2025-2026學年上海市華東師大三附中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或112．若直線與圓相交于、兩點，且（其中為原點），則的值為（）A. B.C. D.3．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.6．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.7．下列關系中，正確的是（）A. B.C. D.8．過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.169．已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題11．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.12．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，右焦點到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點P是雙曲線C上一點，滿足，，則雙曲線C的方程為______14．已知直線l的方向向量，平面的法向量，若，則______15．下列說法中，正確的有_________（填序號）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.16．某班有位同學，將他們從至編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是，那么第四位的編號是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，.（1）求點到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知點，.（1）求以為直徑的圓的方程；（2）若直線被圓截得的弦長為，求值19．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點E，連接EP并延長交橢圓于另一點F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程20．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.21．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識競賽，從中隨機抽取100人，將這100人的此次競賽的分數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù).22．（10分）已知（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A2、D【解析】分析出為等腰直角三角形，可得出原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的等式，由此可解得的值.【詳解】圓的圓心為原點，由于且，所以，為等腰直角三角形，且圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用圓周角求參數(shù)，解題的關鍵在于求出弦心距，再利用點到直線的距離公式列方程求解參數(shù).3、A【解析】直接求出，，進而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A4、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.5、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.6、C【解析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.7、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷D；【詳解】解：對于A：因為，，，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，又，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為在上單調(diào)遞減，因為，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因為在上單調(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B8、B【解析】設出l1的方程為，與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長公式表達出，同理表達出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設，，，則，同理設可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當且僅當，即或時，等號成立，故選：B9、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關系確定選項.【詳解】因為，所以是的充分不必要條件，選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D11、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C12、D【解析】由兩直線平行確定參數(shù)值，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##1.5②.【解析】求得焦點到漸近線的距離可得，計算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計算即可得出結果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.14、【解析】由，可得∥，從而可得，代入坐標列方程可求出，從而可求出【詳解】因為直線l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一實數(shù)，使，所以，所以，解得，所以，故答案為：15、①【解析】根據(jù)橢圓方程的結構特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據(jù)復合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當時，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或為假，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①16、29【解析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計算作答.【詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個編號相距，所以第四位的編號是.故答案為：29三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由直棱柱的性質及勾股定理求出△各邊長，應用余弦定理求，進而可得其正弦值，再求邊上的高即可.（2）以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，然后求出兩個平面的法向量，然后可算出答案.【小問1詳解】如圖，連接，由題設，，，，由直棱柱性質及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，則，所以到直線的距離.【小問2詳解】以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系易知：，，，則，因為平面，所以平面的一個法向量為設平面的法向量為，則，取，則，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為18、(1).(2)或【解析】（1）根據(jù)題意，有A、B的坐標可得線段AB的中點即C的坐標，求出AB的長即可得圓C的半徑，由圓的標準方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，由直線與圓的位置關系可得點C到直線x﹣my+1＝0的距離d，結合點到直線的距離公式可得，解可得m的值，即可得答案【詳解】（1）根據(jù)題意，點，，則線段的中點為，即的坐標為；圓是以線段為直徑的圓，則其半徑，圓的方程為.（2）根據(jù)題意，若直線被圓截得的弦長為，則點到直線的距離，又由，則有，變形可得：，解可得或【點睛】本題考查直線與圓的位置關系以及弦長的計算，涉及圓的標準方程，屬于基礎題19、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關系，短軸求出，結合關系式解出，可得橢圓的標準方程；（2）設，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，結合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達定理可求，進而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設，，則，都不為和0設直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因為，所以，等式兩邊平方得①又因為，在橢圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此時）所以直線EF的方程為20、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結合，求出，從而可得橢圓的方程，設，則由題意可得，坐標代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結合點到直線的距離公式可得，設，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，因為曲線上的動點到直線：的最大距離為，所以，得，設，由，得，所以，，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或21、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分數(shù)不少于70分的頻率，由此能估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質能估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競賽分數(shù)不少于70分的頻率為：，估計總體1000人中競賽分數(shù)不少于70分的人數(shù)為（3）假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數(shù)的平均數(shù)為：【點睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平22、（1）答案見解析；（2）.【解析】(1)對函數(shù)求導，按a值的正負分析討論導數(shù)值的符號計算作答.(2)求出函數(shù)的解析式并求導，再按在值的正負分段討論推理作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得：當時，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，令，得，若，即時，，則有在R上單調(diào)遞增，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調(diào)遞