wǎng)，;+1)2。?+1)2>履2〃2(〃￡1<),

解得吃白"GN)，

則Q島)max(

當”=1時，島)m/，所以嗎，

則&的取值范圍為+00).

課時精練

［分值:90分］

I。知識過關(guān)

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

I.觀察數(shù)列1,In2,sin3,4,In5,sin列7,In8>sin9>,,,>則該數(shù)列的第12項是()

A.l212B.12C.lnC12D.sinD12

答案D

解析通過觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項是按正整數(shù)順序排列，且3個為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第12項

是sin12.

2.已知數(shù)列｛an］的前n項和為S”,若S尸〃21,則俏等于()

A.5B.5C.7D.8

答案B

解析因為5?=W21,

所以。3=S3s2=(321)(221)=5.

3.已知數(shù)列｛〃”｝的項滿足知+［=*卬，且0=1,則?！暗扔?)

22

A際BE

CD-^―

2n-l2n-l

答案B

a-i_n-2a_n-l

解析由麗尸小/，得皿二w,所以等彳，詈乏，,qn.1n'I(〃22)，所以

a

n+2ann+2at3a24a35n-2n'an_!n+1

空色.幺.….％i.工2*2x2x…,所以@二丁入,因為〃尸1,所以a,尸又因為a\=\滿

aa

。2。3n-2n-i345nn+1a1n(n+l)n(n+l)

足上式，所以廿品.

4.已知數(shù)列｛〃〃｝的通項“尸合，則數(shù)列｛?。械淖畲箜椀闹凳牵ǎ?/p>

心+90

A.3V10B.19D警

答案C

解析令/W=A+y(A>0),

運用基本不等式得人處》6圓,

當且僅當下3g時，等號成立.

因為斯二;碟,〃￡N’,所以向〈舟,

所以當n=9或n=10時，。產(chǎn)得最大.

5.已知數(shù)列｛a”｝滿足a1=1,硒/i=nanan+1￡N"),則?！暗扔?)

.n2+nn2-n+2

A.------D.------------

22

2D.^—

C.

n2+nn2-n+2

答案D

解析易知a“W0,由題意，得一匚三二〃,

an+ian

則當時，——=/?!,—--—=n2，…，--=1,

即Qn-iQn-1一2。2

以上各式相加得

工三=1+2+…+(山尸也/(〃22),

QnQi2

所以工二照41=七絲￡,

a”22

即Ci?=2(n^2),

nz-n+2

當〃二1時，?1=1適合此式，

所以a?=2

nz-n+2

6.(2025.江門模擬)物理學家法蘭克?本福特提出的定律：在〃進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的

概率為乩5)=logJ^.應用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.若

80?

EP1°S)二則A的值為()

n=k

A.7B.8C.9D.10

答案C

80

解析SP10(n)=Pio(/r)+Pio(Jt+l)+-+Pio(80)=lg鋁1g寢+…+位需3v,

KK~rloUK

n=k

lg8141g3

畔鬻潸戶g3睦9,故"9.

lg2Ig2

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

7.已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和公式為S,尸煮p則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛m｝的首項為

B.數(shù)列｛〃“｝的通項公式為“尸丁；

n(n+i)

C.數(shù)列｛的｝為遞減數(shù)列

D.若數(shù)列｛SJ的前〃項積為力”則■=；

答案ABC

解析對于A,數(shù)列｛?。氖醉棡棰?S二★§,故A正確；

對于B,當心2時，『羔后而%,陪適合上式，故B正確；

_1_______1_2

對于C,因為<0,所以數(shù)列m”｝為遞減數(shù)列，故c正確；

(n+2)(n+l)n(n41)(n+2)(n+l)n

對于D,〃乏義仝:義…乂上尸之，所以數(shù)列｛￡｝的前〃項積7；尸」7，故D錯誤.

234n+1n+1n+1

8.己知數(shù)列｛an］的前〃項和為S,”且5〃斯=(〃1)2,?！?等，則()

A.Sn=n2

B.an=2〃

C.數(shù)列｛兒｝是遞減數(shù)列

D.數(shù)列｛兒｝的最小值為警

81

答案AD

解析-：an=SMn^2),

，SM"=s〃i,則s〃i=（m）2,

即s尸"（〃￡N*）,

.*.?i=l,當〃22時,斯=〃2（〃I）2=2*],

又?i=l滿足上式，，斯=2〃I（〃￡N"）,故A正確，B錯誤；

?2n-i22n+i

易知bt,X）,??》”二■，兒+產(chǎn)

5+1）4'

智二高二（翟；當暮I時—屆,

.,?當IW〃<3時，兒>力”+1,當〃23時，><"+】，

，數(shù)列｛兒｝不是遞減數(shù)列，且當〃二3時，兒取得最小值告，故C錯誤，D正確.

81

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.已知數(shù)列｛勾｝滿足4產(chǎn)〃2刖，〃￡N*,數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列，試寫出一個滿足條件的實數(shù)％的

值：

答案1（2取滿足2<3的任意一個實數(shù)值即可）

解析因為數(shù)列僅“｝是遞增數(shù)列，且%=濟，則5%,

即（〃+1）%（〃+1）>rrkn,

整理可得2〃+匕>0,即2<2〃+1,

因為“WN*,即心1.

所以2〃+123,所以Z<3.（2取滿足衣3的任意一個實數(shù)值即可）

10.九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.現(xiàn)假設

有〃個圓環(huán)，用即表示按照某種規(guī)則解下〃個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，且數(shù)列｛m｝滿足。尸1,s=2,

斯=%+2M（心3,〃WN"）,則解開九連環(huán)最少需要移動次.

答案341

nl

解析由題意，an=a?2+2,

故a3al=22,

a5a3=24,

加3=22n2

以上各式相加，可得儂M=22+24+…+2==4442+…+平，

HPa2\=1+41+42+???+4M1,

n1—43

所以按規(guī)則解開九連環(huán)最少需要移動的次數(shù)為圖=?=341.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知數(shù)列｛〃”｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和為S”，且滿足⑺=1,a”+i=2jT+l.

（I）求公的值；（5分）

（2）求數(shù)列｛斯｝的通項公式.（8分）

解,（ln+\=2yfS^+\,

a2=2yfs[+1=2\/a[+1=3.

（2）方法一由。/產(chǎn)2/^+1,

得S〃+S=2醫(yī)+1,故工+尸（何+1尸.

,**,?**S”>0,***J5n+i=J+1,

即JSn+i,

則底后；=1（〃22）,

VSn-lVSn-2=l，…，疝店二]，

由累加法可得+（〃1）=〃,

2

.\Sn=w（/i^2）,

又Si=ai=l,滿足上式,.'.Sn=n2.

2

當〃22時，an=SnSn\=r^（n1）=2?1,

又0=1適合上式,?.a?=2n\.

方法二由an^\=2y[S^+\,

得（Wil）2=4S〃，

當〃22時，（知1）2=4S“I,

工（即11）2（。〃1）2=4（SaS〃]）=4而

，成+iW2al+12〃產(chǎn)0,

即（。間+4）（4汁1冊2）=0.

an>0，，m+1?！?2(〃22).

又".,62?1=2,

???(〃〃｝為等差數(shù)列，且公差為2,

，+(〃1)X2=2〃1.

12.(15分)已知各項均不為0的數(shù)列｛內(nèi)｝的前〃項和為S”,且。尸1,S尸皿F

4

(I)求團〃｝的通項公式；(6分)

(2)若時于任意n?N“，恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.(9分)

解⑴因為數(shù)列｛冊｝的前〃項和為￡,

且所1,工二為巴呼’里,即4sm/向+1,

4

當〃22時，可得4sqi,

兩式相減得4?！?。"(4〃+14”)，

因為斯#0,故an+iani=4,

所以a\,〃3，…,ci2n\,…及az,ax，…，。2”，…均為公差為4的等差數(shù)列，

當72=1時，由0=1及S]=+1,解得曲=3,

4

所以儂產(chǎn)1+4(〃1)=2(2〃1)1,a2rt=3+4(〃1)=2X2〃1,

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為an=2n\.

⑵由⑴知的二2〃1,

可得加生跑3二7，

4

因為對于任意，2U2S”恒成立，

所以恒成立，

設3$則如也二喘子二嘴J

當1或<〃<1+或，即〃=1,2時，

bn+lbn>0,bn<bn+l,

當n>]+y/2,即,〃￡N"時，

bn+lb”<0,〃〃>〃”+],

所以加</?2<例>兒>打>…，

故（"Jmax-q,所以以，

即實數(shù)2的取值范圍為分+00）.

10能力拓展

每小題5分，共10分

13.（2024?武漢模擬）在研究多光束干涉在薄膜理論中的應用時，用光波依次透過〃層薄膜，記光波的初始功

率為A,記4為光波經(jīng)過第々層薄膜后的功率，假設在經(jīng)過第&層薄膜時，光波的透過率或-各一4，M

Pk-i2K

中hl,2,3,…，小為使得號222必，則〃的最大值為（