條件概率

知識與方法

1.條件概率的概念

條件概率揭示了P(A),P(AB),P(8|A)三者之間“知二求一”的關(guān)系

一般地，設(shè)A,8為兩個防機(jī)事件，目尸(A)>0,我們稱A)=￡翳為在事件A發(fā)

生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2.條件概率的性質(zhì)

設(shè)P(A)>0,則

⑴P(Q|A)=1；

(2)如果〃與。是兩個互斥事件，則P((BuC)|A)=P(8|A)+P(C|A)；

(3)設(shè)事件A和8互為對立事件，則P(BlA)=\-P(0A).

典型例題

1.在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是。60.7和05,

且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級

的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級的概率為()

A15c7-5c17

A.—B.-C.-D.—

298829

【答案】A

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式計算得解.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件ASC,三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)

秀等級為事件D,

P(A)=0.6,P(3)=0.7,P(C)=0.5,

P(D)=P(ABCuABCuABC)=P(ABC)+P(ABC]+P[ABC)

=0.4x0.3x0.5+0.4x0,7x0.54-O.6xO.3xO.5=0.29,

P網(wǎng))=P(ABC)+P(ABC)=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

故選：A.

2.我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分

別從“太湖建頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖〃這

6個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個景點(diǎn)游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖建頭

渚”，事件8為“兩位游客選擇的景點(diǎn)相同〃，則P（3|A）等于（）

12I2

A.—B.—C.—D.

II1199

【答案】A

【分析】利用條件概率公式即可求得P（8|A）的值.

【詳解】由題意，知P（A）=華等=整/（48）=，=上，

6x6366：＜636

所以"四）=需壬

故選：A.

3.湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉

郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州“綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)

校從萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選

擇?條線路去研學(xué)，記事件4為“甲和乙至少有?所學(xué)校選擇萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基

地"，事件8為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則尸（研4）=（）

1431

A?—B.-C.-D.一

5544

【答案】B

【分析】利用古典概率求出事件AA〃的概率，再利用條件概率公式計算即得.

【詳解】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗(yàn)有32個基本事件，

事件A含有的基本事件數(shù)是2x2+1=5,則P（A）=|,

4

事件A4含有的基本事件數(shù)為2x2=4,則P（A8）="

所"⑻鬻咚

故選：B

4.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加

一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件"甲參加跳高比賽"，事件8="乙參加跳

高比賽"，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則()

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與。為互斥事件

C.P(C\A)=^D.P(B\A)=L

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出尸(A)，P(/3)，P(A4),P(4C),由互親事件的定義、相互獨(dú)立事件的判

定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可

里C.A；=36不同的安排方法,

【詳解】對于A,每項比賽至少一位同學(xué)參加，則有

事件4="甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有A；=6種方法；

若跳高比賽安排1人，則有C；C；A；=6種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法

121121

共有6+6=12種，則==同理2(8)=*=：；,

363363

若安排甲、乙同時參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安

71

排1人，有A；=2種不同的安排方法，所以P(A8)=W=5，

3618

因?yàn)镻(AB)工P(A)P(B),事件4與8不相互獨(dú)立故A錯誤；

對于B,在一次試驗(yàn)中，不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時

發(fā)生，故事件人與C不是互斥事件，故B錯誤；

對于C,在安排甲參加跳高比賽的同時安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有C；+C；=5

5

種，所以P(AC)=V，所以尸([4)=萼?=孕=2,故C正確；

36尸(A)_12

3

1

「1

P(AB)18-故D

一-

對于D,16

咿同=P(A)

3-

故選：C

5.標(biāo)有數(shù)字1,234,5,6的六張卡片，卡片的形狀、質(zhì)地都相同，從中有放回地隨機(jī)抽取兩

次，每次抽取一張，A表示事件”第一次取出的數(shù)字是3"，A表示事件“第二次取出的數(shù)字

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝概率是0.5,小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率

是0.4,那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.5

【解析】解：設(shè)事件A表示“小智第一盤獲勝”，則尸：A）=0.5,

設(shè)事件8表示“小智第二盤獲勝”,則尸（A5）=0.4,

.??小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是:

還="=08

P(B|4)=

P(A)0.5

故選：A.

2.某種燈泡的使用壽命為2000小時的概率為0.85,超過2500小時的概率為0.35,若某個

燈泡已經(jīng)使用了2000小時，那么它能使用超過2500小時的概率為（）

A,巴D-焉

20

【解析】解：記燈泡的使用壽命為2000小時為事件4,超過2500小時為事件“,

則w）二需嘿得

故選：B.

3.甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制（無平局），甲在每局比賽

中獲勝的概率均為|,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三

局的概率為（)

?2D.±

AB.-C.

-I535

2I2I2220

【解析】解:由題意,甲獲得冠軍的概率為+—X-X—+—X—X—=-----,

33333327

?I0I7?

其中比賽進(jìn)行了3局的概率為』+8

33333327

.?.所求概率為導(dǎo)9|,

故選：B.

4.盒中有10個零件，其中8個是合格品，2個是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1

個.已知第一次抽出的是合格品，則第二次抽出的是合格品的概率是（）

A.\

B-?D-5

【解析】解：第一次抽出的是合格品，則還有9個零件，其中7個為合格品，

故第二次抽出的是合格品的概率是？，

9

故選：C.

5.現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩

名醫(yī)生性別相同”，8表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P(A|4)=()

A.-B.-C.-D.-

3734

【解析】解：由題意可得：事件力基本事件數(shù)，仁+。；=9；

事件8的基本事件數(shù)，C；=3；

71

所以P(8|A)=j=

故選：A.

6.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件4為“4個人去

的景點(diǎn)不完全相同”，事作8為“小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”，則P(4|A)=()

A3R45D6

7777

【解析】解：小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)，則有4個景點(diǎn)可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景

點(diǎn)中選擇,可能性為3x3x3=為種

所以小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)的可能性為4x27=108種，

因?yàn)?個人去的景點(diǎn)不相同的可能性4,-4=252種,

所以。⑹㈤二受4

故選：A.

7.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回的逐一取球,

已知在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為-.

-5-

【解析】解：口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，

甲從中不放回的逐一取球，設(shè)事件A表示“第一次取得紅球”，事件8表示“第二次取得紅

球”,

212II

P(A)=—=—?P(AB)=—x—=—,

636515

.??在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為:

P(8|A)=^^=￥=L

P(A)15

3

故答案為：

5

I33

8.已知P(8|4)=5，P(AB)=記，則。(A)=_-

17

【解析】解：??P(8M)=—，P(A8)=—,

210

3

P(A8)二1。二3

：.P(A)

2

故答案為：--

5

9.籃子里裝有2個紅球，3個白球和4個黑球.某人從籃子中隨機(jī)取出兩個球，記事件A=

“取出的兩個球顏色不同"，事件"=“取出一個紅球，一個白球”，則P(8|A)=_2_.

【解析】解i(A”「空野端,

尸(他=等;

C96

P(A8)=3

P(6|A)=

P(A)-T3

故答案為：

13

10.某種疾病的患病率為0.50,患該種疾病且血檢呈陽性的概率為0.49,則已知在患該種疾

病的條件下血檢呈陽性的概率為0.98.

【解析】解：設(shè)事件A表示“患某種疾病”，設(shè)事件8表示“血檢呈陽性”，

貝I」?(A)=0.5,P(AB)=049,

二.在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為：

P⑷e還="=0.98.

P(A)0.5

故答案為：0.98.

11.已知口袋中有2個白球和4個紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩次，每次抽取1個.

(1)若采取放回的方法連續(xù)抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；

(2)若采取不放回的方法連續(xù)抽取兩次，求在第?次取出紅球的條件下，第二次取出的是

紅球的概率.

【解析】解：（1）放回抽取，每次取得白球的概率均為47=上1，

63

所以兩次都取得白球的概率P=」.

339

（2）記“第一次取出的是紅球“為事件A,“第二次取出的是紅球”為事件8,

則P（A）="=2,P{AB）=—=-,

6x536x55

利用條件概率的計算公式，可得p（0A）=￡幽=2x2=3.

P（A）525

12.某校從學(xué)生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動.

（1）求男生甲被選中的概率；

（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；

（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.

【解析】解：（1）從6名成員中挑選2名成員，共有15種情況，記“男生甲被選中'’為事

件A,事件A所包含的基本事件數(shù)為5種，故P（A）=」.

3

（2）記“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件3,則P（/W）=七，由（1）

知P（A）=1,故P（B|A）=^^=L.

3P（A）5

（3）記“挑選的2人一男一女”為事件C,貝l」P（C）=V，"女生乙被選中”為事件8,

13.某保險公司開設(shè)的某險種的基本保費(fèi)為I萬元，今年參加該保險的人來年繼續(xù)購買該險

種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的下一年度的保費(fèi)與其與本年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

本年度出險01234..5

次數(shù)

下一次保費(fèi)0.8511.25L51.752

（單

位：萬

元）

設(shè)今年初次參保該險種的某人準(zhǔn)備來年繼續(xù)參保該險種，且該參保人一年內(nèi)出險次數(shù)的概率

分布列如下:

一年內(nèi)出險01234..5

次數(shù)

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求此續(xù)保人來年的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率.

(2)若現(xiàn)如此續(xù)保人來年的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.

(3)求該續(xù)保人末年的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

【解析】解：(1)設(shè)出險次數(shù)為事件X,一續(xù)保人本年度的保費(fèi)為事件A,

則續(xù)保人本年度保費(fèi)高于基本保費(fèi)為事件C,

則2(C)=P(A>a),P(C)=P(x=2)+P{x=3)+P(x=4)+P(x..5)

=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.

(2)設(shè)保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%為事件B,

小〃-P(BC)P(x=4)+P(x=5)0.1+0.053

P(C)P(C)0.55II

(3)平均保費(fèi)=0.85x0.30+0.15+1.25+5x0.20+1.5x0.20+1.75x0.10+24x0.05

=0.255+0.15+0.25+0.3-0.175+0.1=1.23,

???平均保費(fèi)與基本保費(fèi)比道為1.23.

14.某校準(zhǔn)備從報名的7位教師(其中男教師4人，女教師3人)中選3人去邊區(qū)支教.

(I)設(shè)所選3人中女教師的人數(shù)為X,求X的分布歹J及數(shù)學(xué)期望；

(H)若選派的三人依次到甲、乙、丙三個地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女

教師的概率.

【解析】解：(【)X的所有可能取值為0,1,2,3,

且尸(X=0)=痔=4，P(X=1)=警嗡"X=2)=警考,P-3吟

DO

所以X的分布列為:

X0123

P418121

35353535

口…、八4?18、12rl9

故E(X)=0x—+1x----1-2x-----F3x—=一…(6分)

353535357

(II)設(shè)事件A為“甲地是男教師”，事件3為“乙地是女教師”,

eClA24CCC2

則P(A)=，^=一，P(AB)=45=-

C7耳7

所以P(8|A)=±辿」.…(12分)

P(A)2

15.甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一

道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分

別為3,2」，乙隊每人答對的概率都是2.設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用

4323

4表示中隊總得分.

(I)求g=2概率：

(II)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

【解析】解：(I)P((^=2)=—x—x—+—x—x—+—x-x—=—；...(4分)

43243243224

(II)設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件8則

尸(A)=(xC；f|)3+^xC；c|)2xg+；xC；(令X(；)2=；.

ioI1

P(AB)=-XC?(-)X(-)2=_,

1

二.P(8|A)=^^=畢,…(12分)

P(A)16

3

16.甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道

必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得。分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為

弓，3,乙隊每人答對的概率都是設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，兒€表

示甲隊總得分.

(I)求隨機(jī)變量J的分布列及其數(shù)學(xué)期望4G；

(II)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

【解析】解：(I)由題設(shè)知g的可能取值為0,1,2,3,

3211

=0)=(1--)(1--)(1--)=—，

43274

32132I30II

P(^=l)=^(l--)(l--)+(l-^)x-x(l--)+(l-^)(l-^)x-=-

4324324324

321321321II

P(^=2)=-x-x(l--)-x(l--)x-(l--)x-x-=—,

432+432+43224

P(<J=3)=2x-xl=l,

4324

??.隨機(jī)變量J的分布列為：

00123

P1\_II]_

244244

數(shù)學(xué)期望E(g)=Ox-!-+l，+2xU+3xL^

24424412

(II)設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件8,

則P(A)=-jxC^x(-|)3+^-xCjx(^)2x(l-^)+ix(^x^x(l-^)2,

I221

尸(AB)=±xC；x-x(l--r=—,

433318

1

P⑷止還=乎」

P(A)16

3

17.市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,

乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,若用事件A、Z分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，用3表示產(chǎn)品為

合格品.

(1)試寫出有關(guān)事件的概率；

(2)求從市場上買到一個燈泡是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率.

【解析】解：(1)依題意，P(A)=70%,P(Q=30%,

P(8|A)=95%,P(B|A)=80%