云南省文山壯族苗族自治州2024-2025學年高二上學期期末

測試數(shù)學試卷

第I卷（選擇題，共58分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合4f一21<。},B={-2,0,l,3)則Af|S=(

A.{0,1}B.{-2,0,1}

C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

【答案】C

【解析】由丁一2上一8<0,可得一2cx<4,即人=(-2,4),

因5={-2,0,1,3},則408={0,1,3}.

故選：C.

2.己知復數(shù)2滿足22—212—1=0，則1二()

A.-lB.IC.iD.-i

【答案】D

【解析】因為i2=一1，所以z2—2iz—I=z2—2iz+i2=(z—i『=o,

所以z=i，z=-i.

故選：D.

3.拋物線y=2x2的焦點坐標是()

A-(別卜加c(*)

【答案】c

【解析】由y=2/化為標準方程得/=；）,,開口向上,

則2〃二一,即〃=一,

24

所以y=2/的焦點坐標是

故選：C.

4.空間直角坐標系中，已知向量〃=（3,2,2—〃/?=（〃?,9,一3）,若〃工人，則陽二

)

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】由a_L可得々6=0,

即3〃?+2x9—3(2—m)=0,解得〃？=一2.

故選：A.

22

5.若雙曲線［一與=1（。>0,b>0）的實軸長為4,焦距為46，則該雙曲線的漸

a~b~

近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±42x

1歷

C.y=±—xD.y=±——x

22

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知2a=4,即可得。=2,且2c=4百，即C=2J5；

因此可得尸=。2-/=12-4=8，可得〃=20；

再由漸近線方程），=±23可得該雙曲線的漸近線方程為=土歷.

a

故選：B.

“\f（^-2）x+5,x<1/、/（X.）-/（%,）

6.已知J在（-A”）上滿足△"豆一二口」<0,則實數(shù)〃的

—cix~+后XN1Xy-x.2

取值范圍為（）

A.（0,2）

~24

C.任，2）D.

【答案】B

【解析】由/（工）在（-00,”）上滿足一"，）<0可得/（X）在（YO,y）上單調(diào)遞

X\~X2

。一2<0

-a<0

,解得gwa<2；即實數(shù)。的取值范圍為1,2

減；所以需滿足，1<1

-2a~

a-2+5>-a+\

故選：B.

7.已知長方體ABC。—4耳。1。的體積為16,且A&=2,則長方體A8CO—4出￡2

外接球表面積的最小值為()

A20小B.監(jiān)

A.--------71C.20兀D.IOOTI

33

【答案】C

【解析】設AB=dAO=〃，由長方體ABC。—的體積為16可得:

2必=16,即〃。=8,

長方體ABCD-ABCR外接球的半徑為2『=J/十加十4,

,2x8+4

所以,.=1吐產(chǎn)之舊詈==舊,

當且僅當“。=〃=2及”時取等，所以％n=6.

當r=6，長方體ABC。-4gGA外接球表面積的最小值為4兀產(chǎn)=20兀.

故選：C.

8.己知點0(0,0),點P滿足|PO|=1,則點P到直線XT沖-3=0的距離的最大值為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】如圖，因點。滿足歸。|=1,則點。的軌跡為以點。為圓心，半徑為1的圓，

又直線l:x-my-3=0經(jīng)過定點(3,0),

由圖知，要使點。到直線工一"-3=0的距離最大，只需使圓心。到直線/的距離最大,

即當且僅當/J_“軸時.點P到直線工-，町」3=。的距庚最大，為3+1=4.

A.當r=1時，圓G與圓有2條公切線

B.當〃=2時.，），=1是國G與圓G的一條公切線

C.當尸=3時，圓G與圓相離

D.當廠=4時,圓G與圓的公共弦所在直線的方程為）'=一1+1

【答案】BC

【解析】由題可知圓心C（o,o）,半徑q=l,圓心。2（3,3）,半徑廣；

故兩圓圓心距為|GG|=3五，

對于A,當/=1時，|。6|=30>r+1,此時兩圓相離，故圓a與圓G有4條公切

線，即A錯誤；

對于B,當廠=2時，y=l是圓G的切線，

又圓心G（3,3）到y(tǒng)=l的距離為d=2=r,即圓g與y=l相切，

所以y=l是I員IG與圓C?的一條公切線，即B正確；

對于C,當r=3時，|。。2|=3及>4=r+1,此時圓G與圓G相離，即C正確；

對于D,當r=4時，4-l=3<|C,C2|<5=4+l,此時圓G與圓C2相交，

將兩圓方程相減可得2x+2y-1=0,即圓G與圓G的公共弦所在直線的方程為

J=-X+1,即D錯誤.

故選：BC.

11.已知拋物線C：V=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,過點尸的直線與拋物線交于

p（%，y），Q（z，％）兩點?點2在/上的射影為匕，點。為坐標原點，則下列說法正確的

是（）

A.過點M（0』）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有3條

B.以P。為直徑的圓與x=0相切

C.設M（0,l）,則用之夜

D.若|夕。=8,則AOP。的面枳為28

【答案】ACD

【解析】對于A,過點M（0,l）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線必有x=0,y=l；

當直線斜率存在時，可設直線方程為》=履+1,

當直線與拋物線C有且僅有一個公共點，

1整理可得+（2Z-4）冗+1=0,所以△=（2k-41一4/=0：

聯(lián)立

解得攵=1,所以切線方程為y=x+i,

綜上可知，過點M（O,1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有3條，即A正確;

對于B,如下圖所示：

設點。在/上的射影為取P。的中點為N,<2的中點為M，

由拋物線定義可知|理|\\QQ\=\PF\i|2F|=|P2|,

在梯形理儲。中，有=尸制+|QQj）=g|PQ,

所以以尸。為直徑的圓與準線相切，切點為N1,可得B錯誤；

對于C,易知尸（1,0）,由拋物線定義可知|尸耳|=|%,所以|PM|+|P用=|尸M+歸耳，

當REM三點共線時，有最小值為也用=&，所以即c正確；

對于D,設P。的方程為人=，町葉1,

聯(lián)立整理可得），2一4m），-4=0,可得△=（4，〃『+16>0,

因此機工0；

可得?+>2=4機，月>2二一4，

因此|PQ|=V1+/n2%『-4)\)2=Jl+〃/+16=4(1+)

又|PQ|=8可得40+m2)=8,解得加=±1；

易知。到直線PQ的距離為d=-nJ==4,

V1+/H22

所以△。夕。的面積為SOM='XYZX8=2&，

22

即D正確.

故選：ACD.

第n卷(非選擇題，共92分)

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知平面a過點。(0,0,0),4(220),3(0,—1,2)三點.直線/與平面a垂直，則

直線/的一個方向向量的絲標可以是.

【答案】(一2,2,1)(答案不唯一)

【解析】易知04=(2,2,0),08=(0,—1,2),

可設平面a的一個法向量為〃=(x,y,z),

OAn=2x+2y=0

可得〈令)'=2可得x=-2,z=l；

OBn=-y+2z=0

所以”=(-2,2,1)；

因為直線/馬平面a垂直，所以直線/的一個方向向量與〃=(-2,2,1)共線，

所以直線/的一個方向向量的坐標可以是(-2,2,1).

13.將函數(shù)y=cos(2x用的圖象向右平移“個單位長度后，所得函數(shù)為奇

函數(shù)，則夕=.

【答案】g

6

【解析】函數(shù)了二?3(21一合］的圖象向右平移。個單位以后可得

即=cos|2x-2(p--］為奇函數(shù)，因此可得一2。一四=￥+E,ZGZ,

\6J62

即0=------兀，攵eZ；

32

又0＜。＜?，可知當上=-1時，夕=?符合題意.

26

14.1911年5月，歐內(nèi)斯特?盧瑟福在《哲學》雜志上發(fā)表論文.在這篇論文中，他描述了用

a粒子轟擊0.(X)004cm厚的金箔時拍攝到的運動情況.在進行這個實驗之前，盧瑟福希望

夕粒子能夠通過金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有極小一部分夕粒子從金箔上反彈.

如圖顯示了盧瑟福實驗中偏轉(zhuǎn)的。粒子遵循雙曲線一支的路徑，則該雙曲線的離心率為

：如果a粒子的路徑經(jīng)過點（20,10）,則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心

【答案】近10x/3

【解析】由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為y=tan45x=-x,

a

即可得因此離心率為』=住=Ji+4=&:

設雙曲線的方程為r2一丁=/,將（20,10）代入計算可得202—IO?—.

解得。二10百；

所以該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心10x/3cm.

四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.在銳角VA3c中，a,b,c分別是角AB,C所對的邊，已知l—cos2A=

4sinAsinBsinC.

（1）求一^+」一的值；

tanBtanC

（2）若。=4,求V43c的面積.

解：（1）由l-cos2A=4sinAsinBsinC可得2sir？4=4sinAsinBsinC，

/Tl、

又Ae0,—,所以sinAH0,即sinA=2sin3sinC；

I2）

可得sinA=sin（B+C）=2sinBsinC,

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

由銳角VABC可知,可知cosBcosCwO,

,,sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC

因m此----------------------=------------整理可得tanB+tanC=2tanAtanC,

cosBcosCcosBcosC

,,tan5+tanC.I1.

所以------------=2,即nn------+-----=2；

tanBtanCtanBtanC

(2)由(1)中sin由=2sinBsinC,利用正弦定理可得a=2Z?sinC；

因為。=4,所以〃sinC=2,

可知S.=-?Z?sinC=-x4x2=4.

ABC22

16.已知點A是圓C：(工一2『+()，-2)2=4與,，軸的公共點，點8是圓。上到x軸距離

最大的點.

(1)求直線A6的方程;

(2)求經(jīng)過4,3兩點,且圓心在直線)，=2工-5上的圓的標準方程.

：［；)2+(k264,解得，x=0

八，即A(0,2),

解：(I)由[y=2

顯然3cl.x軸，|8C|=4,點8在工軸上方，則8(2,4),

4-2

所以直線AB的方程為y:x+2,即y=x+2.

2-0

(2)由(1)知，4(0,2),8(2,4),線段A3的中點為(L3),而直線A5的斜率為1，

因此線段A5的中垂線方程為丁-3=-1-*-1),即五+)，-4=0,

x"+y2-4=i0財x=3

由＜

)'=1

于是所求圓的圓心為(3,1),半徑廠=J(0_3)2+(2_iy=W，

所以所求圓的標準方程為*-3)2+()，-1)2=10.

17.已知函數(shù)/(x)=4'—a2.

(1)當4=2時，求/(“在［-2,2］上的最值;

(2)設函數(shù)g(x)=〃x)+/(T),若g(x)存在最小值-8,求實數(shù)。的值.

解：(I)當4=2時，/(x)=4x-2-2r=(2V)2-2-2\

設/二2睦,4，則力(/)=/一2/,開口向上，對稱軸7=1,

4

所以函數(shù)項在-,1上單調(diào)遞減,(1,4］上單調(diào)遞增,

所以用“加=砌=T，妝，)皿=W)=8，

所以在［-2,2］上的最小值為一1,最大值為8.

(2)g(x)=/(x)+f(-x)=4X-a-2X+4-x-a-2~x

二4、4-，〃.(2、2-'=(2、2-，)；.(2、2-”)一2,

設/l=2x+2rNZA/FFMZ，當且僅當2、=2-，即R=0時取得等號，

所以—AG［2,-HX)),對稱軸2=］

當@?2,即Q?4時，y=A2-aA-2,在［2,xo)上單調(diào)遞增，

2

則當2=2時，”而=2-2。=-8,

解得。=5,不滿足題意；

當$2,即心4時，)，=分”一2在2,3上單調(diào)遞減，(/+8)上單調(diào)遞增，

所以4=3時，用而=一4一2=—8，

解得4=或4二-2小(舍去)，

綜上，實數(shù)4的值為2G.

18.如圖，已知在四棱柱ABC。-AqGQ中，底面4BCO為梯形，AB//CD,AA,1

底面A3C￡>,ADA.AB>其中人3=M=2,AD=DC=\,E是4G的中點，F(xiàn)

是QR的中點.

(1)求證：口￡//平面。37；

(2)求平面C8尸與平面3片CC夾角余弦值;

(3)求點A到平面Cg尸的距離.

(1)證明：由AA,，底面A8CO,AD_LA3可得以A為坐標原點，A8,AO,A4所在

直線分別為x，)'，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

3i、

,812,0,2）,E5,3,2,*0,1,1）,C（l,1,0）,G（l,1,2）,

0）,0（0,1,2）；

/、__.、___.,-f31A

則C4=（1,—L2）,C尸=（-1,0,1）,笈4=（0,0,2）?D,F=-,--,0,

122/

設平面CB,F的一個法向量為m=(x,y,z),

CB.tn=x-y+2z=0

則《,令x=l,可得y=3,z=l,

CF-m=-x+z=0

即77?=(1,3,1),

,(3iA

因為RE"?=(1,3,1)?-,0=0,可得RE工m,

27

且平面C87，

所以?！?/平面C片尸

(2)解：設平面3月CC的一個法向量為近=(%,y,zj,

CB1?n=x-y+2z=0

則則]]t，解得Z1=0,令％=1,可得y=l,

RR-n=2Z1=0

即〃=（l/,0）,

mn_4_2>/22

所以cos（/幾/?）

]同同一拒x4一II

因此平面CB/與平面B8GC夾角的余弦值為2/至;

11

ia.a.u

(3)解：易知A4=(2,0,2),

平面的一個法向量為m=(1,3,1),

A4?m44而

所以點A到平面尸的距離為d二

|向TFT11

19.已知橢圓。：捻+《=1(°＞匕＞0)的離心率為3，其中一個焦點的坐標為(1,,0).

(1)求。的方程；

(2)過左焦點的直線交C于A、A兩點，點〃在。上.

(i)若，Q4A的重心G為坐標原點，求直線A3的方程：

(ii)若ARW的重心G在％軸上